Sobolevova nerovnost - Sobolev inequality

v matematika, je tam matematická analýza třída Sobolevovy nerovnosti, související normy včetně norem z Sobolevovy prostory. Používají se k prokázání Sobolevova věta o vložení, dávat inkluze mezi jistými Sobolevovy prostory a Rellich – Kondrachovova věta což ukazuje, že za mírně silnějších podmínek jsou některé Sobolevovy prostory kompaktně zabudováno v jiných. Jsou pojmenovány po Sergej Lvovič Sobolev.

Sobolevova věta o vložení

Grafické znázornění podmínek vložení. Prostor Ž ^{3, s}, představovaná modrou tečkou v bodě (1 / str., 3), vkládá do mezer označených červenými tečkami, vše leží na čáře se sklonem n. Bílý kruh na (0,0) označuje nemožnost optimálního vložení do L^∞.

Nechat Ž ^{k, str}(Rⁿ) označují Sobolevův prostor skládající se ze všech funkcí se skutečnou hodnotou Rⁿ jehož první k slabé deriváty jsou funkce v L^str. Tady k je nezáporné celé číslo a 1 ≤ str < ∞. První část Sobolevovy věty o vložení uvádí, že pokud k > ℓ a 1 ≤ str < q < ∞ jsou dvě reálná čísla taková

${displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} = {frac {1} {q}} - {frac {ell} {n}},}$

pak

${displaystyle W ^ {k, p} (mathbf {R} ^ {n}) subseteq W ^ {ell, q} (mathbf {R} ^ {n})}$

a vkládání je kontinuální. Ve zvláštním případě k = 1 a ℓ = 0, Sobolevovo vkládání dává

${displaystyle W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n}) subseteq L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n})}$

kde str^∗ je Sobolevův konjugát z str, dána

${displaystyle {frac {1} {p ^ {*}}} = {frac {1} {p}} - {frac {1} {n}}.}$

Tento zvláštní případ Sobolevova zapuštění je přímým důsledkem Gagliardo – Nirenberg – Sobolevova nerovnost. Výsledek by měl být interpretován tak, že říká, že pokud je funkce ${displaystyle f}$ v ${displaystyle L ^ {p} (mathbb {R} ^ {n})}$ má jednu derivaci v ${displaystyle L ^ {p}}$, pak ${displaystyle f}$ sama o sobě zlepšila místní chování, což znamená, že patří do prostoru ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ kde ${displaystyle p ^ {*}> p}$. (Všimněte si, že ${displaystyle 1 / p ^ {*} <1 / p}$, aby ${displaystyle p ^ {*}> p}$.) Jakékoli místní singularity v ${displaystyle f}$ musí být mírnější než u typické funkce v ${displaystyle L ^ {p}}$.

Pokud čára z obrázku nahoře protíná osu y na s = r + α, vložení do Hölderova prostoru C ^{r, α} (červená) drží. Bílé kruhy označují průsečíky, ve kterých optimální vložení nejsou platná.

Druhá část Sobolevovy věty o vložení se vztahuje na vložení do Hölderovy prostory C ^{r, α}(Rⁿ). Li n < pk a

${displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} = - {frac {r + alpha} {n}},}$

s α ∈ (0, 1] pak jeden má vložení

${displaystyle W ^ {k, p} (mathbf {R} ^ {n}) podmnožina C ^ {r, alpha} (mathbf {R} ^ {n}).}$

Tato část Sobolevova vkládání je přímým důsledkem Morreyova nerovnost. Toto zařazení intuitivně vyjadřuje skutečnost, že existence dostatečně mnoha slabých derivátů implikuje určitou kontinuitu klasických derivátů.

Zejména pokud ${displaystyle pk> n}$, bude kritérium vložení platné ${displaystyle r = 0}$ a nějaká pozitivní hodnota ${displaystyle alpha}$. To znamená pro funkci ${displaystyle f}$ na ${displaystyle mathbb {R} ^ {n}}$, pokud ${displaystyle f}$ má ${displaystyle k}$ deriváty v ${displaystyle L ^ {p}}$ a ${displaystyle pk> n}$, pak ${displaystyle f}$ bude spojitý (a vlastně Hölderův spojitý s nějakým pozitivním exponentem ${displaystyle alpha}$).

