Algebraický zásobník - Algebraic stack
V matematice, an algebraický zásobník je obrovské zobecnění algebraické prostory nebo schémata, které jsou základem studia teorie modulů. Mnoho moduli prostorů je konstruováno pomocí technik specifických pro algebraické komíny, jako je Artinova věta o zastupitelnosti, který se používá ke konstrukci moduli prostor špičatých algebraických křivek a zásobník eliptických křivek. Původně je představil Grothendieck[1] sledovat automorfismy v modulových prostorech, což je technika, která umožňuje zacházet s těmito moduly v prostorech, jako by jejich základní schémata nebo algebraické prostory byly hladký. Ale prostřednictvím mnoha zobecnění byl pojem algebraických zásobníků konečně objeven Michael Artin.[2]
Definice
Motivace
Jedním z motivačních příkladů algebraického zásobníku je uvažovat a grupoidní schéma přes pevné schéma . Například pokud (kde je skupinové schéma kořenů jednoty), , je projekční mapa, je skupinová akce
a je mapa násobení
na . Poté, vzhledem k -systém , grupoidní schéma tvoří grupoid (kde jsou jejich přidružené funktory). Navíc je tato konstrukce funkční tvořící kontravariant 2 funktor
kde je 2-kategorie z malé kategorie. Další způsob, jak to zobrazit, je jako vláknitá kategorie skrz Grothendieckova konstrukce. Získání správných technických podmínek, například Grothendieckova topologie na , dává definici algebraického zásobníku. Například v přidruženém grupoidu -bodů pro pole , nad objektem původu existuje grupoid automorfismů . Všimněte si, že za účelem získání algebraického zásobníku z , a nejen zásobník, jsou nutné další technické hypotézy .[3]
Algebraické komíny
Ukázalo se, že pomocí fppf-topologie[4] (věrně plochý a místně s konečnou podobou) na , označeno , tvoří základ pro definování algebraických zásobníků. Pak, an algebraický zásobník[5] je vláknitá kategorie
takhle
- je kategorie vyztužená grupoidy, což znamená podkategorie pro některé je groupoid
- Diagonální mapa vláken je reprezentovatelný jako algebraické prostory
- Existuje systém a související 1-morfismus vlákenných kategorií což je surjektivní a plynulé nazýváno atlas.
Vysvětlení technických podmínek
Pomocí topologie fppf
Nejprve se používá fppf-topologie, protože se chová dobře klesání. Například pokud existují schémata a lze vylepšit na fppf-cover of , pokud je plochý, místně konečný typ nebo místně konečná prezentace má tuto vlastnost.[6] tento druh myšlenky lze dále rozšířit zvážením místních vlastností buď na cíli, nebo na zdroji morfismu . Pro krytí říkáme vlastnost je místní na zdroji -li
má jen a jen pokud každý má .
Na volaném cíli je analogická představa místní na cíli. To znamená dostat krytí
má jen a jen pokud každý má .
Pro topologii fppf je ponoření v cíli lokální.[7] Kromě předchozích místních vlastností na zdroji pro topologii fppf, univerzální otevření je také místní na zdroji.[8] Lokální Noetherian a Jacobson jsou také místní ve zdroji a cíli topologie fppf.[9] To v topologii fpqc neplatí, takže to není z hlediska technických vlastností tak „hezké“. I když je to pravda, použití algebraických zásobníků přes topologii fpqc má stále své použití, například v chromatická homotopická teorie. Je to proto, že Sada modulů formálních zákonů skupiny je fpqc-algebraický stack[10]str. 40.
Reprezentativní úhlopříčka
Podle definice 1-morfismus kategorií vláknitých v groupoidech je reprezentovatelné algebraickými mezerami[11][12][13] což znamená, že existuje algebraický prostor
taková, že přidružená kategorie vláken [14] je ekvivalentní k . Existuje řada ekvivalentních podmínek pro reprezentovatelnost úhlopříčky[15] které pomáhají dát intuici pro tento technický stav, ale jedna z hlavních motivací je následující: pro schéma a objekty snop je reprezentovatelný jako algebraický prostor. Zejména skupina stabilizátorů pro jakýkoli bod v zásobníku je reprezentovatelný jako algebraický prostor. Další důležitou ekvivalencí reprezentovatelné úhlopříčky je technická podmínka, že průsečík jakýchkoli dvou algebraických prostorů v algebraickém prostoru je algebraický prostor. Přeformulováno pomocí produktů z vláken
reprezentovatelnost úhlopříčky je ekvivalentní s být reprezentovatelný pro algebraický prostor . Je to proto, že vzhledem k morfismům z algebraických prostorů se rozšiřují na mapy z diagonální mapy. Existuje analogické prohlášení pro algebraické prostory, které poskytuje reprezentativnost snopu jako algebraický prostor.[16]
Všimněte si, že pro některé formulace platí analogická podmínka reprezentovatelnosti úhlopříčky vyšší hromádky[17] kde je vláknový produkt -stack pro -zásobník .
