Seznam Banachových prostorů - List of Banach spaces

V matematický pole funkční analýza, Banachovy prostory patří mezi nejdůležitější předměty studia. V ostatních oblastech matematická analýza, většina prostorů, které vzniknou v praxi, se také ukáží jako Banachovy prostory.

Klasické Banachovy prostory

Podle Diestel (1984, Kapitola VII), klasické Banachovy prostory jsou definovány Dunford & Schwartz (1958), což je zdroj pro následující tabulku.

Tady K. označuje pole z reálná čísla nebo komplexní čísla a Já je uzavřený a ohraničený interval [A,b]. Číslo p je reálné číslo s 1 < p < ∞, a q je jeho Hölderův konjugát (také s 1 < q < ∞), takže platí následující rovnice:

${displaystyle {frac {1} {q}} + {frac {1} {p}} = 1,}$

a tudíž

${displaystyle q = {frac {p} {p-1}}.}$

Symbol Σ označuje a σ-algebra množin a Ξ označuje pouze algebru množin (pro mezery vyžadující pouze konečnou aditivitu, například ba prostor ). Symbol μ označuje kladnou míru: tj. Funkci kladné množiny se skutečnou hodnotou definovanou na σ-algebře, která je spočetně aditivní.

Klasické Banachovy prostory
	Duální prostor	Reflexní	slabě kompletní	Norma	Poznámky
K.n	K.n	Ano	Ano	${displaystyle | x | _ {2} = vlevo (součet _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {2} vpravo) ^ {1/2}}$
ℓnp	ℓnq	Ano	Ano	${displaystyle | x | _ {p} = left (sum _ {i = 1} ^ {n} | x_ {i} | ^ {p} ight) ^ {1 / p}}$
ℓn∞	ℓn1	Ano	Ano	${displaystyle | x | _ {infty} = max _ {1leq ileq n} | x_ {i} |}$
ℓp	ℓq	Ano	Ano	${displaystyle | x | _ {p} = vlevo (součet _ {i = 1} ^ {infty} | x_ {i} | ^ {p} vpravo) ^ {1 / p}}$	1
ℓ1	ℓ∞	Ne	Ano	${displaystyle | x | _ {1} = součet _ {i = 1} ^ {infty} | x_ {i} |}$
ℓ∞	ba	Ne	Ne	${displaystyle | x | _ {infty} = sup _ {i} | x_ {i} |}$
C	ℓ1	Ne	Ne	${displaystyle | x | _ {infty} = sup _ {i} | x_ {i} |}$
C0	ℓ1	Ne	Ne	${displaystyle | x | _ {infty} = sup _ {i} | x_ {i} |}$	Izomorfní, ale ne izometrické C.
bv	${displaystyle ell _ {infty}}$	Ne	Ano	${displaystyle | x | _ {bv} = | x_ {1} | + součet _ {i = 1} ^ {infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	izomorfní s ${displaystyle ell _ {1}}$
bv0	${displaystyle ell _ {infty}}$	Ne	Ano	${displaystyle | x | _ {bv_ {0}} = součet _ {i = 1} ^ {infty} | x_ {i + 1} -x_ {i} |}$	izometricky izomorfní s ${displaystyle ell _ {1}}$
bs	ba	Ne	Ne	${displaystyle | x | _ {bs} = sup _ {n} vlevo | součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} vpravo |}$	Izometricky izomorfní s ℓ∞.
cs	ℓ1	Ne	Ne	${displaystyle | x | _ {bs} = sup _ {n} vlevo | součet _ {i = 1} ^ {n} x_ {i} vpravo |}$	Izometricky izomorfní s C.
B(X, Ξ)	ba (Ξ)	Ne	Ne	${displaystyle | f | _ {B} = sup _ {xin X} | f (x) |}$
C(X)	rca(X)	Ne	Ne	${displaystyle | f | _ {B} = sup _ {xin X} vlevo | f (x) ight |}$	X je kompaktní Hausdorffův prostor.
ba (Ξ)	?	Ne	Ano	${displaystyle | mu | _ {ba} = sup _ {Ain Sigma} | mu | (A)}$ (variace opatření )
ca (Σ)	?	Ne	Ano	${displaystyle | mu | _ {ba} = sup _ {Ain Sigma} | mu | (A)}$
rca (Σ)	?	Ne	Ano	${displaystyle | mu | _ {ba} = sup _ {Ain Sigma} | mu | (A)}$
Lp(μ)	Lq(μ)	Ano	Ano	${displaystyle | f | _ {p} = vlevo {int | f | ^ {p}, dmu ight} ^ {1 / p}}$	1
L1(μ)	L∞(μ)	Ne	?	${displaystyle | f | _ {1} = int | f |, dmu}$	Pokud opatření μ na S je sigma-konečný
L∞(μ)	${displaystyle N_ {mu} ^ {perp}}$	Ne	?	${displaystyle | f | _ {infty} equiv inf {Cgeq 0: | f (x) | leq C {mbox {pro téměř všechny}} x}.}$	kde ${displaystyle N_ {mu} ^ {perp} = {sigma v ba (Sigma): lambda ll mu}}$
BV (I)	?	Ne	Ano	${displaystyle | f | _ {BV} = lim _ {x o a ^ {+}} | f (x) | + V_ {f} (I)}$	PROTIF(Já) je celková variace z F.
NBV (I)	?	Ne	Ano	${displaystyle | f | _ {BV} = V_ {f} (I)}$	NBV (Já) se skládá z funkcí BV tak, že ${displaystyle lim _ {x o a ^ {+}} f (x) = 0}$.
AC (I)	K.+L∞(Já)	Ne	Ano	${displaystyle | f | _ {BV} = lim _ {x o a ^ {+}} | f (x) | + V_ {f} (I)}$	Izomorfní vůči Sobolevův prostor Ž1,1(Já).
Cn[A,b]	rca ([A,b])	Ne	Ne	${displaystyle | f | = součet _ {i = 0} ^ {n} sup _ {xin [a, b]} | f ^ {(i)} (x) |.}$	Izomorfní do Rn ⊕ C ([A,b]), v podstatě tím, že Taylorova věta.

Banachovy prostory v jiných oblastech analýzy

• The Plných mezer
• The Odolné prostory
• Prostor BMO funkcí omezená střední oscilace
• Prostor funkcí ohraničená variace
• Sobolevovy prostory
• The Birnbaum – Orliczovy prostory L_A(μ).
• Hölderovy prostory C^{k, α}(Ω).
• Lorentzův prostor

Banachovy prostory sloužící jako protiklady

• Jamesův prostor, Banachův prostor, který má Schauderův základ, ale nemá bezpodmínečný Schauderův základ. Jamesův prostor je izometricky izomorfní se svou dvojitou dvojkou, ale není reflexivní.
• Tsirelsonův prostor, reflexivní Banachův prostor, ve kterém ani jeden ℓ^p ani C₀ lze vložit.
• W.T. Gowers výstavba prostoru X to je izomorfní ${displaystyle Xoplus Xoplus X}$ ale ne ${displaystyle Xoplus X}$ slouží jako protiklad pro oslabení prostor Schroeder – Bernsteinova věta ^[1]

Poznámky

Reference

• Diestel, Joseph (1984), Sekvence a série v Banachových prostorech, Springer-Verlag, ISBN  0-387-90859-5.
• Dunford, N .; Schwartz, J.T. (1958), Lineární operátory, část I, Wiley-Interscience.