Zobecnění

Věta o Sobolevově vložení platí pro Sobolevovy prostory Ž ^{k, str}(M) na jiných vhodných doménách M. Zejména (Aubin 1982, Kapitola 2; Aubin 1976 ), obě části Sobolevova vkládání drží, když

• M je ohraničený otevřená sada v Rⁿ s Lipschitz hranice (nebo jejíž hranice splňuje stav kužele; Adams 1975, Věta 5.4)
• M je kompaktní Riemannovo potrubí
• M je kompaktní Riemannian potrubí s hranicí a hranicí je Lipschitz (což znamená, že hranici lze lokálně reprezentovat jako graf Lipschitzovy spojité funkce).
• M je kompletní Riemannovo potrubí s poloměr vstřikování δ > 0 a ohraničený řezové zakřivení.

Li M je ohraničený otevřený soubor v Rⁿ potom s kontinuální hranicí Ž^1,2(M) je kompaktně zabudován do L²(M) (Nečas 2012, Sekce 1.1.5, Věta 1.4).

Kondrachov věta o vložení

Na kompaktním potrubí M s C¹ hranice, Kondrachov věta o vložení uvádí, že pokud k > ℓ a

$${displaystyle {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}} <{frac {1} {q}} - {frac {ell} {n}}}$$

${displaystyle W ^ {k, p} (M) podmnožina W ^ {ell, q} (M)}$

je zcela kontinuální (kompaktní). Všimněte si, že podmínka je stejně jako v první části Sobolevovy věty o vložení, přičemž rovnost nahrazena nerovností, což vyžaduje pravidelnější prostor Ž ^{k, str}(M).

Gagliardo – Nirenberg – Sobolevova nerovnost

Předpokládat, že u je nepřetržitě diferencovatelná funkce se skutečnou hodnotou Rⁿ s kompaktní podpora. Pak pro 1 ≤ str < n existuje konstanta C záleží jen na n a str takhle

${displaystyle | u | _ {L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n})} leq C | Du | _ {L ^ {p} (mathbf {R} ^ {n})} .}$

s 1 / p * = 1 / p - 1 / n. Případ ${displaystyle 1$

je kvůli Sobolevovi, ${displaystyle p = 1}$ nezávisle na Gagliardovi a Nirenbergovi. Gagliardo – Nirenberg – Sobolevova nerovnost implikuje přímo Sobolevovo vložení

${displaystyle W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n}) podmnožina L ^ {p ^ {*}} (mathbf {R} ^ {n}).}$

Vložení do jiných objednávek dne Rⁿ se pak získají vhodnou iterací.

Hardy – Littlewood – Sobolevovo lemma

Sobolevův původní důkaz Sobolevovy věty o vložení se opíral o následující, někdy známý jako Hardy – Littlewood – Sobolev částečná integrace teorém. Ekvivalentní prohlášení je známé jako Sobolevovo lemma v (Aubin 1982, Kapitola 2). Doklad je v (Steine, Kapitola V, bod 1.3) chyba harv: žádný cíl: CITEREFStein (Pomoc).

Nechat 0 < α < n a 1 < str < q < ∞. Nechat Já_α = (−Δ)^−α/2 být Rieszův potenciál na Rⁿ. Pak pro q definován

${displaystyle {frac {1} {q}} = {frac {1} {p}} - {frac {alpha} {n}}}$

existuje konstanta C záleží jen na str takhle

${displaystyle left | I_ {alpha} boj | _ {q} leq C | f | _ {p}.}$

Li str = 1, pak jeden má dva možné odhady náhrady. První je klasičtější odhad slabého typu:

${displaystyle mleft {x: left | I_ {alpha} f (x) ight |> lambda ight} leq Cleft ({frac {| f | _ {1}} {lambda}} ight) ^ {q},}$

kde 1/q = 1 − α/n. Alternativně jeden má odhad

$${displaystyle left | I_ {alpha} boj | _ {q} leq C | Rf | _ {1},}$$

${displaystyle Rf}$

Hardy – Littlewood – Sobolevovo lemma implikuje Sobolevovo zakotvení v zásadě vztahem mezi Riesz se transformuje a Rieszovy potenciály.

