Dvojí norma - Dual norm

v funkční analýza, duální norma je měřítkem „velikosti“ každého z nich kontinuální lineární funkční definované na a normovaný vektorový prostor.

Definice

Nechat ${displaystyle X}$ být normovaný vektorový prostor s normou ${displaystyle | cdot |}$ a nechte ${displaystyle X ^ {*}}$ být dvojí prostor. The duální norma kontinuální lineární funkční ${displaystyle f}$ patřící ${displaystyle X ^ {*}}$ je definované záporné reálné číslo^[1] některým z následujících ekvivalentních vzorců:

${displaystyle {egin {alignedat} {5} | f | & = sup && {| f (x) | && ~: ~ | x | leq 1 ~ && ~ {ext {and}} ~ && xin X} & = sup && {| f (x) | && ~: ~ | x | <1 ~ && ~ {ext {and}} ~ && xin X} & = inf && {cin mathbb {R} && ~: ~ | f (x) | leq c | x | ~ && ~ {ext {for all}} ~ && xin X} & = sup && {| f (x) | && ~: ~ | x | = 1 {ext {or}} 0 ~ && ~ {ext {and}} ~ && xin X} & = sup && {| f (x) | && ~: ~ | x | = 1 ~ && ~ {ext {and}} ~ && xin X} ;;; {ext {tato rovnost platí pouze a pouze}} Xeq {0} & = sup && {igg {} {frac {| f (x) |} {| x |}} ~ && ~: ~ xeq 0 && ~ {ext { and}} ~ && xin X {igg}} ;;; {ext {tato rovnost platí tehdy a jen tehdy,}} Xeq {0} end {alignedat}}}$

kde ${displaystyle sup}$ a ${displaystyle inf}$ označit supremum a infimum, resp. Konstanta 0 mapa má vždy normu rovnou 0 a to je původ vektorového prostoru ${displaystyle X ^ {*}.}$ Li ${displaystyle X = {0}}$ pak je zapnuta jediná lineární funkce ${displaystyle X}$ je konstanta 0 mapa a navíc sady v posledních dvou řádcích budou prázdné a následně jejich suprema bude se rovnat ∞ místo správné hodnoty 0.

Mapa ${displaystyle fmapsto | f |}$ definuje a norma na ${displaystyle X ^ {*}.}$ (Viz věty 1 a 2 níže.)

Dvojí norma je zvláštním případem norma operátora definováno pro každou (ohraničenou) lineární mapu mezi normovanými vektorovými prostory.

Topologie zapnuta ${displaystyle X ^ {*}}$ vyvolané ${displaystyle | cdot |}$ se ukáže být stejně silný jako slabá * topologie na ${displaystyle X ^ {*}.}$

Pokud pozemní pole z ${displaystyle X}$ je kompletní pak ${displaystyle X ^ {*}}$ je Banachův prostor.

Dvojitý dvojník normovaného lineárního prostoru

The dvojitý duální (nebo druhý duální) ${displaystyle X ^ {**}}$ z ${displaystyle X}$ je duál normovaného vektorového prostoru ${displaystyle X ^ {*}}$. K dispozici je přirozená mapa ${displaystyle varphi: X o X ^ {**}}$. Ve skutečnosti pro každého ${displaystyle w ^ {*}}$ v ${displaystyle X ^ {*}}$ definovat

${displaystyle varphi (v) (w ^ {*}): = w ^ {*} (v).}$

Mapa ${displaystyle varphi}$ je lineární, injekční, a zachování vzdálenosti.^[2] Zejména pokud ${displaystyle X}$ je tedy kompletní (tj. Banachův prostor) ${displaystyle varphi}$ je izometrie na uzavřeném podprostoru ${displaystyle X ^ {**}}$.^[3]

Obecně mapa ${displaystyle varphi}$ není surjektivní. Například pokud ${displaystyle X}$ je Banachův prostor ${displaystyle L ^ {infty}}$ skládající se z omezených funkcí na reálné ose s normou supremum, poté z mapy ${displaystyle varphi}$ není surjektivní. (Vidět ${displaystyle L ^ {p}}$ prostor ). Li ${displaystyle varphi}$ je tedy surjektivní ${displaystyle X}$ se říká, že je reflexní Banachův prostor. Li ${displaystyle 1$

pak prostor ${displaystyle L ^ {p}}$ je reflexní Banachův prostor.

Matematická optimalizace

Nechat ${displaystyle | cdot |}$ být normou ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}.}$ Přidružené duální norma, označeno ${displaystyle | cdot | _ {*},}$ je definován jako

${displaystyle | z | _ {*} = sup {z ^ {intercal} x; |; | x | leq 1}.}$

(Lze to ukázat jako normu.) Duální normu lze interpretovat jako norma operátora z ${displaystyle z ^ {intercal}}$, interpretováno jako a ${displaystyle 1 imes n}$ matice, s normou ${displaystyle | cdot |}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$a absolutní hodnota zapnuta ${displaystyle mathbb {R}}$:

${displaystyle | z | _ {*} = sup {| z ^ {intercal} x |; |; | x | leq 1}.}$

Z definice dvojí normy máme nerovnost

${displaystyle z ^ {intercal} x = | x | left (z ^ {intercal} {frac {x} {| x |}} ight) leq | x || z | _ {*}}$

který platí pro všechny X a z.^[4] Duál dvojí normy je původní normou: máme ${displaystyle | x | _ {**} = | x |}$ pro všechny X. (To nemusí platit v nekonečných trojrozměrných vektorových prostorech.)

