Surjektivní funkce - Surjective function

v matematika, a funkce F od a soubor X do sady Y je surjektivní (také známý jako nanebo surjection), pokud pro každého živel y v codomain Y z F, existuje alespoň jeden prvek X v doména X z F takhle F(X) = y.^[1][2][3] To se nevyžaduje X být unikátní; funkce F může mapovat jeden nebo více prvků z X na stejný prvek Y.

Surjektivní funkce od doména X na codomain Y. Funkce je surjektivní, protože každý prvek v doméně má hodnotu F(X) pro alespoň jeden prvek X v doméně.

Termín surjektivní a související pojmy injekční a bijektivní byly představeny Nicolas Bourbaki,^[4][5] skupina hlavně francouzština 20. století matematici který pod tímto pseudonymem napsal od roku 1935 sérii knih představujících expozici moderní pokročilé matematiky. Francouzské slovo sur prostředek přes nebo výše, a týká se skutečnosti, že obraz domény surjektivní funkce zcela pokrývá codomain funkce.

Jakákoli funkce vyvolá překvapení o omezující jeho codomain k obrazu své domény. Každá surjektivní funkce má a pravý inverzní a každá funkce se správnou inverzí je nutně surjekcí. The složení surjektivních funkcí je vždy surjektivní. Jakoukoli funkci lze rozložit na surjekci a injekci.

Definice

A surjektivní funkce je funkce jehož obraz se rovná jeho codomain. Ekvivalentně funkce ${displaystyle f}$ s doména ${displaystyle X}$ a codomain ${displaystyle Y}$ je surjective, pokud pro každého ${displaystyle y}$ v ${displaystyle Y}$ existuje alespoň jeden ${displaystyle x}$ v ${displaystyle X}$ s ${displaystyle f (x) = y}$.^[2] Surjekce jsou někdy označeny dvouhlavou šipkou doprava (U + 21A0 ↠ PRAVÁ ŠIPKA DVA HLAVOVÁ ŠIPKA),^[6] jako v ${displaystyle fcolon X woheadrightarrow Y}$.

Symbolicky,

Li ${displaystyle fcolon Xightarrow Y}$, pak ${displaystyle f}$ se říká, že je surjektivní, pokud

${displaystyle forall yin Y ,, existuje xin X, ;; f (x) = y}$.^[3][7]

Příklady

Non-surjective funkce z doména X na codomain Y. Menší žlutý ovál uvnitř Y je obraz (také zvaný rozsah ) z F. Tato funkce je ne surjective, protože obraz nevyplňuje celou codomain. Jinými slovy, Y je obarvený ve dvoukrokovém procesu: Za prvé, pro každého X v X, bod F(X) je zbarveno žlutě; Za druhé, všechny ostatní body v Y, které nejsou žluté, jsou zbarveny modře. Funkce F by bylo surjektivní, pouze kdyby tam nebyly žádné modré body.

• Pro jakoukoli sadu X, funkce identity id_X na X je surjektivní.
• Funkce F : Z → {0,1} definován F(n) = n mod 2 (tj. dokonce celá čísla jsou mapovány na 0 a zvláštní celá čísla do 1) je surjektivní.
• Funkce F : R → R definován F(X) = 2X +1 je surjektivní (a sudé bijektivní ), protože pro každého reálné číslo y, máme X takhle F(X) = y: takové vhodné X je (y − 1)/2.
• Funkce F : R → R definován F(X) = X³ − 3X je surjektivní, protože předobraz každého reálné číslo y je množina řešení kubické polynomické rovnice X³ − 3X − y = 0 a každý kubický polynom se skutečnými koeficienty má alespoň jeden skutečný kořen. Tato funkce však není injekční (a tedy ne bijektivní ), protože například předobraz obrazu y = 2 je {X = −1, X = 2}. (Ve skutečnosti je předobraz této funkce pro každého y, −2 ≤ y ≤ 2 má více než jeden prvek.)
• Funkce G : R → R definován G(X) = X² je ne surjective, protože tam není žádné skutečné číslo X takhle X² = −1. Funkce však G : R → R₀⁺ definován G(X) = X² (s omezenou doménou) je surjektivní, protože pro každého y v nezáporné skutečné doméně Y, existuje alespoň jeden X ve skutečné doméně X takhle X² = y.
• The přirozený logaritmus funkce ln: (0, + ∞) → R je surjective a dokonce bijective (mapování od množiny kladných reálných čísel k množině všech reálných čísel). Jeho inverzní, exponenciální funkce, je-li definována množinou reálných čísel jako doménou, není surjektivní (protože její rozsah je množina kladných reálných čísel).
• The exponenciální matice není surjective, když je viděn jako mapa z prostoru všech n×n matice pro sebe. Obvykle je však definována jako mapa z prostoru všech n×n matice do obecná lineární skupina stupně n (tj skupina ze všech n×n invertibilní matice ). Podle této definice je exponenciální matice surjektivní pro komplexní matice, i když stále není surjektivní pro skutečné matice.
• The projekce od a kartézský součin A × B k jednomu z jejích faktorů je surjektivní, pokud není druhý faktor prázdný.
• Ve 3D videohře se vektory promítají na 2D plochou obrazovku pomocí surjektivní funkce.

