V variační počet , pole matematická analýza , funkční derivace (nebo variační derivát )[1] souvisí změna v a funkční ke změně v a funkce na kterém závisí funkčnost.
V variačním počtu jsou funkcionály obvykle vyjádřeny jako integrální funkcí, jejich argumenty , a jejich deriváty . V integrálu L funkční, je-li funkce F se mění přidáním další funkce δf to je libovolně malé a výsledná integrand je rozšířena o mocniny δf koeficient, δf v prvním řádu se termín nazývá funkční derivace.
Zvažte například funkční
J [ F ] = ∫ A b L ( X , F ( X ) , F ′ ( X ) ) d X , { displaystyle J [f] = int _ {a} ^ {b} L (, x, f (x), f , '(x) ,) , dx ,} kde F ′(X ) ≡ df / dx . Li F se mění přidáním funkce δf a výsledný integrand L (x, f + δf, f '+ δf ′) je rozšířen o pravomoci δf , pak změna hodnoty J do první objednávky v δf lze vyjádřit takto:[1] [Poznámka 1]
δ J = ∫ A b ( ∂ L ∂ F δ F ( X ) + ∂ L ∂ F ′ d d X δ F ( X ) ) d X = ∫ A b ( ∂ L ∂ F − d d X ∂ L ∂ F ′ ) δ F ( X ) d X + ∂ L ∂ F ′ ( b ) δ F ( b ) − ∂ L ∂ F ′ ( A ) δ F ( A ) { displaystyle delta J = int _ {a} ^ {b} vlevo ({ frac { částečné L} { částečné f}} delta f (x) + { frac { částečné L} { částečné f '}} { frac {d} {dx}} delta f (x) pravé) , dx , = int _ {a} ^ {b} levé ({ frac { částečné L} { částečné f}} - { frac {d} {dx}} { frac { částečné L} { částečné f '}} pravé) delta f (x) , dx , + , { frac { částečné L} { částečné f '}} (b) delta f (b) , - , { frac { částečné L} { částečné f'}} (a) delta f (a) ,} kde variace derivátu, δf ′ byl přepsán jako derivát variace (δf ) ′ , a integrace po částech byl použit.
Definice V této části je definována funkční derivace. Poté je funkční rozdíl definován z hlediska funkčního derivátu.
Funkční derivace Vzhledem k potrubí M zastupující (kontinuální /hladký ) funkce ρ (s jistotou okrajové podmínky atd.) a a funkční F definováno jako
F : M → R nebo F : M → C , { displaystyle F colon M rightarrow mathbb {R} quad { mbox {or}} quad F colon M rightarrow mathbb {C} ,,} the funkční derivace z F [ρ ], označeno δF / δρ , je definováno prostřednictvím[2]
∫ δ F δ ρ ( X ) ϕ ( X ) d X = lim ε → 0 F [ ρ + ε ϕ ] − F [ ρ ] ε = [ d d ε F [ ρ + ε ϕ ] ] ε = 0 , { displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac { delta F} { delta rho}} (x) phi (x) ; dx & = lim _ { varepsilon na 0} { frac {F [ rho + varepsilon phi] -F [ rho]} { varepsilon}} & = left [{ frac {d} {d varepsilon}} F [ rho + varepsilon phi] right] _ { varepsilon = 0}, end {zarovnáno}}} kde ϕ { displaystyle phi} je libovolná funkce. Množství ε ϕ { displaystyle varepsilon phi} se nazývá variace ρ .
Jinými slovy,
ϕ ↦ [ d d ε F [ ρ + ε ϕ ] ] ε = 0 { displaystyle phi mapsto left [{ frac {d} {d varepsilon}} F [ rho + varepsilon phi] right] _ { varepsilon = 0}} je lineární funkce, takže lze použít Věta o reprezentaci Riesz – Markov – Kakutani reprezentovat tuto funkci jako integraci proti některým opatření .Pak δF /δρ je definován jako Derivát Radon – Nikodym tohoto opatření.
Člověk myslí na funkci δF /δρ jako gradient F na místě ρ a
∫ δ F δ ρ ( X ) ϕ ( X ) d X { displaystyle int { frac { delta F} { delta rho}} (x) phi (x) ; dx} jako směrový derivát v bodě ρ ve směru ϕ . Potom analogicky k vektorovému počtu získá vnitřní produkt s gradientem směrovou derivaci.
