Schauderova věta o pevném bodě - Schauder fixed-point theorem

The Schauderova věta o pevném bodě je rozšířením Brouwerova věta o pevném bodě na topologické vektorové prostory, které mohou mít nekonečný rozměr. Tvrdí, že pokud ${ displaystyle K}$ je neprázdné konvexní uzavřená podmnožina a Hausdorff topologický vektorový prostor ${ displaystyle V}$ a ${ displaystyle T}$ je průběžné mapování ${ displaystyle K}$ do sebe takového ${ displaystyle T (K)}$ je obsažen v a kompaktní podmnožina ${ displaystyle K}$, pak ${ displaystyle T}$ má pevný bod.

Důsledek, tzv Schaeferova věta o pevném bodě, je obzvláště užitečné k prokázání existence řešení nelineární parciální diferenciální rovnice.Schaeferova věta je ve skutečnosti zvláštní případ dalekosáhlého Leray – Schauderova věta což dříve prokázal Juliusz Schauder a Jean Leray Prohlášení je následující:

Nechat ${ displaystyle T}$ být kontinuálním a kompaktním mapováním Banachova prostoru ${ displaystyle X}$ do sebe, tak, že soubor

${ displaystyle {x v X: x = lambda Tx { mbox {pro některé}} 0 leq lambda leq 1 }}$

je omezený. Pak ${ displaystyle T}$ má pevný bod.

Dějiny

Věta byla domněnkou a prokázána pro speciální případy, jako jsou Banachovy prostory, Juliusz Schauder v roce 1930. Jeho domněnka pro obecný případ byla publikována v Skotská kniha. V roce 1934 Tychonoff prokázal teorém pro případ, kdy K. je kompaktní konvexní podmnožina a lokálně konvexní prostor. Tato verze je známá jako Věta o pevném bodě Schauder – Tychonoff. B. V. Singbal dokázal teorém pro obecnější případ, kdy K. může být nekompaktní; důkaz je uveden v příloze Bonsallovy knihy (viz odkazy).

Viz také

• Věty s pevným bodem
• Banachova věta o pevném bodě
• Kakutaniho věta o pevném bodě

Reference

• J. Schauder, Der Fixpunktsatz in Funktionalräumen, Studia Math. 2 (1930), 171–180
• A. Tychonoff, Ein Fixpunktsatz, Mathematische Annalen 111 (1935), 767–776
• F. F. Bonsall, Přednášky o některých teorémech funkční analýzy s pevným bodem, Bombay 1962
• D. Gilbarg, N. Trudinger, Eliptické parciální diferenciální rovnice druhého řádu. ISBN  3-540-41160-7.
• E. Zeidler, Nelineární funkční analýza a její aplikace, Já - Věty o pevném bodě

externí odkazy

• „Schauderova věta“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• „Schauderova věta o pevném bodě“. PlanetMath. s připojeným důkazem (pro případ Banachova prostoru).