Tlumočení pro surjektivní funkce v kartézské rovině, definované mapováním F : X → Y, kde y = F(X), X = doména funkce, Y = rozsah funkce. Každý prvek v rozsahu je podle pravidla mapován na z prvku v doméně F. Může existovat řada prvků domény, které se mapují na stejný prvek rozsahu. To je každý y v Y je mapován z prvku X v X, víc než jeden X lze mapovat na stejné y. Vlevo, odjet: Zobrazena je pouze jedna doména F surjektivní. Že jo: dvě možné domény X₁ a X₂ jsou ukázány.

Nesurjektivní funkce v kartézské rovině. Ačkoli některé části funkce jsou surjektivní, kde prvky y v Y mít hodnotu X v X takhle y = F(X), některé části nejsou. Vlevo, odjet: Tady je y₀ v Y, ale neexistuje X₀ v X takhle y₀ = F(X₀). Že jo: Existují y₁, y₂ a y₃ v Y, ale nejsou tam žádné X₁, X₂, a X₃ v X takhle y₁ = F(X₁), y₂ = F(X₂), a y₃ = F(X₃).

Vlastnosti

Funkce je bijektivní právě když je to zároveň surjektivní a injekční.

Pokud je (jak se často dělá) funkce identifikována s jejím graf, pak surjectivity není vlastnost samotné funkce, ale spíše vlastnost mapování.^[8] To je funkce společně s její doménou. Na rozdíl od injektivity nelze surjektivitu odečíst pouze z grafu funkce.

Surjekce jako pravé invertibilní funkce

Funkce G : Y → X se říká, že je pravý inverzní funkce F : X → Y -li F(G(y)) = y pro každého y v Y (G lze vrátit zpět F). Jinými slovy, G je pravá inverzní funkce k F pokud složení F Ó G z G a F v tomto pořadí je funkce identity na doméně Y z G. Funkce G nemusí být úplná inverzní z F protože složení v opačném pořadí, G Ó F, nemusí být funkce identity v doméně X z F. Jinými slovy, F může vrátit zpět nebo „zvrátit" G, ale nemusí to být nutně zvráceno.

Každá funkce se správnou inverzí je nutně surjekcí. Tvrzení, že každá surjektivní funkce má pravou inverzi, je ekvivalentní s axiom volby.

Li F : X → Y je surjektivní a B je podmnožina z Y, pak F(F ⁻¹(B)) = B. Tím pádem, B lze získat z jeho preimage F ⁻¹(B).

Například na prvním obrázku výše je nějaká funkce G takhle G(C) = 4. K dispozici je také nějaká funkce F takhle F(4) = C. Na tom nezáleží G(C) může rovnat 3; záleží jen na tom F "obrátí" G.

• 

  Surjektivní složení: první funkce nemusí být surjektivní.

• 

  Další surjektivní funkce. (Tenhle je náhodou bijekce )

• 

  A ne-surjektivní funkce. (Tenhle je náhodou injekce )

Surjekce jako epimorfismy

Funkce F : X → Y je surjektivní právě tehdy, když je pravý storno:^[9] dané funkce G,h : Y → Zkdykoli G Ó F = h Ó F, pak G = h. Tato vlastnost je formulována z hlediska funkcí a jejich složení a lze je zobecnit na obecnější představu o morfismy a kategorie a jejich složení. Pravo-rušivé morfismy se nazývají epimorfismus. Konkrétně surjektivní funkce jsou přesně epimorfismy v kategorie sad. Předpona epi je odvozen z řecké předložky ίπί význam přes, výše, na.