Morreyova nerovnost

Převzít n < str ≤ ∞. Pak existuje konstanta C, záleží jen na str a n, takový, že

${displaystyle | u | _ {C ^ {0, gamma} (mathbf {R} ^ {n})} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (mathbf {R} ^ {n})} }$

pro všechny u ∈ C¹(Rⁿ) ∩ L^str(Rⁿ), kde

${displaystyle gamma = 1- {frac {n} {p}}.}$

Tedy pokud u ∈ Ž^1,str(Rⁿ), pak u je ve skutečnosti Hölder kontinuální exponentu y, poté, co je možné předefinovat na množině míry 0.

Podobný výsledek platí i v ohraničené doméně U s C¹ hranice. V tomto případě,

${displaystyle | u | _ {C ^ {0, gamma} (U)} leq C | u | _ {W ^ {1, p} (U)}}$

kde konstanta C nyní záleží na n, str a U. Tato verze nerovnosti vyplývá z předchozí verze použitím rozšíření zachovávajícího normu Ž^1,str(U) na Ž^1,str(Rⁿ).

Obecné Sobolevovy nerovnosti

Nechat U být omezenou otevřenou podmnožinou Rⁿ, s C¹ hranice. (U může být také neomezený, ale v tomto případě musí být jeho hranice, pokud existuje, dostatečně zachována.)

Převzít u ∈ Ž ^{k, str}(U). Pak uvažujeme dva případy:

k < n/str

V tomto případě z toho usuzujeme u ∈ L^q(U), kde

${displaystyle {frac {1} {q}} = {frac {1} {p}} - {frac {k} {n}}.}$

Máme navíc odhad

${displaystyle | u | _ {L ^ {q} (U)} leq C | u | _ {W ^ {k, p} (U)}}$,

konstanta C záleží jen na k, str, n, a U.

k > n/str

Zde to uzavíráme u patří a Hölderův prostor, přesněji:

${displaystyle uin C ^ {k-left [{frac {n} {p}} ight] -1, gamma} (U),}$

kde

${displaystyle gamma = {egin {cases} left [{frac {n} {p}} ight] + 1- {frac {n} {p}} & {frac {n} {p}} otin mathbf {Z} {ext {any element in}} (0,1) & {frac {n} {p}} v mathbf {Z} end {cases}}}$

Máme navíc odhad

${displaystyle | u | _ {C ^ {k-left [{frac {n} {p}} ight] -1, gamma} (U)} leq C | u | _ {W ^ {k, p} (U )},}$

konstanta C záleží jen na k, str, n, y, a U. Zejména podmínka ${displaystyle k> n / p}$ zaručuje to ${displaystyle u}$ je spojitý (a vlastně Hölderův spojitý s nějakým pozitivním exponentem).

Případ ${displaystyle p = n, k = 1}$

Li ${displaystyle uin W ^ {1, n} (mathbf {R} ^ {n})}$, pak u je funkce omezená střední oscilace a

${displaystyle | u | _ {BMO} leq C | Du | _ {L ^ {n} (mathbf {R} ^ {n})},}$

pro nějakou konstantu C záleží jen na n. Tento odhad je důsledkem Poincarého nerovnost.