Funkční diferenciál Diferenciál (nebo variace nebo první variace) funkcionálu F [ ρ ] { displaystyle F left [ rho right]} je [3] [Poznámka 2]
δ F [ ρ ; ϕ ] = ∫ δ F δ ρ ( X ) ϕ ( X ) d X . { displaystyle delta F [ rho; phi] = int { frac { delta F} { delta rho}} (x) phi (x) dx .} Heuristicky, ϕ { displaystyle phi} je změna v ρ { displaystyle rho} , takže „formálně“ máme ϕ = δ ρ { displaystyle phi = delta rho} , a to je podobná forma jako celkový rozdíl funkce F ( ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n ) { displaystyle F ( rho _ {1}, rho _ {2}, tečky, rho _ {n})} ,
d F = ∑ i = 1 n ∂ F ∂ ρ i d ρ i , { displaystyle dF = součet _ {i = 1} ^ {n} { frac { částečné F} { částečné rho _ {i}}} d rho _ {i} ,} kde ρ 1 , ρ 2 , … , ρ n { displaystyle rho _ {1}, rho _ {2}, tečky, rho _ {n}} jsou nezávislé proměnné. Porovnáním posledních dvou rovnic funkční derivace δ F / δ ρ ( X ) { displaystyle delta F / delta rho (x)} má podobnou roli jako parciální derivace ∂ F / ∂ ρ i { displaystyle částečné F / částečné rho _ {i}} , kde proměnná integrace X { displaystyle x} je jako spojitá verze součtového indexu i { displaystyle i} .[4]
Přísný popis Definici funkčního derivátu lze definovat pomocí matematicky přesnějšího a důkladnějšího prostor funkcí opatrněji. Například když je prostor funkcí a Banachův prostor , funkční derivát se stává známým jako Fréchetův derivát , zatímco jeden používá Gateaux derivát obecněji lokálně konvexní mezery . Všimněte si, že Hilbertovy prostory jsou speciální případy Banachovy prostory . Přísnější zacházení umožňuje mnoho vět od obyčejných počet a analýza zobecnit na odpovídající věty v funkční analýza , stejně jako řada nových vět, které je třeba uvést.
Vlastnosti Stejně jako derivace funkce, funkční derivace splňuje následující vlastnosti, kde F [ρ ] a G [ρ ] jsou funkcionály:[Poznámka 3]
δ ( λ F + μ G ) [ ρ ] δ ρ ( X ) = λ δ F [ ρ ] δ ρ ( X ) + μ δ G [ ρ ] δ ρ ( X ) , { displaystyle { frac { delta ( lambda F + mu G) [ rho]} { delta rho (x)}} = lambda { frac { delta F [ rho]} { delta rho (x)}} + mu { frac { delta G [ rho]} { delta rho (x)}},} kde λ , μ jsou konstanty.
δ ( F G ) [ ρ ] δ ρ ( X ) = δ F [ ρ ] δ ρ ( X ) G [ ρ ] + F [ ρ ] δ G [ ρ ] δ ρ ( X ) , { displaystyle { frac { delta (FG) [ rho]} { delta rho (x)}} = { frac { delta F [ rho]} { delta rho (x)}} G [ rho] + F [ rho] { frac { delta G [ rho]} { delta rho (x)}} ,,} Li F je funkční a G tedy další funkční[7] δ F [ G [ ρ ] ] δ ρ ( y ) = ∫ d X δ F [ G ] δ G ( X ) G = G [ ρ ] ⋅ δ G [ ρ ] ( X ) δ ρ ( y ) . { displaystyle displaystyle { frac { delta F [G [ rho]]} { delta rho (y)}} = int dx { frac { delta F [G]} { delta G ( x)}} _ {G = G [ rho]} cdot { frac { delta G [ rho] (x)} { delta rho (y)}} .} Li G je běžná diferencovatelná funkce (místní funkční) G , pak se to sníží na[8] δ F [ G ( ρ ) ] δ ρ ( y ) = δ F [ G ( ρ ) ] δ G [ ρ ( y ) ] d G ( ρ ) d ρ ( y ) . { displaystyle displaystyle { frac { delta F [g ( rho)]} { delta rho (y)}} = { frac { delta F [g ( rho)]} { delta g [ rho (y)]}} { frac {dg ( rho)} {d rho (y)}} .} Stanovení funkčních derivátů Vzorec k určení funkčních derivací pro běžnou třídu funkcionálů lze zapsat jako integrál funkce a jejích derivátů. Toto je zevšeobecnění Euler-Lagrangeova rovnice : funkční derivát byl skutečně zaveden v fyzika v rámci odvození Lagrange rovnice druhého druhu z zásada nejmenší akce v Lagrangian mechanika (18. století). První tři příklady níže jsou převzaty z hustota funkční teorie (20. století), čtvrtý z statistická mechanika (19. století).
