Silná topologie (polární topologie) - Strong topology (polar topology)

v funkční analýza a související oblasti matematika the silná topologie na nepřetržitý duální prostor a topologický vektorový prostor (TVS) X je nejlepší polární topologie, topologie s nejvíce otevřené sady, na dvojitý pár. The nejhrubší nazývá se polární topologie slabá topologie. Když nepřetržitý duální prostor TVS X je obdařen touto topologií, pak se nazývá silný duální prostor z X.

Definice

Nechat ${ displaystyle (X, Y, langle, rangle)}$ být dvojitý pár vektorových prostorů nad polem ${ displaystyle { mathbb {F}}}$ skutečné (${ displaystyle { mathbb {R}}}$) nebo komplexní (${ displaystyle { mathbb {C}}}$) čísla. Označme tím ${ displaystyle { mathcal {B}}}$ systém všech podskupin ${ displaystyle B subseteq X}$ ohraničen prvky Y v následujícím smyslu:

${ displaystyle forall y in Y qquad sup _ {x in B} | langle x, y rangle | < infty.}$

Pak silná topologie ${ displaystyle beta (Y, X)}$ na ${ displaystyle Y}$ je definována jako lokálně konvexní topologie na Y generované semináři formuláře

${ displaystyle || y || _ {B} = sup _ {x v B} | langle x, y rangle |, qquad y v Y, qquad B v { mathcal {B} }.}$

Ve zvláštním případě, když X je lokálně konvexní prostor, silná topologie na (kontinuální) dvojí prostor ${ displaystyle X '}$ (tj. v prostoru všech spojitých lineárních funkcionálů ${ displaystyle f: X až { mathbb {F}}}$) je definován jako silná topologie ${ displaystyle beta (X ', X)}$, a shoduje se s topologií jednotné konvergence na ohraničené množiny v X, tj. se zapnutou topologií ${ displaystyle X '}$ generované semináři formuláře

${ displaystyle || f || _ {B} = sup _ {x v B} | f (x) |, qquad f v X ',}$

kde B běží přes rodinu všech ohraničené množiny v X. Prostor ${ displaystyle X '}$ s touto topologií se nazývá silný duální prostor prostoru X a je označen ${ displaystyle X '_ { beta}}$.

Příklady

• Li X je normovaný vektorový prostor, pak jeho (kontinuální) dvojí prostor ${ displaystyle X '}$ se silnou topologií se shoduje s Banachův duální prostor ${ displaystyle X '}$, tj. s prostorem ${ displaystyle X '}$ s topologií vyvolanou norma operátora. Naopak ${ displaystyle beta (X, X ')}$-tologie na X je identická s topologií vyvolanou norma na X.

Vlastnosti

• Li X je sudový prostor, pak se jeho topologie shoduje se silnou topologií ${ displaystyle beta (X, X ')}$ na ${ displaystyle X}$ a s Mackeyova topologie na X generované párováním ${ displaystyle (X, X ')}$.

Viz také

• Duální topologie
• Duální systém
• Reflexní prostor
• Polární topologie - Topologie duálního prostoru jednotné konvergence u některých dílčích kolekcí omezených podmnožin
• Semi-reflexivní prostor
• Silný duální prostor - Kontinuální duální prostor vybavený topologií jednotné konvergence na ohraničených množinách
• Topologie prostorů lineárních map

Reference

• Schaefer, Helmuth H. (1966). Topologické vektorové prostory. New York: Společnost MacMillan. ISBN  0-387-98726-6.