Fredholmské jádro - Fredholm kernel

v matematika, a Fredholmské jádro je určitý typ a jádro na Banachův prostor, spojený s provozovatelé jaderných zařízení v Banachově prostoru. Jsou abstrakcí myšlenky Fredholmova integrální rovnice a Operátor Fredholm, a jsou jedním z předmětů studia v Fredholmova teorie. Jádra Fredholm jsou pojmenována na počest Erik Ivar Fredholm. Hodně z abstraktní teorie Fredholmských jader bylo vyvinuto Alexander Grothendieck a publikováno v roce 1955.

Definice

Nechat B být libovolný Banachův prostor a nechte B^* být jeho dvojí, tj. prostor ohraničené lineární funkcionály na B. The tenzorový produkt ${ displaystyle B ^ {*} otimes B}$ má dokončení podle normy

${ displaystyle Vert X Vert _ { pi} = inf sum _ { {i }} Vert e_ {i} ^ {*} Vert Vert e_ {i} Vert}$

Kde infimum převezme všechny konečné reprezentace

${ displaystyle X = sum _ { {i }} e_ {i} ^ {*} otimes e_ {i} v B ^ {*} otimes B}$

Dokončení podle této normy se často označuje jako

${ displaystyle B ^ {*} { widehat {, otimes ,}} _ { pi} B}$

a nazývá se projektivní topologický tenzorový produkt. Prvky tohoto prostoru se nazývají Fredholmská jádra.

Vlastnosti

Každé jádro Fredholm má formu ve formě

${ displaystyle X = součet _ { {i }} lambda _ {i} e_ {i} ^ {*} další e_ {i}}$

s ${ displaystyle e_ {i} v B}$ a ${ displaystyle e_ {i} ^ {*} v B ^ {*}}$ takhle ${ displaystyle Vert e_ {i} Vert = Vert e_ {i} ^ {*} Vert = 1}$ a

${ displaystyle sum _ { {i }} vert lambda _ {i} vert < infty. ,}$

S každým takovým jádrem je spojen lineární operátor

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X}: B až B}$

který má kanonické zastoupení

${ displaystyle { mathcal {L}} _ {X} f = součet _ { {i }} lambda _ {i} e_ {i} ^ {*} (f) e_ {i}. , }$

S každým jádrem Fredholm je spojena stopa, definovaná jako

${ displaystyle { mbox {tr}} X = součet _ { {i }} lambda _ {i} e_ {i} ^ {*} (e_ {i}). ,}$

str-zahrnutelná jádra

Říká se, že je to jádro Fredholm str-summable -li

${ displaystyle sum _ { {i }} vert lambda _ {i} vert ^ {p} < infty}$

Fredholmské jádro je údajně z objednat q -li q je infimum ze všech ${ displaystyle 0$

pro všechny str pro které to je str-summable.

Provozovatelé jaderných zbraní v Banachových prostorech

Provozovatel L : B→B se říká, že je provozovatel jaderné energie pokud existuje X ∈ ${ displaystyle B ^ {*} { widehat {, otimes ,}} _ { pi} B}$ takhle L = L_X. O takovém operátorovi se říká, že je str-summable a pořádek q -li X je. Obecně může být více než jeden X spojené s takovým provozovatelem jaderné energie, a stopa tedy není jednoznačně definována. Pokud je však objednávka q ≤ 2/3, pak existuje jedinečná stopa, jak je dána větou o Grothendieckovi.

Grothendieckova věta

Li ${ displaystyle { mathcal {L}}: B až B}$ je operátor objednávky ${ displaystyle q leq 2/3}$ pak lze definovat stopu s

${ displaystyle { mbox {Tr}} { mathcal {L}} = součet _ { {i }} rho _ {i}}$

kde ${ displaystyle rho _ {i}}$ jsou vlastní čísla z ${ displaystyle { mathcal {L}}}$. Kromě toho Fredholmský determinant

${ displaystyle det left (1-z { mathcal {L}} right) = prod _ {i} left (1- rho _ {i} z right)}$

je celá funkce z z. Vzorec

${ displaystyle det left (1-z { mathcal {L}} right) = exp { mbox {Tr}} log left (1-z { mathcal {L}} right)}$

drží také. Nakonec, pokud ${ displaystyle { mathcal {L}}}$ je některými parametrizován komplex -hodnotený parametr w, to znamená, ${ displaystyle { mathcal {L}} = { mathcal {L}} _ {w}}$a parametrizace je holomorfní tedy na nějaké doméně

${ displaystyle det left (1-z { mathcal {L}} _ {w} right)}$

je holomorfní ve stejné doméně.

Příklady

Důležitým příkladem je Banachův prostor holomorfních funkcí nad doménou ${ displaystyle D podmnožina mathbb {C} ^ {k}}$. V tomto prostoru je každý jaderný operátor řádu nula, a tedy je stopová třída.

Jaderné prostory

Myšlenku jaderného operátora lze přizpůsobit Fréchetové prostory. A jaderný prostor je Fréchetův prostor, kde každá ohraničená mapa prostoru s libovolným Banachovým prostorem je jaderná.

Reference

• Grothendieck A (1955). "Produkuje tensoriels topologiques et espaces nucléaires". Mem. Amer. Matematika. Soc. 16.
• Grothendieck A (1956). „La théorie de Fredholm“. Býk. Soc. Matematika. Francie. 84: 319–84.
• B.V. Khvedelidze, G.L. Litvinov (2001) [1994], „Jádro Fredholm“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Fréchet M (listopad 1932). „O chování n-té iterace Fredholmského jádra, protože n se stává nekonečným“. Proc. Natl. Acad. Sci. USA. 18 (11): 671–3. doi:10.1073 / pnas.18.11.671. PMC  1076308. PMID  16577494.