Gateaux derivát - Gateaux derivative

v matematika, Gateauxův rozdíl nebo Gateaux derivát je zobecněním pojmu směrový derivát v diferenciální počet. Pojmenoval podle René Gateaux, francouzský matematik, který zemřel mladý v první světová válka, je definován pro funkce mezi lokálně konvexní topologické vektorové prostory jako Banachovy prostory. Jako Fréchetův derivát na Banachově prostoru se k formalizaci Gateauxova diferenciálu často používá funkční derivace běžně používané v variační počet a fyzika.

Na rozdíl od jiných forem derivací může být Gateauxův rozdíl funkce nelineární. Definice Gateauxova diferenciálu však často vyžaduje, aby to byla a spojitá lineární transformace. Někteří autoři, jako např Tikhomirov (2001), udělejte další rozdíl mezi Gateauxovým diferenciálem (který může být nelineární) a Gateauxovým derivátem (který považují za lineární). Ve většině aplikací plyne spojitá linearita z některých primitivnějších podmínek, které jsou přirozené pro konkrétní nastavení, jako je například uložení komplexní diferencovatelnost v kontextu nekonečná dimenzionální holomorphy nebo kontinuální diferencovatelnost v nelineární analýze.

Definice

Předpokládat ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou lokálně konvexní topologické vektorové prostory (například, Banachovy prostory ), ${ displaystyle U podmnožina X}$ je otevřený a ${ displaystyle F: X až Y}$. Gateauxův rozdíl ${ displaystyle dF (u; psi)}$ z ${ displaystyle F}$ na ${ displaystyle u v U}$ ve směru ${ displaystyle psi v X}$ je definován jako

${ displaystyle dF (u; psi) = lim _ { tau rightarrow 0} { frac {F (u + tau psi) -F (u)} { tau}} = vlevo. { frac {d} {d tau}} F (u + tau psi) vpravo | _ { tau = 0}}$

(1)

Pokud limit existuje pro všechny ${ displaystyle psi v X}$, pak to říká jeden ${ displaystyle F}$ je Gateaux diferencovatelný na ${ displaystyle u}$.

Limit uvedený v (1) je vzat ve vztahu k topologii ${ displaystyle Y}$. Li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou nemovitý topologické vektorové prostory, pak je limit považován za skutečný ${ displaystyle tau}$. Na druhou stranu, pokud ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou komplex topologické vektorové prostory, pak se výše uvedená hranice obvykle bere jako ${ displaystyle tau až 0}$ v složité letadlo jako v definici komplexní diferencovatelnost. V některých případech a slabý limit místo silného limitu, který vede k představě slabého derivátu Gateaux.

Linearita a kontinuita

V každém bodě ${ displaystyle u v U}$, Gateaux diferenciál definuje funkci

${ displaystyle dF (u; cdot): X rightarrow Y.}$

Tato funkce je homogenní ve smyslu pro všechny skaláry ${ displaystyle alpha}$,

${ Displaystyle dF (u; alfa psi) = alfa dF (u; psi). ,}$

Tato funkce však nemusí být aditivní, takže rozdíl Gateaux nemusí být lineární, na rozdíl od Fréchetův derivát. I když je lineární, může selhat na tom, že bude nepřetržitě záviset ${ displaystyle psi}$ -li ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou nekonečné dimenzionální. Navíc pro Gateauxovy diferenciály to jsou lineární a spojité v ${ displaystyle psi}$, existuje několik nerovnocenných způsobů, jak formulovat jejich kontinuální diferencovatelnost.