Surjektivní a hladký atlas
2-Yoneda lemma
Existence systém a 1-morfismus vlákenných kategorií který je surjektivní a plynulý, závisí na definování hladkého a surjektivního morfismu vláknitých kategorií. Tady je algebraický zásobník z reprezentovatelného funktoru na upgradován na kategorii s vlákny v grupoidech, kde kategorie mají pouze banální morfismy. To znamená sadu
je považována za kategorii označenou s objekty v tak jako morfismy
a morfismy jsou morfismus identity. Proto
je 2-funktor grupoidů. Zobrazení tohoto 2 funktoru je snop je obsahem 2-Yoneda lemma. Při použití konstrukce Grothendieck existuje přidružená kategorie označená v grupoidech .
Reprezentativní morfismy kategorií vláknitých v grupoidech
Říci tento morfismus je plynulý nebo surjektivní, musíme zavést reprezentativní morfismy.[18] Morfismus kategorií seskupených do skupinoidů se říká, že je reprezentovatelný, pokud je mu daný objekt v a objekt the 2-vláknitý produkt
je reprezentovatelný schématem. Můžeme tedy říci morfismus kategorií, které byly seskupeny do skupinoidů je uhladit surjektiv pokud související morfismus
schémat je plynulý a surjektivní.
Artin a Deligne-Mumford stacky
Existuje podtřída algebraických zásobníků běžně známá jako Artin se hromadí. Jedná se o algebraické komíny kde hladký surjektivní atlas pochází z hladkého surjektivního schématu . Podobně, pokud morfismus je Etale a surjective, pak stack se říká, že je Zásobník Deligne-Mumford. Podtřída zásobníků Deligne-Mumford je užitečná, protože poskytuje správné nastavení pro mnoho uvažovaných přirozených zásobníků, například zásobník modulů algebraických křivek. Kromě toho jsou natolik přísní, že objekt představuje body v zásobách Deligne-Mumford nemají nekonečně malé automorfismy. To je velmi důležité, protože nekonečně malé automorfismy velmi ztěžují studium teorie deformace Artinových komínů. Například teorie deformace Artinova zásobníku , modul modulů pořadí vektorové svazky, má nekonečně malé automorfismy částečně ovládané Lež algebra . To vede k nekonečnému sledu deformací a překážek obecně, což je jednou z motivací ke studiu moduly stabilních svazků. Pouze ve zvláštním případě teorie deformace svazků řádků je deformovatelná, protože Lieova algebra je abelian.
Všimněte si, že mnoho hromádek nelze přirozeně reprezentovat jako hromádky Deligne-Mumford, protože to umožňuje pouze konečné kryty nebo algebraické komíny s konečnými kryty. Všimněte si, že protože každý obal Etale je plochý a místně s konečnou prezentací, algebraické komíny definované pomocí topologie fppf tuto teorii subsumují; ale je to stále užitečné, protože mnoho hromádek nalezených v přírodě je této formy, například moduly křivek . Také se nazývá diferenciálně-geometrický analog takových zásobníků orbifolds. Podmínka Etale implikuje 2-funktor
zasílání schématu jeho grupoidu -torzory je reprezentovatelný jako zásobník přes topologii Etale, ale Picardův zásobník z -torsors (ekvivalentně kategorie svazků řádků) není reprezentovatelný. Zásobníky této formy jsou reprezentovatelné jako hromádky nad topologií fppf. Dalším důvodem pro zvážení topologie fppf versus etální topologie je nad charakteristikou the Kummerova sekvence
je přesný pouze jako sled řemenic fppf, ale ne jako sled řemenic etale.
Definování algebraických zásobníků nad jinými topologiemi
Použití dalších topologií Grothendieck na poskytuje alternativní teorie algebraických zásobníků, které buď nejsou dostatečně obecné, nebo se nesprávně chovají, pokud jde o výměnu vlastností od základny krytu k celkovému prostoru krytu. Je užitečné si připomenout, že existuje následující hierarchie generalizace
velkých topologií na .
Struktura svazku
Svazek struktury algebraického zásobníku je objekt stažený zpět z svazku univerzální struktury Na stránce .[19] Tento univerzální struktura snop[20] je definován jako
a přidružený svazek struktury na kategorii vyztužené grupoidy
je definován jako
kde pochází z mapy topologie Grothendieck. To zejména znamená leží přes , tak , pak . Jako kontrola zdravého rozumu stojí za to porovnat to s kategorií vyzbrojenou grupoidy pocházejícími z -systém pro různé topologie.[21] Například pokud
je kategorie vyztužená grupoidy , svazek struktury pro otevřené dílčí schéma dává
takže tato definice obnovuje klasický svazek struktury na schématu. Navíc pro a zásobník kvocientů , struktura svazku to jen dává -variantní sekce
Příklady
Klasifikace hromádek
Mnoho klasifikačních komínů pro algebraické skupiny jsou algebraické komíny. Ve skutečnosti pro algebraický skupinový prostor přes schéma což je rovina konečné prezentace, hromádky je algebraické[2]věta 6.1.