Vzorec Vzhledem k funkčnímu
F [ ρ ] = ∫ F ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) ) d r , { displaystyle F [ rho] = int f ({ boldsymbol {r}}, rho ({ boldsymbol {r}}), nabla rho ({ boldsymbol {r}}))) , d { boldsymbol {r}},} a funkce ϕ (r ), který mizí na hranici oblasti integrace, z předchozí části Definice ,
∫ δ F δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ε ∫ F ( r , ρ + ε ϕ , ∇ ρ + ε ∇ ϕ ) d r ] ε = 0 = ∫ ( ∂ F ∂ ρ ϕ + ∂ F ∂ ∇ ρ ⋅ ∇ ϕ ) d r = ∫ [ ∂ F ∂ ρ ϕ + ∇ ⋅ ( ∂ F ∂ ∇ ρ ϕ ) − ( ∇ ⋅ ∂ F ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ∫ [ ∂ F ∂ ρ ϕ − ( ∇ ⋅ ∂ F ∂ ∇ ρ ) ϕ ] d r = ∫ ( ∂ F ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ F ∂ ∇ ρ ) ϕ ( r ) d r . { displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac { delta F} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} , phi ({ boldsymbol {r}}) , d { boldsymbol {r}} & = left [{ frac {d} {d varepsilon}} int f ({ boldsymbol {r}}, rho + varepsilon phi, nabla rho + varepsilon nabla phi) , d { boldsymbol {r}} doprava] _ { varepsilon = 0} & = int left ({ frac { částečné f} { částečné rho} } , phi + { frac { částečné f} { částečné nabla rho}} cdot nabla phi pravé) d { boldsymbol {r}} & = int left [{ frac { částečné f} { částečné rho}} , phi + nabla cdot vlevo ({ frac { částečné f} { částečné nabla rho}} , phi pravé) - left ( nabla cdot { frac { částečné f} { částečné nabla rho}} pravé) phi pravé] d { boldsymbol {r}} & = int left [ { frac { částečné f} { částečné rho}} , phi - vlevo ( nabla cdot { frac { částečné f} { částečné nabla rho}} vpravo) phi vpravo] d { boldsymbol {r}} & = int vlevo ({ frac { částečné f} { částečné rho}} - nabla cdot { frac { částečné f} { částečné nabla rho}} vpravo) phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} ,. e nd {zarovnáno}}} Druhý řádek se získá pomocí celková derivace , kde ∂f /∂∇ ρ je derivace skaláru vzhledem k vektoru .[Poznámka 4] Třetí řádek byl získán pomocí a produktové pravidlo pro divergenci . Čtvrtý řádek byl získán pomocí věta o divergenci a podmínku, že ϕ =0 na hranici regionu integrace. Od té doby ϕ je také libovolná funkce s použitím základní lemma variačního počtu do posledního řádku je funkční derivace
δ F δ ρ ( r ) = ∂ F ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ F ∂ ∇ ρ { displaystyle { frac { delta F} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}}} = { frac { částečné f} { částečné rho}} - nabla cdot { frac { částečné f} { částečné nabla rho}}} kde ρ = ρ (r ) a F = F (r , ρ , ∇ρ ). Tento vzorec platí pro případ funkční formy dané F [ρ ] na začátku této části. U jiných funkčních forem lze jako výchozí bod pro jeho stanovení použít definici funkčního derivátu. (Viz příklad Coulombova potenciální energie funkční .)
Výše uvedenou rovnici pro funkční derivaci lze zobecnit na případ, který zahrnuje vyšší dimenze a derivace vyššího řádu. Funkční by bylo,
F [ ρ ( r ) ] = ∫ F ( r , ρ ( r ) , ∇ ρ ( r ) , ∇ ( 2 ) ρ ( r ) , … , ∇ ( N ) ρ ( r ) ) d r , { displaystyle F [ rho ({ boldsymbol {r}})] = int f ({ boldsymbol {r}}, rho ({ boldsymbol {r}}), nabla rho ({ boldsymbol {r}}), nabla ^ {(2)} rho ({ boldsymbol {r}}), dots, nabla ^ {(N)} rho ({ boldsymbol {r}})) , d { boldsymbol {r}},} kde vektor r ∈ ℝn , a ∇(i ) je tenzor, jehož ni komponenty jsou částečné derivační operátory řádu i ,
[ ∇ ( i ) ] α 1 α 2 ⋯ α i = ∂ i ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i kde α 1 , α 2 , ⋯ , α i = 1 , 2 , ⋯ , n . { displaystyle left [ nabla ^ {(i)} right] _ { alpha _ {1} alpha _ {2} cdots alpha _ {i}} = { frac { částečné ^ { , i}} { částečné r _ { alfa _ {1}} částečné r _ { alfa _ {2}} cdots částečné r _ { alfa _ {i}}}} qquad qquad { text { kde}} quad alpha _ {1}, alpha _ {2}, cdots, alpha _ {i} = 1,2, cdots, n .} [Poznámka 5] Analogické použití definice výtěžku funkčního derivátu
