Topologický tenzorový produkt - Topological tensor product

v matematika, obvykle existuje mnoho různých způsobů, jak postavit a topologický tenzorový produkt ze dvou topologické vektorové prostory. Pro Hilbertovy prostory nebo jaderné prostory existuje jednoduchý dobře vychovaný teorie tenzorové výrobky (vidět Tenzorový produkt Hilbertových prostorů ), ale obecně Banachovy prostory nebo lokálně konvexní topologické vektorové prostory teorie je notoricky jemná.

Motivace

Jedna z původních motivací pro topologické tenzorové produkty ${ displaystyle { hat { otimes}}}$ je skutečnost, že tenzorové produkty prostorů plynulých funkcí ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$ nechovejte se podle očekávání. Existuje injekce

${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) otimes C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {m}) hookrightarrow C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n + m})}$

ale toto není izomorfismus. Například funkce ${ displaystyle f (x, y) = e ^ {xy}}$ nelze vyjádřit jako konečnou lineární kombinaci hladkých funkcí v ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {x}) otimes C ^ { infty} ( mathbb {R} _ {y}).}$^[1] Izomorfismus získáme až po konstrukci topologického tenzorového produktu; tj.,

${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n}) mathop { hat { otimes}} C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {m}) cong C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n + m})}$

Tento článek nejprve podrobně popisuje konstrukci v případu Banach Space. ${ displaystyle C ^ { infty} ( mathbb {R} ^ {n})}$ není Banachovým prostorem a další případy jsou diskutovány na konci.

Tenzorové produkty Hilbertových prostorů

Hlavní článek: Tenzorový produkt Hilbertových prostorů

Algebraický tenzorový součin dvou Hilbertových prostorů A a B má přirozenou pozitivní definitivu sesquilineární forma (skalární produkt) indukovaný seskvilineárními formami A a B. Zejména tedy má přirozené pozitivní definitivní kvadratická forma a odpovídající dokončení je Hilbertův prostor A ⊗ B, nazývaný (Hilbertův prostor) tenzorový součin A a B.

Pokud vektory A_i a b_j proběhnout ortonormální základy z A a B, pak vektory A_i⊗b_j tvoří ortonormální základ A ⊗ B.

Křížové normy a tenzorové produkty Banachových prostorů

Použijeme notaci z (Ryan 2002 ) v této části. Zjevný způsob, jak definovat tenzorový součin dvou Banachových prostorů A a B je zkopírovat metodu pro Hilbertovy prostory: definovat normu na algebraickém tenzorovém součinu a poté dokončit tuto normu. Problém je v tom, že existuje více než jeden přirozený způsob, jak definovat normu pro tenzorový produkt.

Li A a B jsou Banachovy prostory algebraickým tenzorovým součinem A a B znamená tenzorový produkt z A a B jako vektorové prostory a je označen ${ displaystyle A otimes B}$. Algebraický tenzorový produkt ${ displaystyle A otimes B}$ se skládá ze všech konečných součtů

${ displaystyle x = sum _ {i = 1} ^ {n} a_ {i} mnohokrát b_ {i}}$

kde ${ displaystyle n}$ je přirozené číslo v závislosti na ${ displaystyle x}$ a ${ displaystyle a_ {i} v A}$ a ${ displaystyle b_ {i} v B}$ pro${ displaystyle i = 1, ldots, n}$.

Když A a B jsou Banachovy prostory, a křížová norma str na algebraickém tenzorovém produktu ${ displaystyle A otimes B}$ je norma splňující podmínky

${ displaystyle p (a otimes b) = | a | | b |,}$

${ displaystyle p '(a' otimes b ') = | a' | | b ' |.}$

Tady A' a b′ Jsou v topologické duální prostory z A a B, respektive, a str' je duální norma z str. Termín rozumná crossnorm se také používá pro výše uvedenou definici.

Existuje křížová norma ${ displaystyle pi}$ nazývá se projektivní křížová norma, daná

${ displaystyle pi (x) = inf vlevo { součet _ {i = 1} ^ {n} | a_ {i} | | b_ {i} |: x = součet _ { i} a_ {i} mnohokrát b_ {i} doprava }}$

kde ${ displaystyle x v A otimes B}$.

Ukazuje se, že projektivní křížová norma souhlasí s největší křížovou normou ((Ryan 2002 ), tvrzení 2.1).

Existuje křížová norma ${ displaystyle varepsilon}$ nazývá se injekční křížová norma, daná

${ displaystyle varepsilon (x) = sup {| (a ' otimes b') (x) |: a ' v A', b ' v B', | a ' | = | b ' | = 1 }}$

kde ${ displaystyle x v A otimes B}$. Tady A' a B′ Znamenají topologické duály z A a B, resp.

Všimněte si, že injektivní křížová norma je pouze v jistém rozumném smyslu „nejmenší“.

