Pseudomonotónní operátor - Pseudo-monotone operator

v matematika, a operátor pseudonotonu od a reflexní Banachův prostor do jeho nepřetržitý duální prostor je ten, který je v jistém smyslu téměř stejný dobře vychovaný jako monotónní operátor. Mnoho problémů v variační počet lze vyjádřit pomocí operátorů, které jsou pseudo-monotónní, a pseudo-monotónnost zase znamená existenci řešení těchto problémů.

Definice

Nechť (X, || ||) být reflexivním Banachovým prostorem. Mapa T : X → X^∗ z X do jeho souvislého duálního prostoru X^∗ se říká, že je pseudo-monotónní -li T je ohraničený operátor (ne nutně nepřetržitě) a pokud kdykoli

${displaystyle u_ {j} ightharpoonup u {mbox {in}} X {mbox {as}} j o infty}$

(tj. u_j slabě konverguje na u) a

${displaystyle limsup _ {j o infty} jazyk T (u_ {j}), u_ {j} -uangle leq 0,}$

z toho vyplývá, že pro všechny proti ∈ X,

${displaystyle liminf _ {j o infty} langle T (u_ {j}), u_ {j} -vangle geq langle T (u), u-vangle.}$

Vlastnosti pseudo-monotónních operátorů

Použitím velmi podobného důkazu jako u Browderova-Mintyova věta, lze zobrazit následující:

Nechť (X, || ||) být a nemovitý, reflexní Banachův prostor a předpokládejme to T : X → X^∗ je ohraničený, donucovací a pseudo-monotónní. Pak pro každého spojité lineární funkční G ∈ X^∗, existuje řešení u ∈ X rovnice T(u) = G.

Reference

• Renardy, Michael & Rogers, Robert C. (2004). Úvod do parciálních diferenciálních rovnic. Texty v aplikované matematice 13 (druhé vydání). New York: Springer-Verlag. p. 367. ISBN  0-387-00444-0. (Definice 9.56, Věta 9.57)