Opatření oceněné projekcí - Projection-valued measure
v matematika, zejména v funkční analýza, a míra projektované hodnoty (PVM) je funkce definovaná pro určité podmnožiny pevné sady a jejíž hodnoty jsou samoadjung projekce na pevnou Hilbertův prostor. Opatření v hodnotě projekce jsou formálně podobná reálným hodnotám opatření, až na to, že jejich hodnoty jsou spíše samo-adjunktní projekce než reálná čísla. Stejně jako v případě běžných opatření je možné integrovat funkce s komplexní hodnotou s ohledem na PVM; výsledkem takové integrace je lineární operátor v daném Hilbertově prostoru.
K vyjádření výsledků se používají měřítka oceněná projekcí spektrální teorie, jako je důležitá spektrální věta pro operátoři s vlastním nastavením. The Borelův funkční kalkul pro samoadjungující operátory je konstruováno pomocí integrálů s ohledem na PVM. v kvantová mechanika, PVM jsou matematický popis projektivní měření.[je zapotřebí objasnění ] Zobecňují je pozitivní opatření oceněná provozovatelem (POVM) ve stejném smyslu jako a smíšený stav nebo matice hustoty zobecňuje pojem a čistý stav.
Formální definice
Opatření v hodnotě projekce na a měřitelný prostor , kde je σ-algebra podskupin , je mapování z na soubor samoadjung projekce na Hilbertův prostor (tj. ortogonální projekce) takové, že
(kde je operátor identity uživatele ) a pro všechny , následující funkce
je komplexní opatření na (to znamená, že má komplexní hodnotu spočetně aditivní funkce).
Toto opatření označujeme .
Všimněte si, že je míra se skutečnou hodnotou a míra pravděpodobnosti, když má délku jedna.
Li je míra projekce a
pak obrázky , jsou ortogonální navzájem. Z toho vyplývá, že obecně
a dojíždějí.
Příklad. Předpokládat je mírový prostor. Nechť pro každou měřitelnou podmnožinu v ,
být operátorem násobení pomocí funkce indikátoru na L2(X). Pak je míra projekce.
Rozšíření promítaných hodnot, integrálů a spektrální věty
Li π je míra projekce v měřitelném prostoru (X, M), pak mapa
sahá do lineární mapy ve vektorovém prostoru krokové funkce na X. Ve skutečnosti je snadné zkontrolovat, zda je tato mapa a kruhový homomorfismus. Tato mapa se kanonicky rozšiřuje na všechny ohraničené komplexní hodnoty měřitelné funkce na Xa máme následující.
Teorém. Pro všechny omezené M-měřitelná funkce f na X, existuje jedinečný ohraničený lineární operátor
takhle
pro všechny kde označuje komplexní míru
z definice .
Mapa
Často se používá integrální notace , jako v
Věta je také správná pro neomezené měřitelné funkce F, ale pak bude neomezený lineární operátor v Hilbertově prostoru H.
The spektrální věta říká, že každý operátor s vlastním nastavením má přidružené měřítko projekce definované na skutečné ose, takové, že
To umožňuje definovat Borelův funkční kalkul pro tyto provozovatele: pokud je měřitelná funkce, kterou jsme nastavili
Struktura opatření oceňovaných projekcí
Nejprve poskytneme obecný příklad míry oceněné projekcí na základě přímé integrály. Předpokládejme (X, M, μ) je prostor míry a nechť {HX}X ∈ X být μ-měřitelná rodina oddělitelných Hilbertových prostorů. Pro každého E ∈ M, nechť π(E) být operátorem násobení 1E v Hilbertově prostoru
Pak π je míra projekce v hodnotě (X, M).
Předpokládat π, ρ jsou míra projekce na (X, M) s hodnotami v projekcích H, K.. π, ρ jsou jednotně ekvivalentní kdyby a jen kdyby existuje jednotný operátor U:H → K. takhle
pro každého E ∈ M.
