Ultrasilná topologie - Ultrastrong topology

v funkční analýza, ultra silná topologienebo σ silná topologienebo nejsilnější topologie na scéně B (H) z omezené operátory na Hilbertův prostor je topologie definovaná rodinou seminorů

${ displaystyle p _ { omega} (x) = omega (x ^ {*} x) ^ {1/2}}$

pro pozitivní prvky ${ displaystyle omega}$ z preduální ${ displaystyle L _ {*} (H)}$ který se skládá z stopová třída operátory.^[1]:68

To bylo představeno John von Neumann v roce 1936.^[2]

Vztah se silnou (operátorskou) topologií

Ultra silná topologie je podobná silné (operátorské) topologii. Například na libovolné normou ohraničené množině jsou silný operátor a ultra silná topologie stejné. Ultra silná topologie je silnější než silná topologie operátora.

Jeden problém se silnou topologií operátora spočívá v tom, že duální B (H) se silným operátorem je topologie „příliš malá“. Ultra silná topologie tento problém řeší: duální je úplný predualB_*(H) všech operátorů trasovací třídy. Obecně je ultra silná topologie lepší než topologie silného operátora, ale je složitější ji definovat, takže lidé obvykle používají silnou operátorskou topologii, pokud se jí mohou vyhnout.

Ultrasilnou topologii lze získat ze silné topologie operátora následujícím způsobem. Li H₁ je oddělitelný nekonečný rozměrný Hilbertův prostor B (H) lze vložit do B(H⊗H₁) tenzorováním se zapnutou mapou identity H₁. Pak je omezení silné topologie operátoru zapnuto B(H⊗H₁) je ultra silná topologie B (H)Rovněž je to dáno rodinou seminářů

${ displaystyle x mapsto left ( sum _ {n = 1} ^ { infty} || x xi _ {n} || ^ {2} right) ^ {1/2},}$

kde ${ displaystyle sum _ {n = 1} ^ { infty} || xi _ {n} || ^ {2} < infty}$.^[1]:68

Adjunktní mapa není v ultra silné topologii spojitá. Existuje další topologie zvaná ultra silná * topologie, což je nejslabší topologie silnější než ultra silná topologie, takže adjunktní mapa je spojitá.^[1]:68

Viz také

• Topologie na množině operátorů v Hilbertově prostoru
• ultra slabá topologie
• silná topologie operátora

Reference

• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.