Kvazi-konečný morfismus - Quasi-finite morphism
v algebraická geometrie, pobočka matematika, a morfismus F : X → Y z schémata je kvazi-konečný pokud je z konečný typ a splňuje kteroukoli z následujících ekvivalentních podmínek:[1]
- Každý bod X z X je izolován ve svém vlákně F−1(F(X)). Jinými slovy, každé vlákno je diskrétní (tedy konečná) množina.
- Za každý bod X z X, schéma F−1(F(X)) = X ×YSpec κ (F(X)) je konečný κ (F(X)) schéma. (Zde κ (p) je pole reziduí v bodě p.)
- Za každý bod X z X, je definitivně generován .
Kvazi-konečné morfismy byly původně definovány Alexander Grothendieck v SGA 1 a nezahrnoval hypotézu konečného typu. Tato hypotéza byla přidána k definici v EGA II 6.2, protože umožňuje dát algebraickou charakteristiku kvazi-konečnosti, pokud jde o stonky.
Pro obecný morfismus F : X → Y a bod X v X, F se říká, že je kvazi-konečný na X pokud existují otevřené afinní sousedství U z X a PROTI z F(X) takové, že F(U) je obsažen v PROTI a takové, že omezení F : U → PROTI je kvazi-konečný. F je místně kvazi-konečný pokud je v každém bodě kvazi-konečný X.[2] Kvazi-kompaktní lokálně kvazi-konečný morfismus je kvazi-konečný.
Vlastnosti
Pro morfismus F, následující vlastnosti jsou pravdivé.[3]
- Li F je kvazi-konečný, pak indukovaná mapa FČervené mezi omezená schémata je kvazi-konečný.
- Li F je tedy uzavřené ponoření F je kvazi-konečný.
- Li X je noetherian a F je tedy ponoření F je kvazi-konečný.
- Li g: Y → Z, a pokud G ∘ F je tedy kvazi-konečný F je kvazi-konečný, pokud platí některá z následujících skutečností:
- G je oddělen,
- X je noetherian,
- X ×Z Y je místně noetherian.
Kvazi-konečnost je zachována změnou základny. Kompozitní a vláknový produkt kvazi-konečných morfismů je kvazi-konečný.[3]
Li F je unramified v určitém okamžiku X, pak F je kvazi-konečný v X. Naopak, pokud F je kvazi-konečný v X, a pokud také , místní kruh X ve vlákně F−1(F(X)), je pole a konečná oddělitelná přípona κ (F(X)), pak F je unramified v X.[4]
Konečné morfismy jsou kvazi-konečné.[5] Kvazi-konečný správný morfismus lokálně konečné prezentace je konečná.[6] Ve skutečnosti je morfismus konečný, právě když je správný a kvazi-konečný (Deligne).
Zobecněná forma Zariskiho hlavní věta je následující:[7] Předpokládat Y je kvazi-kompaktní a kvazi oddělené. Nechat F být kvazi-konečné, oddělené a konečné prezentace. Pak F faktory jako kde první morfismus je otevřené ponoření a druhý je konečný. (X je otevřeno v konečném schématu Y.)
Poznámky
Reference
- Grothendieck, Alexandre; Michèle Raynaud (2003) [1971]. Séminaire de Géométrie Algébrique du Bois Marie - 1960-61 - Revêtements étales et groupe fondamental - (SGA 1) (Documents Mathématiques 3) (ve francouzštině) (aktualizováno vydání). Société Mathématique de France. xviii + 327. ISBN 2-85629-141-4.
- Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné (1961). „Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la tým spolupráce de Jean Dieudonné): II. Étude globale élémentaire de quelques classes de morphismes“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 8: 5–222. doi:10.1007 / bf02699291.
- Grothendieck, Alexandre; Jean Dieudonné (1966). „Éléments de géométrie algébrique (rédigés avec la tým spolupráce de Jean Dieudonné): IV. Étude locale des schémas et des morphismes de schémas, Troisième partie“. Publikace Mathématiques de l'IHÉS. 28: 5–255.