Bochnerův prostor - Bochner space
v matematika, Bochnerovy prostory jsou zobecněním pojmu Lp mezery na funkce, jejichž hodnoty leží v a Banachův prostor což nemusí být nutně prostor R nebo C reálných nebo komplexních čísel.
Prostor Lp(X) skládá se ze (tříd ekvivalence) všech Bochner měřitelný funkce F s hodnotami v Banachově prostoru X jehož norma || f ||X spočívá ve standardu Lp prostor. Pokud tedy X je množina komplexních čísel, je to standardní Lebesgue Lp prostor.
Téměř všechny standardní výsledky zapnuty Lp mezery se drží i na Bochnerových mezerách; zejména Bochnerovy prostory Lp(X) jsou Banachovy prostory pro .
Pozadí
Bochnerovy prostory jsou pojmenovány pro polština -americký matematik Salomon Bochner.
Aplikace
Bochnerovy prostory se často používají v funkční analýza přístup ke studiu parciální diferenciální rovnice které závisí na čase, např. the rovnice tepla: pokud je teplota je skalární funkcí času a prostoru, lze psát dělat F rodina f (t) (parametrizováno časem) funkcí prostoru, případně v nějakém Bochnerově prostoru.
Definice
Vzhledem k změřte prostor (T, Σ,μ), a Banachův prostor (X, || · ||X) a 1 ≤p ≤ + ∞, Bochnerův prostor Lp(T; X) je definován jako Kolmogorovův kvocient (podle rovnosti téměř všude ) prostoru všech Bochner měřitelný funkce u : T → X taková, že odpovídající norma je konečná:
Jinými slovy, jak je obvyklé při studiu Lp mezery, Lp(T; X) je prostor třídy ekvivalence funkcí, kde jsou dvě funkce definovány jako ekvivalentní, pokud jsou stejné všude kromě a μ-změřit nulu podmnožina T. Jak je také obvyklé při studiu těchto prostor, je obvyklé notace o zneužití a hovořit o "funkci" v Lp(T; X) spíše než třída ekvivalence (což by bylo technicky správnější).
Aplikace na teorii PDE
Velmi často prostor T je interval času, během kterého chceme vyřešit nějakou parciální diferenciální rovnici, a μ bude jednorozměrný Lebesgueovo opatření. Myšlenkou je považovat funkci času a prostoru za soubor funkcí prostoru, přičemž tato kolekce je parametrizována časem. Například při řešení rovnice tepla v oblasti Ω v Rn a časový interval [0, T], člověk hledá řešení
s časovou derivací
Tady označuje Sobolev Hilbertův prostor jednouslabě rozlišitelný funkce s první slabou derivací v L² (Ω), které zmizí na hranice Ω (ve smyslu stopy, nebo, ekvivalentně, jsou limity hladkých funkcí s kompaktní Podpěra, podpora v Ω); označuje dvojí prostor z .
(„parciální derivace „s ohledem na čas t výše je ve skutečnosti a celková derivace, protože použití Bochnerových prostorů odstraňuje závislost na prostoru.)
Viz také
Reference
- Evans, Lawrence C. (1998). Parciální diferenciální rovnice. Providence, RI: American Mathematical Society. ISBN 0-8218-0772-2.