Jakýkoli morfismus se správnou inverzí je epimorfismus, ale obrácení není obecně pravdivé. Pravá inverze G morfismu F se nazývá a sekce z F. Morfismus se správnou inverzí se nazývá a split epimorfismus.

Surjekce jako binární vztahy

Libovolná funkce s doménou X a codomain Y může být viděn jako celkem vlevo a pravý-jedinečný binární vztah mezi X a Y ztotožněním s jeho funkční graf. Surjektivní funkce s doménou X a codomain Y je pak binární vztah mezi X a Y to je pravý-jedinečný a oba levý-celkový a celkem správně.

Mohutnost domény domněnky

The mohutnost domény surjektivní funkce je větší nebo rovno mohutnosti její codomain: If F : X → Y je tedy surjektivní funkce X má alespoň tolik prvků jako Y, ve smyslu základní čísla. (Důkaz se odvolává na axiom volby ukázat tuto funkciG : Y → X uspokojující F(G(y)) = y pro všechny y v Y existuje. G je snadno viditelný jako injekční, tedy formální definice z |Y| ≤ |X| je spokojen.)

Konkrétně, pokud obojí X a Y jsou konečný se stejným počtem prvků F : X → Y je surjektivní právě tehdy F je injekční.

Vzhledem k tomu, dvě sady X a Y, notace X ≤^* Y se říká, že buď X je prázdný nebo že existuje podezření z Y na X. Použitím zvoleného axiomu to lze ukázat X ≤^* Y a Y ≤^* X společně to naznačují |Y| = |X|, varianta Schröder – Bernsteinova věta.

Složení a rozklad

The složení surjektivních funkcí je vždy surjektivní: Pokud F a G jsou surjektivní i codomain G se rovná doméně F, pak F Ó G je surjektivní. Naopak, pokud F Ó G je tedy surjektivní F je surjektivní (ale G, funkce použitá jako první, nemusí být). Tyto vlastnosti se zobecňují z surjekcí v kategorie sad každému epimorfismus v každém kategorie.

Libovolnou funkci lze rozložit na surjekci a injekce: Pro jakoukoli funkci h : X → Z existuje překvapení F : X → Y a injekce G : Y → Z takhle h = G Ó F. Chcete-li to vidět, definujte Y být souborem preimages h⁻¹(z) kde z je v h(X). Tyto předobrazy jsou disjunktní a rozdělit X. Pak F nese každý X k prvku Y který jej obsahuje, a G nese každý prvek Y do bodu v Z ke kterému h posílá své body. Pak F je surjective, protože se jedná o projekční mapu, a G je podle definice injektivní.

Vyvolané podezření a vyvolaná bijekce

Jakákoli funkce vyvolá surjekci omezením její codomain na její rozsah. Jakákoli surjektivní funkce indukuje bijekci definovanou na a kvocient jeho domény sbalením všech mapování argumentů na daný pevný obrázek. Přesněji řečeno, každé překvapení F : A → B lze započítat jako projekci následovanou bijekcí následovně. Nechat A/ ~ být třídy ekvivalence z A pod následujícím vztah ekvivalence: X ~ y kdyby a jen kdyby F(X) = F(y). Ekvivalentně A/ ~ je sada všech preimages pod F. Nechat P(~) : A → A/ ~ být projekční mapa který posílá každý X v A do své třídy ekvivalence [X]_~a nechte F_P : A/~ → B být dobře definovanou funkcí danou F_P([X]_~) = F(X). Pak F = F_P Ó P(~).

Viz také

• Bijekce, injekce a surjekce
• Cover (algebra)
• Krycí mapa
• Výčet
• Svazek vláken
• Sada indexů
• Sekce (teorie kategorií)

Reference

Další čtení

• Bourbaki, N. (2004) [1968]. Teorie množin. Základy matematiky. 1. Springer. doi:10.1007/978-3-642-59309-3. ISBN  978-3-540-22525-6. LCCN  2004110815.