Zvažte například funkci se skutečnou hodnotou ${ displaystyle F}$ dvou reálných proměnných definovaných

${ displaystyle F (x, y) = { begin {cases} { dfrac {x ^ {3}} {x ^ {2} + y ^ {2}}} & { text {if}} (x , y) neq (0,0), 0 & { text {if}} (x, y) = (0,0). end {případy}}}$

To je Gateaux diferencovatelné na (0, 0)s jeho diferenciem

${ displaystyle dF (0,0; a, b) = { begin {cases} { dfrac {a ^ {3}} {a ^ {2} + b ^ {2}}} & (a, b) not = (0,0), 0 & (a, b) = (0,0). end {případů}}}$

Toto je však spojité, ale ne lineární v argumentech ${ displaystyle (a, b)}$. V nekonečných rozměrech, jakékoli nespojitá lineární funkce na ${ displaystyle X}$ je Gateaux diferencovatelný, ale jeho Gateaux rozdíl na ${ displaystyle 0}$ je lineární, ale ne spojitý.

Vztah s Fréchetovým derivátem

Li ${ displaystyle F}$ je Fréchet diferencovatelný, pak je také Gateaux diferencovatelný a jeho deriváty Fréchet a Gateaux souhlasí. Konverzace zjevně není pravdivá, protože Gateauxova derivace nemusí být lineární nebo spojitá. Ve skutečnosti je dokonce možné, aby Gateauxova derivace byla lineární a spojitá, ale aby Fréchetova derivace neexistovala.

Přesto pro funkce ${ displaystyle F}$ od a komplex Banachův prostor ${ displaystyle X}$ do jiného komplexního Banachova prostoru ${ displaystyle Y}$, derivát Gateaux (kde je limit převzat komplexně ${ displaystyle tau}$ inklinující k nule jako v definici komplexní diferencovatelnost ) je automaticky lineární, věta o Zorn (1945). Kromě toho, pokud ${ displaystyle F}$ je (komplexní) Gateaux odlišitelný u každého ${ displaystyle u v U}$ s derivací

${ Displaystyle DF (u): psi mapsto dF (u; psi)}$

pak ${ displaystyle F}$ je Fréchet rozlišitelný ${ displaystyle U}$ s derivátem Fréchet ${ displaystyle DF}$ (Zorn 1946 ). To je analogické výsledku z basic komplexní analýza že funkce je analytický pokud je komplexně diferencovatelný v otevřené sadě a je základním výsledkem studia nekonečná dimenzionální holomorphy.

Kontinuální rozlišitelnost

Kontinuální diferencovatelnost Gateaux lze definovat dvěma nerovnocennými způsoby. Předpokládejme to ${ displaystyle F: U až Y}$ je Gateaux diferencovatelný v každém bodě otevřené sady ${ displaystyle U}$. Jedna představa o nepřetržité diferencovatelnosti v ${ displaystyle U}$ vyžaduje, aby mapování na produktový prostor

${ displaystyle dF: U krát X pravá šipka Y ,}$

být kontinuální. Linearita nemusí být předpokládána: pokud ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou tedy Fréchetovy prostory ${ displaystyle dF (u; cdot)}$ je automaticky ohraničený a lineární pro všechny ${ displaystyle u}$ (Hamilton 1982 ).

To vyžaduje silnější představa neustálé diferencovatelnosti

${ displaystyle u mapsto DF (u) ,}$

být průběžné mapování

${ displaystyle U až L (X, Y) ,}$

z ${ displaystyle U}$ do prostoru spojitých lineárních funkcí od ${ displaystyle X}$ na ${ displaystyle Y}$. Všimněte si, že to již předpokládá linearitu ${ displaystyle DF (u)}$.

Z důvodu technického pohodlí je tato druhá představa nepřetržité diferencovatelnosti typická (ale ne univerzální) pro prostory ${ displaystyle X}$ a ${ displaystyle Y}$ jsou Banach, protože ${ displaystyle L (X, Y)}$ je také Banach a lze potom použít standardní výsledky z funkční analýzy. První z nich je běžnější definicí v oblastech nelineární analýzy, kde funkční prostory nemusí být nutně Banachovy prostory. Například, diferenciace ve Fréchetových prostorech má aplikace jako Věta o inverzní funkci Nash – Moser ve kterých se často skládají zájmové funkční oblasti plynulé funkce na potrubí.

