Absolutně konvexní sada - Absolutely convex set

v matematika, a podmnožina C a nemovitý nebo komplex vektorový prostor se říká, že je naprosto konvexní nebo na disku Pokud to je konvexní a vyrovnaný (někteří lidé používají výraz „kroužil“ místo „vyvážený“), v takovém případě se nazývá a disk. The disked trup nebo absolutní konvexní trup sady je průsečík všech disků obsahujících tuto sadu.

Definice

Světle šedá oblast je absolutně konvexní trup kříže.

Li S je podmnožinou skutečného nebo komplexního vektorového prostoru X, pak zavoláme S A disk a řekni to S je na disku, naprosto konvexní, a konvexní vyvážený je-li splněna některá z následujících rovnocenných podmínek:

  1. S je konvexní a vyrovnaný;
  2. pro všechny skaláry A a b uspokojující |A| + |b| ≤ 1, tak jako + bS ⊆ S;
  3. pro všechny skaláry A, b, a C uspokojující |A| + |b| ≤ |C|, tak jako + bS ⊆ cS;
  4. pro všechny skaláry A1, ..., An uspokojující , ;
  5. pro všechny skaláry C, A1, ..., An uspokojující , ;

Připomeňme, že nejmenší konvexní (resp. vyrovnaný ) podmnožina X obsahující sadu se nazývá konvexní obal (resp. vyvážený trup) této množiny a je označen co (S) (resp. bal (S)).

Podobně definujeme diskový trup, absolutní konvexní trup, nebo konvexní vyvážený trup sady S je definován jako nejmenší disk (s ohledem na podmnožinu zařazení ) obsahující S.[1] Diskovaný trup S bude označen disk S nebo kobalt S a rovná se každé z následujících sad:

  1. co (bal (S)), což je konvexní trup vyvážený trup z S; tím pádem, kobalt (S) = co (bal (S));
    • Všimněte si však, že obecně kobalt (S) ≠ bal (co (S)), dokonce v konečném rozměry,
  2. průsečík všech disků obsahujících S,
  3. Kde λi jsou prvky podkladového pole.

Dostatečné podmínky

  • Průsečík libovolně mnoha absolutně konvexních množin je opět naprosto konvexní; nicméně, odbory absolutně konvexních množin už nemusí být absolutně konvexní.
  • -li D je disk v X, pak X vstřebává se X kdyby a jen kdyby rozpětí D = X.[2]

Vlastnosti

Viz také: Topologický vektorový prostor § Vlastnosti
  • Li S je pohlcující disk ve vektorovém prostoru X pak existuje absorbující disk E v X takhle E + E ⊆ S.[3]
  • Konvexní vyvážený trup S obsahuje jak konvexní trup S a vyvážený trup S.
  • Absolutně konvexní trup a ohraničená množina v topologickém vektorovém prostoru je opět ohraničen.
  • Li D je ohraničený disk v TVS X a pokud X• = (Xi)∞
    i=1     je sekvence v D, pak částečné částky s• = (sn)∞
    i=1     jsou Cauchy, kde pro všechny n, sn := ∑n
    i=1     2−i Xi    .[4]
    • Zejména pokud navíc D je postupně kompletní podmnožina X, pak tato série s• sblíží se X do určité míry D.

Příklady

Ačkoli kobalt (S) = co (bal (S)), konvexní vyvážený trup S je ne nutně rovná vyváženému trupu konvexního trupu S.[1] Například kde kobalt (S) ≠ bal (co (S)), nechť X být skutečný vektorový prostor ℝ2 a nechte S := {(−1, 1), (1, 1)}. Pak bal (co (S)) je přísná podmnožina kobaltu (S), který není ani konvexní. Tento příklad zejména ukazuje, že vyvážený trup konvexní množiny je ne nutně konvexní. Toto si všimněte kobalt (S) se rovná uzavřenému čtverci v X s vrcholy (−1, 1), (1, 1), (−1, −1), a (−1, 1) zatímco bal (co (S)) je uzavřen "přesýpací hodiny "tvarovaná podmnožina, která protíná" X-os v počátku a je spojením dvou trojúhelníků: jednoho, jehož vrcholy jsou počátek spolu s S a druhý trojúhelník, jehož vrcholy jsou počátkem spolu s −S = {(−1, −1), (1, −1)}.

Viz také

Reference

  1. ^ A b Trèves 2006, str. 68.
  2. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 67-113.
  3. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 149-153.
  4. ^ Narici & Beckenstein 2011, str. 471.

Bibliografie

  • Robertson, A.P .; W. J. Robertson (1964). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge University Press. s. 4–6.
  • Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
  • Schaefer, H.H. (1999). Topologické vektorové prostory. Springer-Verlag Press. str. 39.
  • Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.