Plný prostor - Asplund space

v matematika - konkrétně v funkční analýza - an Plný prostor nebo silný prostor rozlišitelnosti je typ dobře vychovaný Banachův prostor. Asplundové prostory byly zavedeny v roce 1968 matematik Edgar Asplund, který se zajímal o Fréchetova rozlišitelnost vlastnosti Funkce Lipschitz na Banachových prostorech.

Ekvivalentní definice

Existuje mnoho ekvivalentních definic toho, co to znamená pro Banachův prostor X být Plný prostor:

• X je Asplund, pokud, a pouze pokud, každý oddělitelný podprostor Y z X má oddělitelné nepřetržitý duální prostor Y^∗.
• X je Asplund, pokud, a pouze pokud, každý kontinuální konvexní funkce Na každém otevřeno konvexní podmnožina U z X je Fréchet rozlišitelný v bodech a hustý G_δ-podmnožina z U.
• X je Asplund, pokud, a pouze pokud, je jeho duální prostor X^∗ má Vlastnost Radon – Nikodým. Tuto nemovitost založili Namioka & Phelps v roce 1975 a Stegall v roce 1978.
• X je Asplund, pokud a pouze pokud, každý neprázdný omezená podmnožina jeho dvojího prostoru X^∗ má slabé - ∗ - plátky libovolně malého průměru.
• X je Asplund právě tehdy, když každý neprázdný slabě - ∗ kompaktní konvexní podmnožina dvojího prostoru X^∗ je slabě uzavřený konvexní obal jeho slabě - silně exponované body. V roce 1975 Huff & Morris ukázal, že tato vlastnost je ekvivalentní tvrzení, že každá ohraničená, uzavřená a konvexní podmnožina dvojího prostoru X^∗ je uzavřený konvexní trup svých krajních bodů.

Vlastnosti Asplundových prostorů

• Třída Asplundových prostorů je uzavřena pod topologickými izomorfismy: tj. Pokud X a Y jsou Banachovy prostory, X je Asplund a X je homeomorfní na Y, pak Y je také asplundský prostor.
• Každý Zavřeno lineární podprostor Asplundova prostoru je Asplundův prostor.
• Každý kvocientový prostor Asplundova prostoru je Asplundův prostor.
• Třída Asplundových prostorů je uzavřena pod příponami: if X je Banachův prostor a Y je podprostor Asplund o X pro které je kvocientový prostor X ⁄ Y je tedy Asplund X je Asplund.
• Každá lokálně Lipschitzova funkce na otevřené podmnožině asplundského prostoru je Fréchet diferencovatelná v bodech nějaké husté podmnožiny její domény. Tento výsledek stanovil Preiss v roce 1990 a má aplikace v teorii optimalizace.
• Následující věta z původního Asplundova článku z roku 1968 je dobrým příkladem toho, proč se neaplundské prostory chovají špatně: if X není prostor Asplund, pak existuje ekvivalentní norma X to nelze rozlišit na Fréchet v každém bodě X.
• V roce 1976 společnost Ekeland & Lebourg ukázala, že pokud X je Banachův prostor, který má ekvivalentní normu, kterou je Fréchet odlišitelný od původu X je Asplundův prostor. V roce 1990 však Haydon uvedl příklad asplundského prostoru, který nemá ekvivalentní normu Gateaux rozlišitelné daleko od původu.

Reference

• Asplund, Edgar (1968). "Fréchetova diferencovatelnost konvexních funkcí". Acta Math. 121: 31–47. doi:10.1007 / bf02391908. ISSN  0001-5962. PAN  0231199.
• Ekeland, Ivar; Lebourg, Gérard (1976). „Obecná rozlišitelnost Fréchet a narušené problémy s optimalizací v Banachových prostorech“. Trans. Amer. Matematika. Soc. 224 (2): 193–216 (1977). doi:10.1090 / s0002-9947-1976-0431253-2. ISSN  0002-9947. PAN  0431253.
• Haydon, Richard (1990). "Protiklad několika otázek o rozptýlených kompaktních prostorech". Býk. London Math. Soc. 22 (3): 261–268. doi:10.1112 / blms / 22.3.261. ISSN  0024-6093. PAN  1041141.
• Huff, R.E .; Morris, P. D. (1975). „Duální prostory s vlastností Kerin – Milman mají vlastnost Radon – Nikodým“. Proc. Amer. Matematika. Soc. 49: 104–108. doi:10.1090 / s0002-9939-1975-0361775-9. ISSN  0002-9939. PAN  0361775.
• Namioka, I.; Phelps, R. R. (1975). Msgstr "Banachovy prostory, které jsou Asplundovy prostory". Vévoda Math. J. 42 (4): 735–750. doi:10.1215 / s0012-7094-75-04261-1. hdl:10338.dmlcz / 127336. ISSN  0012-7094. PAN  0390721.
• Preiss, Davide (1990). "Diferencovatelnost Lipschitzových funkcí na Banachových prostorech". J. Funct. Anální. 91 (2): 312–345. doi:10.1016 / 0022-1236 (90) 90147-D. ISSN  0022-1236. PAN  1058975.
• Stegall, Charles (1978). "Dualita mezi asplundskými prostory a prostory s vlastností Radon – Nikodým". Israel J. Math. 29 (4): 408–412. doi:10.1007 / bf02761178. ISSN  0021-2172. PAN  0493268.