Geometrický rod - Geometric genus

v algebraická geometrie, geometrický rod je základní birational invariant $p G$ z algebraické odrůdy a složité potrubí.

Definice

Geometrický rod lze definovat pro ne singulární komplexní projektivní odrůdy a obecněji pro složité potrubí jako Hodge číslo $h n,0$ (rovná $h 0, n$ podle Serre dualita ), tj. rozměr kanonický lineární systém plus jedna.

Jinými slovy pro rozmanitost $PROTI$ z komplexní dimenze $n$ je to počet lineárně nezávislých holomorfních $n$ -formuláře najdete na $PROTI$ .^[1] Tato definice jako dimenze

H 0 (PROTI, Ω n)

pak přenese na jakoukoli základnu pole, když $Ω$ je považován za svazek Kählerovy diferenciály a síla je (nahoře) vnější síla, svazek kanonické linie.

Geometrický rod je první neměnný $p G = P 1$ posloupnosti invarianty $P n$ volal plurigenera.

Případ křivek

V případě komplexních odrůd jsou (komplexními lokusy) nesingulární křivky Riemannovy povrchy. Algebraická definice rodu souhlasí s topologická představa. Na nesingulární křivce má svazek kanonické čáry stupeň $2 G - 2$ .

Pojem rodu je prominentně uveden v prohlášení Riemann – Rochova věta (viz také Riemannova – Rochova věta o algebraických křivkách ) a Riemann – Hurwitzův vzorec. Podle Riemann-Rochovy věty, neredukovatelné rovinné křivky stupně d má geometrický rod

{ displaystyle g = { frac {(d-1) (d-2)} {2}} - s,}

kde s je počet singularit, když jsou správně spočítány

Li $C$ je neredukovatelný (a hladký) hyperplocha v projektivní rovina vystřihnout polynomiální rovnicí stupně $d$ , pak je jeho normálním svazkem řádků Serre kroutící se svazek ${ displaystyle { mathcal {O}}}$ $(d)$ , tak podle adjunkční vzorec, kanonická linie svazek $C$ je dána

{ displaystyle { mathcal {K}} _ {C} = left [{ mathcal {K}} _ { mathbb {P} ^ {2}} + { mathcal {O}} (d) right ] _ { vert C} = { mathcal {O}} (d-3) _ { vert C}}

Rod singulárních odrůd

Definice geometrického rodu se přenáší klasicky do singulárních křivek $C$ , tím, že nařídí to

p G (C)

je geometrický rod normalizace $C'$ . To znamená od mapování

C' \to C

je birational, definice je rozšířena o birational invariance.

Viz také

Poznámky

^ Danilov a Shokurov (1998), p. 53

Reference

P. Griffiths; J. Harris (1994). Principy algebraické geometrie. Wiley Classics Library. Wiley Interscience. p. 494. ISBN 0-471-05059-8.
V. I. Danilov; Vyacheslav V. Shokurov (1998). Algebraické křivky, algebraické potrubí a schémata. Springer. ISBN 978-3-540-63705-9.

[1] Danilov a Shokurov (1998), p. 53

[1]