Nashova nerovnost

Nashova nerovnost, kterou zavedl John Nash  (1958 ), uvádí, že existuje konstanta C > 0, tak, že pro všechny u ∈ L¹(Rⁿ) ∩ Ž^1,2(Rⁿ),

${displaystyle | u | _ {L ^ {2} (mathbf {R} ^ {n})} ^ {1 + 2 / n} leq C | u | _ {L ^ {1} (mathbf {R} ^ { n})} ^ {2 / n} | Du | _ {L ^ {2} (mathbf {R} ^ {n})}.}$

Nerovnost vyplývá ze základních vlastností Fourierova transformace. Ve skutečnosti se integruje přes doplněk koule o poloměru ρ,

${displaystyle int _ {| x | geq ho} vlevo | {hat {u}} (x) ight | ^ {2}, dxleq int _ {| x | geq ho} {frac {| x | ^ {2}} {ho ^ {2}}} vlevo | {hat {u}} (x) ight | ^ {2}, dxleq ho ^ {- 2} int _ {mathbf {R} ^ {n}} | Du | ^ { 2}, dx}$

(1)

protože ${displaystyle 1leq | x | ^ {2} / ho ^ {2}}$. Na druhou stranu jeden má

${displaystyle | {hat {u}} | leq | u | _ {L ^ {1}}}$

který, když je integrován přes kouli o poloměru ρ dává

${displaystyle int _ {| x | leq ho} | {hat {u}} (x) | ^ {2}, dxleq ho ^ {n} omega _ {n} | u | _ {L ^ {1}} ^ {2}}$

(2)

kde ω_n je objem n-míč. Výběr ρ minimalizovat součet (1) a (2) a aplikace Parsevalovy věty:

${displaystyle | {hat {u}} | _ {L ^ {2}} = | u | _ {L ^ {2}}}$

dává nerovnost.

Ve zvláštním případě n = 1, Nash nerovnost může být rozšířena na L^str případě jde o zobecnění nerovnosti Gagliardo-Nirenberg-Sobolev (Brezis 2011, Komentáře ke kapitole 8). Ve skutečnosti, pokud Já je ohraničený interval, pak pro všechny 1 ≤ r < ∞ a všechno 1 ≤ q ≤ str < ∞ platí následující nerovnost

${displaystyle | u | _ {L ^ {p} (I)} leq C | u | _ {L ^ {q} (I)} ^ {1-a} | u | _ {W ^ {1, r} (I)} ^ {a},}$

kde:

${displaystyle aleft ({frac {1} {q}} - {frac {1} {r}} + 1ight) = {frac {1} {q}} - {frac {1} {p}}.}$

Logaritmická Sobolevova nerovnost

Nejjednodušší z Sobolevových vnořovacích vět, popsaná výše, uvádí, že pokud je funkce ${displaystyle f}$ v ${displaystyle L ^ {p} (mathbb {R} ^ {n})}$ má jednu derivaci v ${displaystyle L ^ {p}}$, pak ${displaystyle f}$ sám je v ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$, kde

${displaystyle 1 / p ^ {*} = 1 / p-1 / n.}$

Můžeme to vidět jako ${displaystyle n}$ inklinuje k nekonečnu, ${displaystyle p ^ {*}}$ přístupy ${displaystyle p}$. Pokud tedy dimenze ${displaystyle n}$ prostoru, na kterém ${displaystyle f}$ je definován je velký, zlepšení místního chování ${displaystyle f}$ z mít derivát v ${displaystyle L ^ {p}}$ je malý (${displaystyle p ^ {*}}$ je jen o málo větší než ${displaystyle p}$). Zejména u funkcí v nekonečně-dimenzionálním prostoru nemůžeme očekávat žádný přímý analog klasických Sobolevových vnořovacích vět.

Existuje však typ Sobolevovy nerovnosti, kterou zavedl Leonard Gross (Gross 1975 ) a známý jako a logaritmická Sobolevova nerovnost, který má na dimenzi nezávislé konstanty, a proto se nadále drží v nekonečně dimenzionálním prostředí. Logaritmická Sobolevova nerovnost zhruba říká, že pokud je funkce v ${displaystyle L ^ {p}}$ s ohledem na Gaussovu míru a má jednu derivaci, která je také v ${displaystyle L ^ {p}}$, pak ${displaystyle f}$ je v${displaystyle L ^ {p}}$-log ", což znamená, že integrál ${displaystyle | f | ^ {p} přihlásit | f |}$ je konečný. Nerovnost vyjadřující tuto skutečnost má konstanty, které nezahrnují dimenzi prostoru, a nerovnost tedy platí při nastavení Gaussovy míry na nekonečně dimenzionální prostor. Nyní je známo, že logaritmické Sobolevovy nerovnosti platí pro mnoho různých typů měr, nejen pro gaussovské míry.