δ F [ ρ ] δ ρ = ∂ F ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ρ ) + ∇ ( 2 ) ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ( 2 ) ρ ) + ⋯ + ( − 1 ) N ∇ ( N ) ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ( N ) ρ ) = ∂ F ∂ ρ + ∑ i = 1 N ( − 1 ) i ∇ ( i ) ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) . { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { delta F [ rho]} { delta rho}} & {} = { frac { částečné f} { částečné rho}} - nabla cdot { frac { částečné f} { částečné ( nabla rho)}} + nabla ^ {(2)} cdot { frac { částečné f} { částečné vlevo ( nabla ^ { (2)} rho right)}} + dots + (- 1) ^ {N} nabla ^ {(N)} cdot { frac { částečné f} { částečné vlevo ( nabla ^ {(N)} rho right)}} & {} = { frac { částečný f} { částečný rho}} + sum _ {i = 1} ^ {N} (- 1) ^ {i} nabla ^ {(i)} cdot { frac { částečné f} { částečné vlevo ( nabla ^ {(i)} rho vpravo)}} . end {zarovnáno} }} V posledních dvou rovnicích ni komponenty tenzoru ∂ F ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) { displaystyle { frac { částečné f} { částečné doleva ( nabla ^ {(i)} rho doprava)}}} jsou částečné deriváty F s ohledem na částečné deriváty ρ ,
[ ∂ F ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) ] α 1 α 2 ⋯ α i = ∂ F ∂ ρ α 1 α 2 ⋯ α i kde ρ α 1 α 2 ⋯ α i ≡ ∂ i ρ ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i , { displaystyle left [{ frac { částečné f} { částečné left ( nabla ^ {(i)} rho right)}} right] _ { alpha _ {1} alpha _ { 2} cdots alpha _ {i}} = { frac { částečné f} { částečné rho _ { alpha _ {1} alpha _ {2} cdots alpha _ {i}}}} qquad qquad { text {kde}} quad rho _ { alpha _ {1} alpha _ {2} cdots alpha _ {i}} equiv { frac { částečné ^ {, i} rho} { částečné r _ { alfa _ {1}} , částečné r _ { alfa _ {2}} cdots částečné r _ { alfa _ {i}}}} ,} a skalární součin tenzoru je,
∇ ( i ) ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ( i ) ρ ) = ∑ α 1 , α 2 , ⋯ , α i = 1 n ∂ i ∂ r α 1 ∂ r α 2 ⋯ ∂ r α i ∂ F ∂ ρ α 1 α 2 ⋯ α i . { displaystyle nabla ^ {(i)} cdot { frac { částečné f} { částečné levé ( nabla ^ {(i)} rho pravé)}} = součet _ { alfa _ {1}, alpha _ {2}, cdots, alpha _ {i} = 1} ^ {n} { frac { částečné ^ {, i}} { částečné r _ { alfa _ { 1}} , částečné r _ { alfa _ {2}} cdots částečné r _ { alfa _ {i}}}} { frac { částečné f} { částečné rho _ { alfa _ {1} alpha _ {2} cdots alpha _ {i}}}} .} [Poznámka 6] Příklady Kinetická energie Thomase – Fermiho funkční The Thomas – Fermiho model z roku 1927 použil kinetickou energii funkční pro neinteraktivní uniformu elektronový plyn při prvním pokusu o teorie hustoty a funkce elektronické struktury:
T T F [ ρ ] = C F ∫ ρ 5 / 3 ( r ) d r . { displaystyle T _ { mathrm {TF}} [ rho] = C _ { mathrm {F}} int rho ^ {5/3} ( mathbf {r}) , d mathbf {r} ,.} Vzhledem k tomu, integrand z T TF [ρ ] nezahrnuje deriváty ρ (r ) , funkční derivát T TF [ρ ] je,[9]
δ T T F δ ρ ( r ) = C F ∂ ρ 5 / 3 ( r ) ∂ ρ ( r ) = 5 3 C F ρ 2 / 3 ( r ) . { displaystyle { begin {aligned} { frac { delta T _ { mathrm {TF}}} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} & = C _ { mathrm {F}} { frac { částečné rho ^ {5/3} ( mathbf {r})} { částečné rho ( mathbf {r})}} & = { frac {5} {3}} C _ { mathrm {F}} rho ^ {2/3} ( mathbf {r}) ,. End {zarovnáno}}} Coulombova potenciální energie funkční Pro potenciál elektron-jádro , Thomas a Fermi zaměstnávali Coulomb potenciální energie funkční
PROTI [ ρ ] = ∫ ρ ( r ) | r | d r . { displaystyle V [ rho] = int { frac { rho ({ boldsymbol {r}})} {| { boldsymbol {r}} |}} d { boldsymbol {r}}.} Použití definice funkčního derivátu,
∫ δ PROTI δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ε ∫ ρ ( r ) + ε ϕ ( r ) | r | d r ] ε = 0 = ∫ 1 | r | ϕ ( r ) d r . { displaystyle { begin {zarovnáno} int { frac { delta V} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} & {} = left [{ frac {d} {d varepsilon}} int { frac { rho ({ boldsymbol {r}}) + varepsilon phi ({ boldsymbol {r}})} {| { boldsymbol {r}} |}} d { boldsymbol {r}} doprava] _ { varepsilon = 0} & {} = int { frac { 1} {| { boldsymbol {r}} |}} , phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} ,. End {zarovnáno}}} Tak,
δ PROTI δ ρ ( r ) = 1 | r | . { displaystyle { frac { delta V} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}}} = { frac {1} {| { boldsymbol {r}} |}} .} Pro klasickou část interakce elektron-elektron , Thomas a Fermi zaměstnávali Coulomb potenciální energie funkční
J [ ρ ] = 1 2 ∬ ρ ( r ) ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r d r ′ . { displaystyle J [ rho] = { frac {1} {2}} iint { frac { rho ( mathbf {r}) rho ( mathbf {r} ')} { vert mathbf {r} - mathbf {r} ' vert}} , d mathbf {r} d mathbf {r}' ,.} Z definice funkčního derivátu ,