Viz také
- Gerbe
- Chow skupina hromádky
- Kohomologie stohu
- Kvocient zásobníku
- Snop na algebraickém stacku
- Torický zásobník
- Artinovo kritérium
- Pronásledování hromádek
- Odvozená algebraická geometrie
Reference
- ^ A'Campo, Norbert; Ji, Lizhen; Papadopoulos, Athanase (03.03.2016). "Na Grothendieckově konstrukci Teichmüllerova prostoru". arXiv:1603.02229 [matematika. GT ].
- ^ A b Artin, M. (1974). „Versální deformace a algebraické komíny“. Inventiones Mathematicae. 27 (3): 165–189. Bibcode:1974InMat..27..165A. doi:10.1007 / bf01390174. ISSN 0020-9910. S2CID 122887093.
- ^ „Oddíl 92.16 (04T3): Od algebraického zásobníku k prezentaci - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Oddíl 34.7 (021L): Topologie fppf - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Oddíl 92.12 (026N): Algebraické komíny - projekt Stohy“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Lemma 35.11.8 (06NB) - The Stacks project“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Oddíl 35.21 (02YL): Vlastnosti morfismů lokálních v topologii fppf na cíli - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Oddíl 35.25 (036M): Vlastnosti morfismů lokálních v topologii fppf na zdroji - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Oddíl 35.13 (034B): Vlastnosti místních schémat v topologii fppf - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ Goerss, Paule. „Kvazi-koherentní svazky na hromadě modulů formálních skupin“ (PDF). Archivováno (PDF) z původního dne 29. srpna 2020.
- ^ {{Citovat web | title = Sekce 92.9 (04SX): Morfismy reprezentovatelné algebraickými mezerami - projekt Stacks | url =https://stacks.math.columbia.edu/tag/04SX%7Caccess-date=2020-0mathrm{Sch}/U)_{fppf} to mathcal {Y} , přidružená kategorie vláknitá v grupoidech
je reprezentovatelný jako algebraický prostor - ^ „Oddíl 92.7 (04SU): Rozdělené kategorie spojené s grupoidy - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-03.
- ^ „Oddíl 92.8 (02ZV): Kategorie vláknité v grupoidech reprezentovatelné algebraickými mezerami - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ je vložení odesílání sady do kategorie objektů a pouze morfismy identity. Poté lze použít Grothendieckovu konstrukci, aby se získala kategorie vyztužená grupoidy
- ^ „Lemma 92.10.11 (045G) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ „Sekce 78.5 (046I): Bootstrapping úhlopříčky - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-08-29.
- ^ Simpson, Carlos (1996-09-17). „Algebraické (geometrické) n-stacks “. arXiv:alg-geom / 9609014.
- ^ „Oddíl 92.6 (04ST): Reprezentativní morfismy kategorií vláknitých v grupoidech - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-03.
- ^ „Oddíl 94.3 (06TI): Předvádí - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-01.
- ^ „Oddíl 94.6 (06TU): Svazek struktury - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-01.
- ^ „Oddíl 94.8 (076N): Reprezentativní kategorie - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-01.
- ^ „Lemma 94.13.2 (076S) - projekt Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-01.
- ^ „Oddíl 76.12 (0440): Kvazi-koherentní svazky na grupoidech - projekt The Stacks“. stacks.math.columbia.edu. Citováno 2020-10-01.
externí odkazy
Artinovy axiomy
- https://stacks.math.columbia.edu/tag/07SZ - Podívejte se na „Axiomy“ a „Algebraické komíny“
- Artinova algebraizace a kvocienty - Jarod Alper
Doklady
- Alper, Jarod (2009). „Průvodce literaturou o algebraických zásobnících“ (PDF). S2CID 51803452. Citovat deník vyžaduje
| deník =
(Pomoc) - Hall, Jack; Rydh, David (2014). "Hilbertův zásobník". Pokroky v matematice. 253: 194–233. arXiv:1011.5484. doi:10.1016 / j.aim.2013.12.002. S2CID 55936583.
- Behrend, Kai A. (2003). „Odvozené kategorie ℓ-Adic pro algebraické hromádky“ (PDF). Monografie Americké matematické společnosti. 163 (774): 1–93. doi:10.1090 / poznámka / 0774. ISBN 978-1-4704-0372-0.
Aplikace
- Lafforgue, Vincent (2014). "Úvod do chtoucas pro redukční skupiny a do globální Langlandsovy parametrizace". arXiv:1404.6416 [math.AG ].
- Deligne, P .; Rapoport, M. (1973). „Les Schémas de Modules de Courbes Elliptiques“. Modulární funkce jedné proměnné II. Přednášky z matematiky. 349. 143–316. doi:10.1007/978-3-540-37855-6_4. ISBN 978-3-540-06558-6.
- Knudsen, Finn F. (1983). „Projektivita prostoru modulů stabilních křivek, II: Stohy ". Mathematica Scandinavica. 52: 161. doi:10,7146 / math.scand.a-12001.
- Jiang, Yunfeng (2019). "O konstrukci modulu modulů projektivních Higgsových svazků přes povrchy". arXiv:1911.00250 [math.AG ].