Vyšší deriváty

Zatímco deriváty Fréchet vyššího řádu jsou přirozeně definovány jako multilineární funkce iterací pomocí izomorfismů ${ displaystyle L ^ {n} (X, Y) = L (X, L ^ {n-1} (X, Y))}$, derivát Gateaux vyššího řádu nelze tímto způsobem definovat. Místo toho ${ displaystyle n}$Gateauxova derivace funkce tého řádu ${ displaystyle F: U podmnožina X až Y}$ ve směru ${ displaystyle h}$ je definováno

${ displaystyle d ^ {n} F (u; h) = vlevo. { frac {d ^ {n}} {d tau ^ {n}}} F (u + tau h) vpravo | _ { tau = 0}.}$

(2)

Spíše než multilineární funkce je to místo a homogenní funkce stupně ${ displaystyle n}$ v ${ displaystyle h}$.

Existuje další kandidát na definici derivace vyššího řádu, funkce

${ displaystyle D ^ {2} F (u) {h, k } = lim _ { tau až 0} { frac {DF (u + tau k) h-DF (u) h} { tau}} = vlevo. { frac { částečné ^ {2}} { částečné tau , částečné sigma}} F (u + sigma h + tau k) vpravo | _ { tau = sigma = 0}}$

(3)

který přirozeně vzniká v variačním počtu jako druhá variace z ${ displaystyle F}$, alespoň ve zvláštním případě, kdy ${ displaystyle F}$ má skalární hodnotu. To však nemusí mít vůbec žádné rozumné vlastnosti, kromě toho, že je v něm samostatně homogenní ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$. Je žádoucí mít k dispozici dostatečné podmínky k zajištění toho ${ displaystyle D ^ {2} F (u) {h, k }}$ je symetrická bilineární funkce ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$, a že souhlasí s polarizace z ${ displaystyle d ^ {n} F}$.

Například platí následující dostatečná podmínka (Hamilton 1982 ). Předpokládejme to ${ displaystyle F}$ je ${ displaystyle C ^ {1}}$ v tom smyslu, že mapování

${ displaystyle DF: U krát X až Y}$

je spojitý v topologii produktu a navíc druhá derivace definovaná (3) je také kontinuální v tom smyslu, že

${ displaystyle D ^ {2} F: U krát X krát X až Y}$

je spojitý. Pak ${ displaystyle D ^ {2} F (u) {h, k }}$ je bilineární a symetrický ${ displaystyle h}$ a ${ displaystyle k}$. Na základě bilinearity zůstává polarizační identita

${ displaystyle D ^ {2} F (u) {h, k } = { frac {1} {2}} d ^ {2} F (u; h + k) -d ^ {2} F (u; h) -d ^ {2} F (u; k)}$

týkající se derivátu druhého řádu ${ displaystyle D ^ {2} F (u)}$ s diferenciálem ${ displaystyle d ^ {2} F (u ;-)}$. Podobné závěry platí pro deriváty vyššího řádu.

Vlastnosti

Verze základní věta o počtu platí pro derivát Gateaux z ${ displaystyle F}$, za předpokladu ${ displaystyle F}$ se předpokládá dostatečně kontinuálně diferencovatelné. Konkrétně:

• Předpokládejme to ${ displaystyle F: X až Y}$ je ${ displaystyle C ^ {1}}$ ve smyslu, že Gateauxova derivace je spojitá funkce ${ displaystyle dF: U krát X až Y}$. Pak pro všechny ${ displaystyle u v U}$ a ${ displaystyle h v X}$,

${ displaystyle F (u + h) -F (u) = int _ {0} ^ {1} dF (u + th; h) , dt}$

kde integrál je Gelfand – Pettisův integrál (slabý integrál).

Z toho vyplývá mnoho dalších známých vlastností derivátu, jako je multilinearita a komutativita derivátů vyššího řádu. Mezi další vlastnosti, také důsledky základní věty, patří:

• (The řetězové pravidlo)

${ displaystyle d (G circ F) (u; x) = dG (F (u); dF (u; x))}$

pro všechny ${ displaystyle u v U}$ a ${ displaystyle x v X}$. (Všimněte si, že stejně jako u jednoduchých částečné derivace derivát Gateaux ano ne splňují pravidlo řetězu, pokud je derivát povolen jako diskontinuální.)