∫ δ J δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = [ d d ϵ J [ ρ + ϵ ϕ ] ] ϵ = 0 = [ d d ϵ ( 1 2 ∬ [ ρ ( r ) + ϵ ϕ ( r ) ] [ ρ ( r ′ ) + ϵ ϕ ( r ′ ) ] | r − r ′ | d r d r ′ ) ] ϵ = 0 = 1 2 ∬ ρ ( r ′ ) ϕ ( r ) | r − r ′ | d r d r ′ + 1 2 ∬ ρ ( r ) ϕ ( r ′ ) | r − r ′ | d r d r ′ { displaystyle { begin {zarovnaný} int { frac { delta J} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} & {} = left [{ frac {d } {d epsilon}} , J [ rho + epsilon phi] right] _ { epsilon = 0} & { } = left [{ frac {d } {d epsilon}} , left ({ frac {1} {2}} iint { frac {[ rho ({ boldsymbol {r}}) ) + epsilon phi ({ boldsymbol {r}})] , [ rho ({ boldsymbol {r}} ') + epsilon phi ({ boldsymbol {r}}')]}} vert { boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}} ' vert}} , d { boldsymbol {r}} d { boldsymbol {r}}' right) right] _ { epsilon = 0} & {} = { frac {1} {2}} iint { frac { rho ({ boldsymbol {r}} ') phi ({ boldsymbol {r}})}} vert { boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}} ' vert}} , d { boldsymbol {r}} d { boldsymbol {r}}' + { frac {1} {2 }} iint { frac { rho ({ boldsymbol {r}}) phi ({ boldsymbol {r}} ')} { vert { boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}} ' vert}} , d { boldsymbol {r}} d { boldsymbol {r}}' konec {zarovnáno}}} První a druhý člen na pravé straně poslední rovnice jsou stejné, protože r a r ' ve druhém členu lze zaměnit beze změny hodnoty integrálu. Proto,
∫ δ J δ ρ ( r ) ϕ ( r ) d r = ∫ ( ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ ) ϕ ( r ) d r { displaystyle int { frac { delta J} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}} = int left ( int { frac { rho ({ boldsymbol {r}} ')} { vert { boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}}' vert}} d { boldsymbol {r}} ' right) phi ({ boldsymbol {r}}) d { boldsymbol {r}}} a funkční derivát funkce potenciální energie coulomb elektron-elektron coulomb J [ρ ] je,[10]
δ J δ ρ ( r ) = ∫ ρ ( r ′ ) | r − r ′ | d r ′ . { displaystyle { frac { delta J} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} = int { frac { rho ({ boldsymbol {r}} ')} { vert { boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}} ' vert}} d { boldsymbol {r}}' ,.} Druhá funkční derivace je
δ 2 J [ ρ ] δ ρ ( r ′ ) δ ρ ( r ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) ( ρ ( r ′ ) | r − r ′ | ) = 1 | r − r ′ | . { displaystyle { frac { delta ^ {2} J [ rho]} { delta rho ( mathbf {r} ') delta rho ( mathbf {r})}} = { frac { částečné} { částečné rho ( mathbf {r} ')}} vlevo ({ frac { rho ( mathbf {r}')}} { vert mathbf {r} - mathbf {r} ' vert}} right) = { frac {1} { vert mathbf {r} - mathbf {r}' vert}}.} Weizsäckerova kinetická energie funkční V roce 1935 von Weizsäcker navrhl přidat korekci gradientu k funkční kinetické energii Thomase-Fermiho, aby lépe vyhovoval molekulárnímu elektronovému mraku:
T Ž [ ρ ] = 1 8 ∫ ∇ ρ ( r ) ⋅ ∇ ρ ( r ) ρ ( r ) d r = ∫ t Ž d r , { displaystyle T _ { mathrm {W}} [ rho] = { frac {1} {8}} int { frac { nabla rho ( mathbf {r}) cdot nabla rho ( mathbf {r})} { rho ( mathbf {r})}} d mathbf {r} = int t _ { mathrm {W}} d mathbf {r} ,,} kde
t Ž ≡ 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ a ρ = ρ ( r ) . { displaystyle t _ { mathrm {W}} equiv { frac {1} {8}} { frac { nabla rho cdot nabla rho} { rho}} qquad { text {a }} rho = rho ({ boldsymbol {r}}) .} Použití dříve odvozeného vzorec pro funkční derivát,
δ T Ž δ ρ ( r ) = ∂ t Ž ∂ ρ − ∇ ⋅ ∂ t Ž ∂ ∇ ρ = − 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 − ( 1 4 ∇ 2 ρ ρ − 1 4 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 ) kde ∇ 2 = ∇ ⋅ ∇ , { displaystyle { begin {aligned} { frac { delta T _ { mathrm {W}}} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} & = { frac { částečný t_ { mathrm {W}}} { částečné rho}} - nabla cdot { frac { částečné t _ { mathrm {W}}} { částečné nabla rho}} & = - { frac {1} {8}} { frac { nabla rho cdot nabla rho} { rho ^ {2}}} - left ({ frac {1} {4}} { frac { nabla ^ {2} rho} { rho}} - { frac {1} {4}} { frac { nabla rho cdot nabla rho} { rho ^ {2}}} vpravo) qquad { text {kde}} nabla ^ {2} = nabla cdot nabla , end {zarovnáno}}} a výsledkem je,[11]
δ T Ž δ ρ ( r ) = 1 8 ∇ ρ ⋅ ∇ ρ ρ 2 − 1 4 ∇ 2 ρ ρ . { displaystyle { frac { delta T _ { mathrm {W}}} { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} = , { frac {1} {8}} { frac { nabla rho cdot nabla rho} { rho ^ {2}}} - { frac {1} {4}} { frac { nabla ^ {2} rho} { rho }} .} Entropie The entropie diskrétní náhodná proměnná je funkční z funkce pravděpodobnostní hmotnosti .
