Freudenthalův spektrální teorém - Freudenthal spectral theorem

v matematika, Freudenthalův spektrální teorém je výsledkem v Rieszova teorie prostoru prokázáno Hans Freudenthal v roce 1936. Zhruba uvádí, že jakýkoli prvek, kterému dominuje kladný prvek v a Rieszův prostor s hlavní projekční vlastnost lze v jistém smyslu aproximovat jednotně pomocí jednoduché funkce.

Z Freudenthal spektrální věty lze odvodit řadu známých výsledků. Známý Věta Radon – Nikodym, platnost Poissonův vzorec a spektrální věta z teorie normální operátoři lze všechny ukázat, že následují jako speciální případy Freudenthal spektrální věty.

Prohlášení

Nechat E být jakýmkoli pozitivním prvkem v Rieszově prostoru E. Pozitivní prvek str v E se nazývá součást E -li ${ Displaystyle p klín (e-p) = 0}$. Li ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}$ jsou párové disjunktní komponenty E, jakákoli skutečná lineární kombinace ${ displaystyle p_ {1}, p_ {2}, ldots, p_ {n}}$ se nazývá E- jednoduchá funkce.

Freudenthalova spektrální věta říká: Let E být libovolný Rieszův prostor s hlavní projekční vlastností a E jakýkoli pozitivní prvek v E. Pak pro jakýkoli prvek F v hlavním ideálu generovaném E, existují sekvence ${ displaystyle {s_ {n} }}$ a ${ displaystyle {t_ {n} }}$ z E- jednoduché funkce, takové ${ displaystyle {s_ {n} }}$ je monotónní rostoucí a konverguje E- jednotně na F, a ${ displaystyle {t_ {n} }}$ je monotónní klesá a konverguje E-jednotně do F.

Vztah k Radonově-Nikodýmově větě

Nechat ${ displaystyle (X, Sigma)}$ být změřte prostor a ${ displaystyle M _ { sigma}}$ skutečný prostor podepsaný ${ displaystyle sigma}$- doplňková opatření na ${ displaystyle (X, Sigma)}$. To lze ukázat ${ displaystyle M _ { sigma}}$ je Dedekind dokončen Banach Lattice s celková variační norma, a proto má hlavní projekční vlastnost. Pro jakékoli pozitivní opatření ${ displaystyle mu}$, ${ displaystyle mu}$- lze zobrazit jednoduché funkce (jak jsou definovány výše), které přesně odpovídají ${ displaystyle mu}$-měřitelný jednoduché funkce na ${ displaystyle (X, Sigma)}$ (v obvyklém smyslu). Navíc, protože podle Freudenthal spektrální věty, jakákoli míra ${ displaystyle nu}$ v pásmo generováno podle ${ displaystyle mu}$ lze monotónně aproximovat zespodu pomocí ${ displaystyle mu}$- měřitelné jednoduché funkce na ${ displaystyle (X, Sigma)}$tím, že Lebesgueova monotónní věta o konvergenci ${ displaystyle nu}$ lze ukázat, že odpovídá ${ displaystyle L ^ {1} (X, Sigma, mu)}$ funkce a stanoví izometrický mřížkový izomorfismus mezi pásmem generovaným ${ displaystyle mu}$ a Banachova mříž ${ displaystyle L ^ {1} (X, Sigma, mu)}$.

Viz také

• Věta Radon – Nikodym

Reference

• Zaanen, Adriaan C. (1996), Úvod do teorie operátorů v Rieszových prostorech, Springer, ISBN  3-540-61989-5
• Zaanen, Adriaan C .; Lucembursko, W. A. ​​J. (1971), Rieszovy prostory I, Severní Holandsko, ISBN  0-7204-2451-8