Teorém. Pokud (X, M) je standardní Borelův prostor, pak pro každé měřítko oceněné projekcí π na (X, M) brát hodnoty v projekcích a oddělitelný Hilbertův prostor, existuje Borelova míra μ a μ-měřitelná rodina Hilbertových prostorů {HX}X ∈ X, takový, že π je jednotně ekvivalentní násobení 1E v Hilbertově prostoru
Třída míry[je zapotřebí objasnění ] μ a třída ekvivalence míry funkce multiplicity X → dim HX zcela charakterizovat měřítko s projekcí až do jednotné ekvivalence.
Opatření v hodnotě projekce π je homogenní s množstvím n právě tehdy, když má funkce multiplicity konstantní hodnotu n. Jasně,
Teorém. Libovolná míra projekce π odebírání hodnot v projekcích oddělitelného Hilbertova prostoru je ortogonální přímý součet homogenních hodnot s projekcí:
kde
a
Aplikace v kvantové mechanice
V kvantové mechanice, vzhledem k projekci, byla oceněna míra měřitelného prostoru X do prostoru spojitých endomorfismů na Hilbertově prostoru H,
- jednotková koule Hilbertova prostoru H je interpretován jako množina možných stavů Φ kvantového systému,
- měřitelný prostor X je hodnotový prostor pro nějakou kvantovou vlastnost systému („pozorovatelný“),
- míra projekce π vyjadřuje pravděpodobnost, že pozorovatelný nabývá různých hodnot.
Společná volba pro X je skutečná linie, ale může také být
- R3 (pro polohu nebo hybnost ve třech rozměrech),
- diskrétní množina (pro moment hybnosti, energii vázaného stavu atd.),
- dvoubodová množina „true“ a „false“ pro pravdivostní hodnotu libovolného výroku o Φ.
Nechat E být měřitelnou podmnožinou měřitelného prostoru X a Φ normalizovaný vektorový stav v H, takže jeho Hilbertova norma je jednotná, || Φ || = 1. Pravděpodobnost, že pozorovatelná vezme svoji hodnotu v podmnožině E, vzhledem k systému ve stavu Φ, je
kde druhá notace je preferována ve fyzice.
Můžeme to analyzovat dvěma způsoby.
Nejprve pro každou pevnou E, projekce π(E) je operátor s vlastním nastavením na H jehož 1-vlastní prostor jsou stavy Φ, pro které vždy leží hodnota pozorovatelného E, a jehož 0-vlastní prostor jsou stavy Φ, pro které nikdy hodnota leží v pozorovatelném E.
Zadruhé, pro každý fixovaný normalizovaný vektorový stav , asociace
je míra pravděpodobnosti na X dělat hodnoty pozorovatelných do náhodné proměnné.
Měření, které lze provést měřítkem s projekcí π se nazývá a projektivní měření.
Li X je řádek reálného čísla, existuje asociovaný s π, poustevnický operátor A definováno dne H podle
který má čitelnější formu
pokud podpora π je diskrétní podmnožina R.
Výše uvedený operátor A se nazývá pozorovatelný spojený se spektrálním měřítkem.
Každý takto získaný operátor se nazývá pozorovatelný, v kvantové mechanice.
Zobecnění
Myšlenku míry oceněné projekcí zobecňuje pozitivní opatření oceňované operátorem (POVM), kde je potřeba ortogonality implikované operátory projekce nahrazena myšlenkou množiny operátorů, které jsou neortogonálním oddílem jednoty[je zapotřebí objasnění ]. Toto zobecnění je motivováno aplikacemi k teorie kvantové informace.
Viz také
Reference
- Moretti, V. (2018), Spektrální teorie a kvantová mechanika Matematické základy kvantových teorií, symetrií a úvod do algebraické formulace, 110Springer, ISBN 978-3-319-70705-1
- Hall, B.C. (2013), Kvantová teorie pro matematiky, Postgraduální texty z matematiky, 267Springer, ISBN 978-1461471158
- Mackey, G. W., Teorie zastoupení jednotných skupin„The University of Chicago Press, 1976
- M. Reed a B. Simon, Metody matematické fyziky, sv. I – IV, Academic Press 1972.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- G. Teschl, Matematické metody v kvantové mechanice s aplikacemi pro Schrödingerovy operátory, https://www.mat.univie.ac.at/~gerald/ftp/book-schroe/, American Mathematical Society, 2009.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Varadarajan, V. S., Geometrie kvantové teorie V2, Springer Verlag, 1970.