H [ p ( X ) ] = − ∑ X p ( X ) log p ( X ) { displaystyle { begin {zarovnáno} H [p (x)] = - součet _ {x} p (x) log p (x) konec {zarovnáno}}} Tím pádem,
∑ X δ H δ p ( X ) ϕ ( X ) = [ d d ϵ H [ p ( X ) + ϵ ϕ ( X ) ] ] ϵ = 0 = [ − d d ε ∑ X [ p ( X ) + ε ϕ ( X ) ] log [ p ( X ) + ε ϕ ( X ) ] ] ε = 0 = − ∑ X [ 1 + log p ( X ) ] ϕ ( X ) . { displaystyle { begin {aligned} sum _ {x} { frac { delta H} { delta p (x)}} , phi (x) & {} = left [{ frac { d} {d epsilon}} H [p (x) + epsilon phi (x)] right] _ { epsilon = 0} & {} = left [- , { frac {d } {d varepsilon}} sum _ {x} , [p (x) + varepsilon phi (x)] log [p (x) + varepsilon phi (x)] vpravo] _ { varepsilon = 0} & {} = displaystyle - sum _ {x} , [1+ log p (x)] phi (x) ,. end {zarovnáno}}} Tím pádem,
δ H δ p ( X ) = − 1 − log p ( X ) . { displaystyle { frac { delta H} { delta p (x)}} = - 1- log p (x).} Exponenciální Nechat
F [ φ ( X ) ] = E ∫ φ ( X ) G ( X ) d X . { displaystyle F [ varphi (x)] = e ^ { int varphi (x) g (x) dx}.} Použití funkce delta jako testovací funkce,
δ F [ φ ( X ) ] δ φ ( y ) = lim ε → 0 F [ φ ( X ) + ε δ ( X − y ) ] − F [ φ ( X ) ] ε = lim ε → 0 E ∫ ( φ ( X ) + ε δ ( X − y ) ) G ( X ) d X − E ∫ φ ( X ) G ( X ) d X ε = E ∫ φ ( X ) G ( X ) d X lim ε → 0 E ε ∫ δ ( X − y ) G ( X ) d X − 1 ε = E ∫ φ ( X ) G ( X ) d X lim ε → 0 E ε G ( y ) − 1 ε = E ∫ φ ( X ) G ( X ) d X G ( y ) . { displaystyle { begin {aligned} { frac { delta F [ varphi (x)]} { delta varphi (y)}} & {} = lim _ { varepsilon na 0} { frac {F [ varphi (x) + varepsilon delta (xy)] - F [ varphi (x)]} { varepsilon}} & {} = lim _ { varepsilon to 0} { frac {e ^ { int ( varphi (x) + varepsilon delta (xy)) g (x) dx} -e ^ { int varphi (x) g (x) dx}} { varepsilon }} & {} = e ^ { int varphi (x) g (x) dx} lim _ { varepsilon to 0} { frac {e ^ { varepsilon int delta (xy) g (x) dx} -1} { varepsilon}} & {} = e ^ { int varphi (x) g (x) dx} lim _ { varepsilon na 0} { frac { e ^ { varepsilon g (y)} - 1} { varepsilon}} & {} = e ^ { int varphi (x) g (x) dx} g (y). end {zarovnáno} }} Tím pádem,
δ F [ φ ( X ) ] δ φ ( y ) = G ( y ) F [ φ ( X ) ] . { displaystyle { frac { delta F [ varphi (x)]} { delta varphi (y)}} = g (y) F [ varphi (x)].} To je zvláště užitečné při výpočtu korelační funkce z funkce oddílu v kvantová teorie pole .