Dokončení algebraického tenzorového produktu v těchto dvou normách se nazývají projektivní a injektivní tenzorové produkty a jsou označeny ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { pi} B}$ a ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { varepsilon} B.}$

Když A a B jsou Hilbertovy prostory, norma použitá pro jejich Hilbertův prostorový tenzorový součin se nerovná žádné z těchto norem obecně. Někteří autoři to označují σ, takže Hilbertův tenzorový produkt prostoru v sekci výše by byl ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { sigma} B.}$

A uniformní crossnorm α je přiřazení ke každému páru ${ displaystyle (X, Y)}$ Banachových prostorů s rozumnou křížovou normou ${ displaystyle X mnohokrát Y}$ takže pokud ${ displaystyle X, W, Y, Z}$ jsou libovolné Banachovy prostory pak pro všechny (spojité lineární) operátory ${ displaystyle S: X to W}$ a ${ displaystyle T: Y až Z}$ operátor ${ displaystyle S otimes T: X otimes _ { alpha} Y to W otimes _ { alpha} Z}$ je spojitý a ${ displaystyle | S otimes T | leq | S | | T |.}$ Li A a B jsou dva Banachovy prostory a α je jednotná křížová norma, pak α definuje přiměřenou křížovou normu na algebraickém tenzorovém součinu ${ displaystyle A otimes B.}$ Normovaný lineární prostor získaný vybavením ${ displaystyle A otimes B}$ s touto normou je označen ${ displaystyle A otimes _ { alpha} B.}$ Dokončení ${ displaystyle A otimes _ { alpha} B,}$ což je Banachův prostor, je označen ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { alpha} B.}$ Hodnota normy daná α on ${ displaystyle A otimes B}$ a na dokončeném tenzorovém produktu ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { alpha} B}$ pro prvek X v ${ displaystyle A operatorname { hat { otimes}} _ { alpha} B}$ (nebo ${ displaystyle A otimes _ { alpha} B}$) je označen ${ displaystyle alpha _ {A, B} (x)}$ nebo ${ displaystyle alpha (x).}$

Uniformní kříž ${ displaystyle alpha}$ se říká, že je definitivně generováno pokud pro každý pár ${ displaystyle (X, Y)}$ Banachových prostorů a všech ${ displaystyle u v X mnohokrát Y}$,

${ displaystyle alpha (u; X ot Y) = inf { alpha (u; M otimes N): dim M, dim N < infty }.}$

Jednotný crossnorm ${ displaystyle alpha}$ je definitivně generováno pokud pro každý pár ${ displaystyle (X, Y)}$ Banachových prostorů a všech ${ displaystyle u v X mnohokrát Y}$,

${ displaystyle alpha (u) = sup { alpha ((Q_ {E} otimes Q_ {F}) u; (X / E) otimes (Y / F)): dim X / E, dim Y / F < infty }.}$

A tenzorová norma je definován jako konečně generovaný jednotný crossnorm. Projektivní křížová norma ${ displaystyle pi}$ a injektivní křížová norma ${ displaystyle varepsilon}$ definované výše jsou tenzorové normy a nazývají se projektivní tenzorová norma a injektivní tenzorová norma.

Li A a B jsou libovolné Banachovy prostory a α je tedy libovolná jednotná křížová norma

${ displaystyle varepsilon _ {A, B} (x) leq alpha _ {A, B} (x) leq pi _ {A, B} (x).}$

Tenzorové produkty lokálně konvexních topologických vektorových prostorů

Topologie lokálně konvexních topologických vektorových prostorů ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$ jsou dány rodinami semináře. Pro každou volbu semináře dne ${ displaystyle A}$ a dál ${ displaystyle B}$ můžeme definovat odpovídající rodinu křížových norem na algebraickém tenzorovém součinu ${ displaystyle A otimes B,}$ a výběrem jedné křížové normy z každé rodiny dostaneme několik křížových norem ${ displaystyle A otimes B,}$ definování topologie. Obecně existuje obrovské množství způsobů, jak toho dosáhnout. Dva nejdůležitější způsoby jsou převzetí všech projektivních křížových norem nebo všech injektivních křížových norem. Dokončení výsledných topologií na ${ displaystyle A otimes B}$ se nazývají projektivní a injektivní tenzorové produkty a označují se ${ displaystyle A otimes _ { gamma} B}$ a ${ displaystyle A otimes _ { lambda} B.}$ Existuje přirozená mapa z ${ displaystyle A otimes _ { gamma} B}$ na ${ displaystyle A otimes _ { lambda} B.}$

Li ${ displaystyle A}$ nebo ${ displaystyle B}$ je jaderný prostor pak přirozená mapa z ${ displaystyle A otimes _ { gamma} B}$ na ${ displaystyle A otimes _ { lambda} B}$ je izomorfismus. Zhruba to znamená, že pokud ${ displaystyle A}$ nebo ${ displaystyle B}$ je jaderná, pak existuje pouze jeden rozumný tenzorový produkt ${ displaystyle A}$ a ${ displaystyle B}$Tato vlastnost charakterizuje jaderné prostory.

Viz také

• Banachův prostor - Normovaný vektorový prostor, který je kompletní
• Fréchetový prostor - Lokálně konvexní topologický vektorový prostor, který je také úplným metrickým prostorem
• Fredholmské jádro
• Hilbertův prostor - Vnitřní produktový prostor, který je metricky kompletní; Banachův prostor, jehož norma indukuje vnitřní produkt (Norma uspokojuje identitu rovnoběžníku)
• Injekční tenzorový produkt
• Lokálně konvexní topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s topologií definovanou konvexními otevřenými množinami
• Jaderný prostor - Typ topologického vektorového prostoru
• Projektivní tenzorový produkt
• Projektivní topologie
• Tenzorový produkt Hilbertových prostorů - Prostor pro tenzorový produkt vybavený speciálním vnitřním produktem
• Topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s představou blízkosti

Reference

• Ryan, R.A. (2002), Úvod do tenzorových produktů Banach Spaces, New York: Springer.
• Grothendieck, A. (1955), „Produits tensoriels topologiques et espaces nucléaires“, Monografie Americké matematické společnosti, 16.