Ursescuova věta - Ursescu theorem
V matematice, zejména v funkční analýza a konvexní analýza, Ursescuova věta je věta, která zobecňuje věta o uzavřeném grafu, otevřená věta o mapování a jednotný princip omezenosti.
Ursescuova věta
Používá se následující notace a pojmy, kde je multifunkční a S je neprázdná podmnožina a topologický vektorový prostor X:
- the afinní rozpětí z S je označen a lineární rozpětí je označen .
- označuje algebraický interiér z S v X.
- označuje relativní algebraický interiér z S (tj. algebraický interiér S v ).
- -li je sudový pro některé / každý zatímco v opačném případě.
- Li S je konvexní, pak lze prokázat, že pro všechny X v X, právě když kužel generovaný je sudový lineární podprostor o X nebo ekvivalentně, pokud a jen pokud je sudový lineární podprostor o X
- The doména je .
- The obrázek uživatele je . Pro jakoukoli podmnožinu , .
- The graf je .
- je Zavřeno (respektive konvexní) pokud je graf je uzavřený (resp. konvexní) v .
- Všimněte si, že je konvexní právě tehdy, když pro všechny a všechno , .
- The inverzní k je multifunkční zařízení definován . Pro jakoukoli podmnožinu , .
- Všimněte si, že pokud je funkce, pak její inverzní je multifunkční získané z kanonické identifikace F s multifunkčním zařízením f: X Y definován .
- je topologický interiér z S s ohledem na T, kde .
- je interiér z S s ohledem na .
Prohlášení
Teorém[1] (Ursescu) — Nechat X být kompletní poloměřitelný lokálně konvexní topologický vektorový prostor a být Zavřeno konvexní multifunkční s neprázdnou doménou. Předpokládat, že je sudový pro některé / každý . Předpokládat, že a nechte (aby ). Pak pro každou čtvrť U z v X, patří do relativního vnitřku v (tj. ). Zejména pokud pak .
Dodatky
Věta o uzavřeném grafu
(Věta o uzavřeném grafu) Nechte X a Y být Fréchetové prostory a T: X → Y být lineární mapa. Pak T je spojitý právě tehdy, když je graf T je uzavřen .
Důkaz: Pro netriviální směr předpokládejme, že graf T je uzavřen a nechal . Je snadné to vidět je uzavřený a konvexní a jeho obraz je X. Dáno X v X, (T x, x) patří takže pro každé otevřené sousedství PROTI z T x v Y, je sousedství města X v X. Tím pádem T je spojitá v X. Q.E.D.
Jednotný princip omezenosti
(Jednotný princip omezenosti) Nechte X a Y být Fréchetové prostory a být bijektivní lineární mapa. Pak T je spojitý právě tehdy je spojitý. Kromě toho, pokud T je tedy spojitý T je izomorfismus z Fréchetové prostory.
Důkaz: Aplikujte uzavřenou větu grafu na T a . Q.E.D.
Otevřená věta o mapování
(Otevřená věta o mapování) Nechte X a Y být Fréchetové prostory a být spojitá surjektivní lineární mapa. Pak T je otevřít mapu.
Důkaz: Jasně, T je uzavřený a konvexní vztah, jehož obraz je Y. Nechat U být neprázdnou otevřenou podmnožinou X, nechť y být v T (U)a nechte X v U být takový, že y = T x. Z Ursescovy věty to vyplývá T (U) je sousedství města y. Q.E.D.
Další důsledky
Následující zápis a pojmy se používají pro tyto důsledky, kde je multifunkční, S je neprázdná podmnožina a topologický vektorový prostor X:
- A konvexní řada s prvky S je série formuláře kde všichni a je řada nezáporných čísel. Li konverguje, pak se nazývá řada konvergentní zatímco pokud je ohraničeno, pak se volá řada ohraničený a b-konvexní.
- S je ideálně konvexní pokud existuje konvergentní b-konvexní řada prvků S má svůj součet v S.
- S je nižší ideálně konvexní pokud existuje Fréchetový prostor Y takhle S se rovná projekci na X nějaké ideálně konvexní podmnožiny B z . Každá ideálně konvexní sada je nižší, ideálně konvexní.
Důsledek Nechat X být sudový nejprve spočítatelné prostor a nechat C být podmnožinou X. Pak:
- Li C je pak nižší, ideálně konvexní .
- Li C je v ideálním případě konvexní .
Související věty
Simonsova věta
Teorém (Simons)[2] Nechat X a Y být nejprve spočítatelné s X lokálně konvexní. Předpokládejme to je multimapa s neprázdnou doménou, která vyhovuje stav (HwX) nebo to jinak předpokládej X je Fréchetový prostor a to je nižší ideálně konvexní. Předpokládat, že je sudový pro některé / každý . Předpokládat, že a nechte . Pak pro každou čtvrť U z v X, patří do relativního vnitřku v (tj. ). Zejména pokud pak .
Robinson – Ursescuova věta
Důsledek (1) (2) v následující větě je známá jako Robinson – Ursescuova věta.[3]
Teorém:Nechat a být normované prostory a být multimapou s neprázdnou doménou. Předpokládejme to Y je sudový prostor, graf ověří stav stav (HwX), a to . Nechat (resp. ) označují uzavřenou jednotkovou kouli dovnitř X (resp. Y) (tak ). Pak jsou ekvivalentní:
- patří do algebraický interiér z .
- .
- Tady existuje takové, že pro všechny , .
- Existují a takové, že pro všechny a všechno , .
- Tady existuje takové, že pro všechny a všechno , .
Viz také
- Věta o uzavřeném grafu
- Věta o uzavřeném grafu (funkční analýza) - Věty pro odvození spojitosti z grafu funkce
- Věta o otevřeném mapování (funkční analýza) - Věta poskytující podmínky pro to, aby spojitá lineární mapa byla otevřenou mapou
- Surjection of Fréchet spaces - Věta charakterizující, když je spojitá lineární mapa mezi Fréchetovými prostory surjektivní.
- Jednotný princip omezenosti - Věta o tom, že bodová omezenost znamená jednotnou omezenost
- Webbedový prostor - Topologické vektorové prostory, pro které platí věty o otevřeném mapování a uzavřeném grafu
Poznámky
- ^ Zalinescu 2002, str. 23.
- ^ Zalinescu 2002, str. 22-23.
- ^ Zalinescu 2002, str. 24.
Reference
- Zalinescu, C (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. River Edge, NJ London: World Scientific. ISBN 981-238-067-1. OCLC 285163112.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
- Baggs, Ivan (1974). "Funkce s uzavřeným grafem". Proceedings of the American Mathematical Society. 43 (2): 439–442. doi:10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN 0002-9939.