Funkční derivace funkce Funkce může být zapsána ve formě integrálu jako funkční. Například,
ρ ( r ) = F [ ρ ] = ∫ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) d r ′ . { displaystyle rho ({ boldsymbol {r}}) = F [ rho] = int rho ({ boldsymbol {r}} ') delta ({ boldsymbol {r}} - { boldsymbol { r}} ') , d { boldsymbol {r}}'.} Protože integrand nezávisí na derivátech ρ , funkční derivát ρ (r ) je,
δ ρ ( r ) δ ρ ( r ′ ) ≡ δ F δ ρ ( r ′ ) = ∂ ∂ ρ ( r ′ ) [ ρ ( r ′ ) δ ( r − r ′ ) ] = δ ( r − r ′ ) . { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { delta rho ({ boldsymbol {r}})}} { delta rho ({ boldsymbol {r}} ')}}} ekviv { frac { delta F} { delta rho ({ boldsymbol {r}} ')}} & = { frac { částečné } { částečné rho ({ boldsymbol {r}}')}} , [ rho ({ boldsymbol {r}} ') delta ({ boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}}')] & = delta ({ boldsymbol {r}} - { boldsymbol {r}} '). end {zarovnáno}}} Funkční derivace iterované funkce Funkční derivace iterované funkce F ( F ( X ) ) { displaystyle f (f (x))} darováno:
δ F ( F ( X ) ) δ F ( y ) = F ′ ( F ( X ) ) δ ( X − y ) + δ ( F ( X ) − y ) { displaystyle { frac { delta f (f (x))} { delta f (y)}} = f '(f (x)) delta (xy) + delta (f (x) -y) )} a
δ F ( F ( F ( X ) ) ) δ F ( y ) = F ′ ( F ( F ( X ) ) ( F ′ ( F ( X ) ) δ ( X − y ) + δ ( F ( X ) − y ) ) + δ ( F ( F ( X ) ) − y ) { displaystyle { frac { delta f (f (f (x)))} { delta f (y)}} = f '(f (f (x)) (f' (f (x)) delta (xy) + delta (f (x) -y)) + delta (f (f (x)) - y)} Obecně:
δ F N ( X ) δ F ( y ) = F ′ ( F N − 1 ( X ) ) δ F N − 1 ( X ) δ F ( y ) + δ ( F N − 1 ( X ) − y ) { displaystyle { frac { delta f ^ {N} (x)} { delta f (y)}} = f '(f ^ {N-1} (x)) { frac { delta f ^ {N-1} (x)} { delta f (y)}} + delta (f ^ {N-1} (x) -y)} Uvedení N = 0 dává:
δ F − 1 ( X ) δ F ( y ) = − δ ( F − 1 ( X ) − y ) F ′ ( F − 1 ( X ) ) { displaystyle { frac { delta f ^ {- 1} (x)} { delta f (y)}} = - { frac { delta (f ^ {- 1} (x) -y)} {f '(f ^ {- 1} (x))}}} Použití funkce delta jako testovací funkce Ve fyzice je běžné používat Diracova delta funkce δ ( X − y ) { displaystyle delta (x-y)} místo obecné testovací funkce ϕ ( X ) { displaystyle phi (x)} , pro získání funkčního derivátu v bodě y { displaystyle y} (toto je bod celé funkční derivace jako a parciální derivace je součástí přechodu):[12]
δ F [ ρ ( X ) ] δ ρ ( y ) = lim ε → 0 F [ ρ ( X ) + ε δ ( X − y ) ] − F [ ρ ( X ) ] ε . { displaystyle { frac { delta F [ rho (x)]} { delta rho (y)}} = lim _ { varepsilon až 0} { frac {F [ rho (x) + varepsilon delta (xy)] - F [ rho (x)]} { varepsilon}}.} To funguje v případech, kdy F [ ρ ( X ) + ε F ( X ) ] { displaystyle F [ rho (x) + varepsilon f (x)]} formálně lze rozšířit jako sérii (nebo alespoň do první objednávky) v ε { displaystyle varepsilon} . Vzorec však není matematicky přísný, protože F [ ρ ( X ) + ε δ ( X − y ) ] { displaystyle F [ rho (x) + varepsilon delta (x-y)]} obvykle není ani definována.
Definice uvedená v předchozí části je založena na vztahu, který platí pro všechny testovací funkce ϕ , takže by si někdo mohl myslet, že by to mělo platit i tehdy ϕ je vybrána jako konkrétní funkce, jako je delta funkce . Ta druhá však není platná testovací funkce (není to ani správná funkce).
V definici funkční derivace popisuje, jak je funkční F [ φ ( X ) ] { displaystyle F [ varphi (x)]} změny v důsledku malé změny v celé funkci φ ( X ) { displaystyle varphi (x)} . Zvláštní forma změny v φ ( X ) { displaystyle varphi (x)} není specifikováno, ale mělo by se táhnout po celém intervalu, na kterém X { displaystyle x} je definováno. Zaměstnávání konkrétní formy rušení dané funkcí delta má význam φ ( X ) { displaystyle varphi (x)} se mění pouze v bodě y { displaystyle y} . S výjimkou tohoto bodu není žádná změna φ ( X ) { displaystyle varphi (x)} .