• (Taylorova věta se zbytkem)

Předpokládejme, že úsečka mezi ${ displaystyle u v U}$ a ${ displaystyle u + h}$ leží úplně uvnitř ${ displaystyle U}$. Li ${ displaystyle F}$ je ${ displaystyle C ^ {k}}$ pak

${ displaystyle F (u + h) = F (u) + dF (u; h) + { frac {1} {2!}} d ^ {2} F (u; h) + tečky + { frac {1} {(k-1)!}} d ^ {k-1} F (u; h) + R_ {k}}$

kde zbytek je dán vztahem

${ displaystyle R_ {k} (u; h) = { frac {1} {(k-1)!}} int _ {0} ^ {1} (1-t) ^ {k-1} d ^ {k} F (u + th; h) , dt}$

Příklad

Nechat ${ displaystyle X}$ být Hilbertův prostor z čtvercově integrovatelné funkce na Lebesgue měřitelná sada ${ displaystyle Omega}$ v Euklidovský prostor ${ displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$. Funkční

${ displaystyle E: X rightarrow mathbb {R}}$

${ displaystyle E (u) = int _ { Omega} F (u (x)) , dx}$

kde ${ displaystyle F}$ je nemovitý -hodnotová funkce reálné proměnné a ${ displaystyle u}$ je definováno na ${ displaystyle Omega}$ se skutečnými hodnotami má Gateauxův derivát

${ Displaystyle dE (u, psi) = langle F '(u), psi rangle: = int _ { Omega} F' (u (x)) , psi (x) , dx .}$

Ve skutečnosti je výše uvedený limit ${ displaystyle tau až 0}$ z

${ displaystyle { begin {zarovnáno} { frac {E (u + tau psi) -E (u)} { tau}} & = { frac {1} { tau}} vlevo ( int _ { Omega} F (u + tau , psi) , dx- int _ { Omega} F (u) , dx vpravo) [6pt] & = { frac {1} { tau}} left ( int _ { Omega} int _ {0} ^ {1} { frac {d} {ds}} F (u + s , tau , psi) , ds , dx right) [6pt] & = int _ { Omega} int _ {0} ^ {1} F '(u + s tau psi) , psi , ds , dx. end {zarovnáno}}}$

Viz také

• Hadamardův derivát
• Derivace (zevšeobecnění)
• Diferenciace ve Fréchetových prostorech
• Fraktální derivát
• Kvazi-derivát
• Kvartérní analýza

Reference

• Gateaux, R (1913), „Sur les fonctionnelles continue et les fonctionnelles analytiques“, Comptes rendus hebdomadaires des séances de l'Académie des sciences, Paříž, 157: 325–327, vyvoláno 2. září 2012.
• Gateaux, R (1919), „Fonctions d'une infinité de variables indépendantes“, Bulletin de la Société Mathématique de France, 47: 70–96.
• Hamilton, R. S. (1982), „Věta o inverzní funkci Nasha a Mosera“, Býk. Amer. Matematika. Soc., 7 (1): 65–222, doi:10.1090 / S0273-0979-1982-15004-2, PAN  0656198
• Hille, Einar; Phillips, Ralph S. (1974), Funkční analýza a poloskupiny„Providence, R.I .: Americká matematická společnost, PAN  0423094.
• Tikhomirov, V.M. (2001) [1994], „Variace Gâteaux“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS.
• Zorn, Max (1945), „Charakterizace analytických funkcí v Banachových prostorech“, Annals of Mathematics, Druhá série, 46 (4): 585–593, doi:10.2307/1969198, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969198, PAN  0014190.
• Zorn, Max (1946), „Deriváty a diferenciály Frechet“, Bulletin of the American Mathematical Society, 52 (2): 133–137, doi:10.1090 / S0002-9904-1946-08524-9, PAN  0014595.