Goldstinova věta - Goldstine theorem - Wikipedia

v funkční analýza, obor matematiky, Goldstinova věta, pojmenoval podle Herman Goldstine, je uvedeno následovně:

Goldstinova věta. Nechat X být Banachův prostor, pak obraz uzavřené jednotkové koule B ⊂ X pod kanonickým zapuštěním do uzavřené jednotkové koule B′′ z dvojitý prostor X ′′ je slabý* -hustý.

Závěr věty není pravdivý pro topologii norem, což lze vidět na základě Banachova prostoru reálných sekvencí, které konvergují k nule, C₀ a jeho bi-duální prostor ℓ_∞.

Důkaz

Lemma

Pro všechny ${ displaystyle x '' v B '}}$, ${ displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} v X '}$ a ${ displaystyle delta> 0}$, existuje ${ displaystyle x in (1+ delta) B}$ takhle ${ displaystyle varphi _ {i} (x) = x '' ( varphi _ {i})}$ pro všechny ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$.

Důkaz Lemmy

Surjektivitou

${ displaystyle { begin {cases} Phi: X to mathbf {C} ^ {n}, x mapsto left ( varphi _ {1} (x), cdots, varphi _ { n} (x) right) end {cases}}}$

můžeme najít ${ displaystyle x v X}$ s ${ displaystyle varphi _ {i} (x) = x '' ( varphi _ {i})}$ pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$.

Teď nech

${ displaystyle Y: = bigcap _ {i} ker varphi _ {i} = ker Phi.}$

Každý prvek z ∈ (X + Y) ∩ (1 + δ)B splňuje ${ displaystyle z in (1+ delta) B}$ a ${ displaystyle varphi _ {i} (z) = z '' ( varphi _ {i})}$, takže stačí ukázat, že křižovatka je neprázdná.

Předpokládejme rozpor, že je prázdný. Pak dist (X, Y) ≥ 1 + δ a podle Hahnova – Banachova věta existuje lineární forma φ ∈ X ′ takhle φ|_Y = 0, φ(X) ≥ 1 + δ a ||φ||_X ′ = 1. Pak φ ∈ rozpětí {φ₁, ..., φ_n} ^[1] a proto

${ Displaystyle 1+ delta leq varphi (x) = x '' ( varphi) leq | varphi | _ {X '} vlevo | x' ' vpravo | _ {X' '} leq 1,}$

což je rozpor.

Důkaz věty

Opravit ${ displaystyle x '' v B '}}$, ${ displaystyle varphi _ {1}, ldots, varphi _ {n} v X '}$ a ${ displaystyle epsilon> 0}$. Prohlédněte si sadu

${ displaystyle U: = {y '' v X '': | (x '' - y '') ( varphi _ {i}) | < epsilon, 1 leq i leq n }. }$

Nechat ${ displaystyle J: X rightarrow X ''}$ být vložením definovaným ${ displaystyle J (x) = { text {Ev}} _ {x}}$, kde ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} ( varphi) = varphi (x)}$ je hodnocení na ${ displaystyle x}$ mapa. Sady formuláře ${ displaystyle U}$ tvoří základ slabé * topologie,^[2] pokud můžeme ukázat, následuje hustota ${ displaystyle J (B) čepice U neq varnothing}$ pro všechny takové ${ displaystyle U}$. Výše uvedené lemma říká, že pro všechny ${ displaystyle delta> 0}$ existuje ${ displaystyle x in (1+ delta) B}$ takhle ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} v U}$. Od té doby ${ displaystyle J (B) podmnožina B ''}$, my máme ${ displaystyle { text {Ev}} _ {x} v (1+ delta) J (B) cap U}$. Můžeme se škálovat, abychom se dostali ${ displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} v J (B)}$. Cílem je ukázat, že za dostatečně malou ${ displaystyle delta> 0}$, my máme ${ displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} v J (B) cap U}$.

Přímou kontrolu máme

${ displaystyle left | left [x '' - { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} right] ( varphi _ {i}) right | = left | varphi _ {i} (x) - { frac {1} {1+ delta}} varphi _ {i} (x) right | = { frac { delta} {1 + delta}} | varphi _ {i} (x) |}$.

Všimněte si, že si můžeme vybrat ${ displaystyle M}$ dostatečně velký na to ${ displaystyle | varphi _ {i} | _ {X '} leq M}$ pro ${ Displaystyle 1 leq i leq n}$.^[3] Všimněte si také, že ${ displaystyle | x | _ {X} leq (1+ delta)}$. Pokud se rozhodneme ${ displaystyle delta}$ aby ${ displaystyle delta M < epsilon}$, pak tu máme

${ displaystyle { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ {i} (x) | leq { frac { delta} {1+ delta}} | varphi _ { i} | _ {X '} | x | _ {X} leq delta | varphi _ {i} | _ {X'} leq delta M < epsilon.}$

Proto máme ${ displaystyle { frac {1} {1+ delta}} { text {Ev}} _ {x} v J (B) cap U}$ podle přání.

Viz také

• Banach – Alaogluova věta
• Bishop – Phelpsova věta
• Eberlein – Šmulianova věta
• Jamesova věta
• Mazurovo lemma

Reference

• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.