Poznámky ^ Podle Giaquinta & Hildebrandt (1996) , str. 18, tato notace je obvyklá v fyzický literatura. ^ Volala rozdíl v (Parr & Yang 1989 , str. 246), variace nebo první variace v (Courant & Hilbert 1953 , str. 186) a variace nebo rozdíl v (Gelfand & Fomin 2000 , str. 11, § 3.2). ^ Tady notace δ F δ ρ ( X ) ≡ δ F δ ρ ( X ) { displaystyle { frac { delta {F}} { delta rho}} (x) equiv { frac { delta {F}} { delta rho (x)}}} je představen. ^ Pro trojrozměrný kartézský souřadnicový systém ∂ F ∂ ∇ ρ = ∂ F ∂ ρ X i ^ + ∂ F ∂ ρ y j ^ + ∂ F ∂ ρ z k ^ , kde ρ X = ∂ ρ ∂ X , ρ y = ∂ ρ ∂ y , ρ z = ∂ ρ ∂ z a i ^ , j ^ , k ^ jsou jednotkové vektory podél os x, y, z. { displaystyle { begin {zarovnáno} { frac { částečné f} { částečné nabla rho}} = { frac { částečné f} { částečné rho _ {x}}} mathbf { klobouk {i}} + { frac { částečné f} { částečné rho _ {y}}} mathbf { hat {j}} + { frac { částečné f} { částečné rho _ { z}}} mathbf { hat {k}} ,, qquad & { text {kde}} rho _ {x} = { frac { částečné rho} { částečné x}} ,, rho _ {y} = { frac { částečné rho} { částečné y}} ,, rho _ {z} = { frac { částečné rho} { částečné z} } , & { text {and}} mathbf { hat {i}}, mathbf { hat {j}}, mathbf { hat {k}} { text {jsou jednotkové vektory podél os x, y, z.}} end {zarovnáno}}} ^ Například pro případ tří dimenzí (n = 3 ) a deriváty druhého řádu (i = 2 ), tenzor ∇(2) má komponenty, [ ∇ ( 2 ) ] α β = ∂ 2 ∂ r α ∂ r β kde α , β = 1 , 2 , 3 . { displaystyle left [ nabla ^ {(2)} right] _ { alpha beta} = { frac { částečné ^ {, 2}} { částečné r _ { alfa} , částečné r _ { beta}}} qquad qquad { text {kde}} quad alfa, beta = 1,2,3 ,.} ^ Například pro případ n = 3 a i = 2 , tenzorový skalární součin je, ∇ ( 2 ) ⋅ ∂ F ∂ ( ∇ ( 2 ) ρ ) = ∑ α , β = 1 3 ∂ 2 ∂ r α ∂ r β ∂ F ∂ ρ α β kde ρ α β ≡ ∂ 2 ρ ∂ r α ∂ r β . { displaystyle nabla ^ {(2)} cdot { frac { částečné f} { částečné levé ( nabla ^ {(2)} rho pravé)}} = součet _ { alfa, beta = 1} ^ {3} { frac { částečné ^ {, 2}} { částečné r _ { alfa} , částečné r _ { beta}}} { frac { částečné f } { částečné rho _ { alpha beta}}} qquad { text {kde}} rho _ { alpha beta} equiv { frac { částečné ^ {, 2} rho} { částečné r _ { alfa} , částečné r _ { beta}}} .} ^ A b (Giaquinta a Hildebrandt 1996 , str. 18) ^ (Parr & Yang 1989 , str. 246, ekv. A.2). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 246, ekv. A.1). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 246). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 247, ekv. A.3). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 247, ekv. A.4). ^ (Greiner & Reinhardt 1996 , str. 38, ekv. 6). ^ (Greiner & Reinhardt 1996 , str. 38, ekv. 7). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 247, ekv. A.6). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 248, ekv. A.11). ^ (Parr & Yang 1989 , str. 247, ekv. A.9). ^ Greiner & Reinhardt 1996 , str. 37Reference Courant, Richarde ; Hilbert, David (1953). „Kapitola IV. Variační počet“. Metody matematické fyziky . Sv. I (First English ed.). New York, New York: Vydavatelé mezi vědami , Inc. str. 164–274. ISBN 978-0471504474 . PAN 0065391 . Zbl 0001.00501 .CS1 maint: ref = harv (odkaz) .Frigyik, Béla A .; Srivastava, Santosh; Gupta, Maya R. (leden 2008), Úvod do funkčních derivátů (PDF) , UWEE Tech Report, UWEETR-2008-0001, Seattle, WA: Katedra elektrotechniky na Washingtonské univerzitě, s. 7, archivovány od originál (PDF) dne 2017-02-17, vyvoláno 2013-10-23 .Gelfand, I. M. ; Fomin, S. V. (2000) [1963], Variační počet , přeložil a upravil Richard A. Silverman (revidované anglické vydání), Mineola, NY: Dover Publications , ISBN 978-0486414485 , PAN 0160139 , Zbl 0127.05402 .Giaquinta, Mariano ; Hildebrandt, Stefan (1996), Variační počet 1. Lagrangeový formalismus Grundlehren der Mathematischen Wissenschaften, 310 (1. vyd.), Berlín: Springer-Verlag , ISBN 3-540-50625-X , PAN 1368401 , Zbl 0853.49001 .Greiner, Walter ; Reinhardt, Joachim (1996), „Oddíl 2.3 - Funkční deriváty“, Polní kvantování „S předmluvou D. A. Bromleyho, Berlín – Heidelberg – New York: Springer-Verlag, str.36–38 , ISBN 3-540-59179-6 , PAN 1383589 , Zbl 0844.00006 .Parr, R. G .; Yang, W. (1989). "Dodatek A, Funkční prvky". Hustota-funkční teorie atomů a molekul . New York: Oxford University Press. 246–254. ISBN 978-0195042795 . CS1 maint: ref = harv (odkaz) externí odkazy Prostory Věty Operátoři Algebry Otevřené problémy Aplikace Pokročilá témata