Dvojí z Euklidovská norma je euklidovská norma, protože

${displaystyle sup {z ^ {intercal} x; |; | x | _ {2} leq 1} = | z | _ {2}.}$

(To vyplývá z Cauchy – Schwarzova nerovnost; pro nenulovou hodnotu z, hodnota X který maximalizuje ${displaystyle z ^ {intercal} x}$ přes ${displaystyle | x | _ {2} leq 1}$ je ${displaystyle {frac {z} {| z | _ {2}}}}$.)

Dvojí z ${displaystyle ell _ {infty}}$-norm je ${displaystyle ell _ {1}}$-norma:

${displaystyle sup {z ^ {intercal} x; |; | x | _ {infty} leq 1} = součet _ {i = 1} ^ {n} | z_ {i} | = | z | _ {1}, }$

a duální z ${displaystyle ell _ {1}}$-norm je ${displaystyle ell _ {infty}}$-norma.

Obecněji, Hölderova nerovnost ukazuje, že duální z ${displaystyle ell _ {p}}$-norma je ${displaystyle ell _ {q}}$-norm, kde, q splňuje ${displaystyle {frac {1} {p}} + {frac {1} {q}} = 1}$, tj., ${displaystyle q = {frac {p} {p-1}}.}$

Jako další příklad zvažte ${displaystyle ell _ {2}}$- nebo spektrální norma na ${displaystyle mathbb {R} ^ {m imes n}}$. Přidružená dvojí norma je

${displaystyle | Z | _ {2 *} = sup {mathrm {f {tr}} (Z ^ {intercal} X) || X | _ {2} leq 1},}$

který se ukáže jako součet singulárních hodnot,

${displaystyle | Z | _ {2 *} = sigma _ {1} (Z) + cdots + sigma _ {r} (Z) = mathrm {f {tr}} ({sqrt {Z ^ {intercal} Z}} ),}$

kde ${displaystyle r = mathrm {f {rank}} Z.}$ Tato norma se někdy nazývá jaderný norma.^[5]

Příklady

Duální norma pro matice

The Frobeniova norma definován

${displaystyle | A | _ {ext {F}} = {sqrt {sum _ {i = 1} ^ {m} součet _ {j = 1} ^ {n} vlevo | a_ {ij} ight | ^ {2} }} = {sqrt {operatorname {trace} (A ^ {*} A)}} = {sqrt {sum _ {i = 1} ^ {min {m, n}} sigma _ {i} ^ {2}} }}$

je sebe-duální, tj. jeho duální norma je ${displaystyle | cdot | '_ {ext {F}} = | cdot | _ {ext {F}}.}$

The spektrální norma, zvláštní případ indukovaná norma když ${displaystyle p = 2}$, je definováno maximem singulární hodnoty matice, tj.

${displaystyle | A | _ {2} = sigma _ {max} (A),}$

má jadernou normu jako svoji duální normu, kterou definuje

${displaystyle | B | '_ {2} = součet _ {i} sigma _ {i} (B),}$

pro jakoukoli matici ${displaystyle B}$ kde ${displaystyle sigma _ {i} (B)}$ označují singulární hodnoty^{[Citace je zapotřebí ]}.

Některé základní výsledky o operátorské normě

Obecněji řečeno ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ být topologické vektorové prostory a nechte ${displaystyle L (X, Y)}$^[6] být sbírkou všech ohraničené lineární zobrazení (nebo operátory) z ${displaystyle X}$ do ${displaystyle Y}$. V případě, že ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ jsou normované vektorové prostory, ${displaystyle L (X, Y)}$ může být dána kanonická norma.

Když ${displaystyle Y}$ je skalární pole (tj. ${displaystyle Y = mathbb {C}}$ nebo ${displaystyle Y = mathbb {R}}$) aby ${displaystyle L (X, Y)}$ je dvojí prostor ${displaystyle X ^ {*}}$ z ${displaystyle X}$.

Viz také

• konvexní konjugát
• norma operátora
• Lp mezery
• Hölderova nerovnost

Poznámky

Reference

• Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2006). Nekonečná dimenzionální analýza: Stopařův průvodce (3. vyd.). Springer. ISBN  9783540326960.
• Boyd, Stephen; Vandenberghe, Lieven (2004). Konvexní optimalizace. Cambridge University Press. ISBN  9780521833783.
• Kolmogorov, A.N.; Fomin, S.V. (1957). Základy teorie funkcí a funkční analýzy, díl 1: Metrické a normované prostory. Rochester: Graylock Press.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.

externí odkazy

• Poznámky k proximálnímu mapování od Lievena Vandenbergeho