I když by se mohlo zdát, jako by ${displaystyle L ^ {p}}$-log stav je velmi malé zlepšení oproti tomu, že je v ${displaystyle L ^ {p}}$, toto zlepšení je dostačující k odvození důležitého výsledku, konkrétně hyperkontraktivity pro přidružené Dirichletova forma operátor. Tento výsledek znamená, že pokud je funkce v rozsahu exponenciálu Dirichletova operátoru formy - což znamená, že funkce má v určitém smyslu nekonečně mnoho derivací v ${displaystyle L ^ {p}}$—Tak ta funkce skutečně patří ${displaystyle L ^ {p ^ {*}}}$ pro některé ${displaystyle p ^ {*}> p}$ (Gross 1975 Věta 6).

Reference

• Adams, Robert A. (1975), Sobolevovy prostoryČistá a aplikovaná matematika, 65Akademický tisk, ISBN  978-0-12-044150-1, PAN  0450957.
• Aubin, Thierry (1976), „Espaces de Sobolev sur les variétés riemanniennes“, Bulletin des Sciences Mathématiques, 2e Série, 100 (2): 149–173, PAN  0488125
• Aubin, Thierry (1982), Nelineární analýza na potrubích. Monge-Ampereovy rovniceGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften [Základní principy matematických věd], 252, Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4612-5734-9, ISBN  978-0-387-90704-8, PAN  0681859.
• Brezis, Haim (1983), Analyzujte Fonctionnelle: théorie et applications, Paříž: Masson, ISBN  0-8218-0772-2
• Brezis, Haim (2011), Funkční analýza, Sobolevovy prostory a parciální diferenciální rovnice, Springer Science & Business Media, ISBN  978-0-387-70913-0
• Evans, Lawrence (1998), Parciální diferenciální rovnice, Providence RI: Americká matematická společnost, ISBN  0-8218-0772-2
• Gross, Leonarde (1975), „Logaritmické Sobolevovy nerovnosti“, American Journal of Mathematics, 97 (4): 1061–1083, doi:10.2307/2373688, JSTOR  2373688
• Leoni, Giovanni (2009), První kurz v Sobolevových prostorech, Postgraduální studium matematiky, Americká matematická společnost, ISBN  978-0-8218-4768-8 PAN2527916, Zbl  1180.46001, Přezkoumání MAA
• Maz'ja, Vladimir G. (1985), Sobolevovy prostory, Springer Series in Soviet Mathematics, Springer-Verlag, Z ruštiny přeložila T. O. Shaposhnikova.
• Nash, J. (1958), „Spojitost řešení parabolických a eliptických rovnic“, American Journal of Mathematics, 80 (4): 931–954, doi:10.2307/2372841, hdl:10338.dmlcz / 101876, JSTOR  2372841.
• Nečas, J. (2012), Přímé metody v teorii eliptických rovnicSpringer Monografie z matematiky.
• Nikol'skii, S.M. (2001) [1994], „Vložení věty“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
• Schikorra, Armin; Spector, Daniel; Van Schaftingen, Jean (2017), „An ${displaystyle L ^ {1}}$- odhad typu pro Rieszovy potenciály ", Revista Matemática Iberoamericana, 33 (1): 291–304, arXiv:1411.2318, doi:10,4171 / rmi / 937, S2CID  55497245
• Stein, Elias (1970), Singulární integrály a vlastnosti odlišitelnosti funkcí, Princeton, NJ: Princeton University Press, ISBN  0-691-08079-8