Přísně konvexní prostor - Strictly convex space
v matematika, a přísně konvexní prostor je normovaný vektorový prostor (X, || ||) pro které je uzavřená jednotka míč je přísně konvexní sada. Jinými slovy, striktně konvexní prostor je prostor, pro který, vzhledem k libovolným dvěma odlišným bodům X a y na jednotková koule ∂B (tj hranice jednotkové koule B z X), spojující segment X a y splňuje ∂B pouze v X a y. Přísná konvexnost je někde mezi vnitřní produktový prostor (všechny vnitřní produktové prostory jsou přísně konvexní) a obecný normovaný prostor z hlediska struktury. Zaručuje také jedinečnost nejlepší aproximace prvku v X (přísně konvexní) z konvexního podprostoru Y, za předpokladu, že taková aproximace existuje.
Pokud je normovaný prostor X je kompletní a uspokojuje mírně silnější vlastnost bytí rovnoměrně konvexní (což znamená přísnou konvexnost), pak je také reflexivní Milman-Pettisova věta.
Vlastnosti
Následující vlastnosti jsou ekvivalentní striktní konvexitě.
- A normovaný vektorový prostor (X, || ||) je striktně konvexní právě tehdy X ≠ y a ||X || = || y || = 1 společně znamená, že ||X + y || < 2.
- A normovaný vektorový prostor (X, || ||) je striktně konvexní právě tehdy X ≠ y a ||X || = || y || = 1 společně znamená, že ||αx + (1 − α)y || <1 pro všech 0 <α < 1.
- A normovaný vektorový prostor (X, || ||) je striktně konvexní právě tehdy X ≠ 0 a y ≠ 0 a ||X + y || = || X || + || y || společně to naznačují X = cy pro nějakou konstantu c> 0;
- A normovaný vektorový prostor (X, || ||) je přísně konvexní kdyby a jen kdyby the modul konvexity δ pro (X, || ||) vyhovuje δ(2) = 1.
Viz také
Reference
- Goebel, Kazimierz (1970). "Konvexita koulí a věty s pevným bodem pro mapování s neexistujícím čtvercem". Compositio Mathematica. 22 (3): 269–274.