Kontinuální funkce v kompaktním Hausdorffově prostoru - Continuous functions on a compact Hausdorff space

v matematická analýza a zejména funkční analýza, zásadní roli hraje prostor spojité funkce na kompaktní Hausdorffův prostor s hodnotami v nemovitý nebo komplexní čísla. Tento prostor je označen C(X), je vektorový prostor s ohledem na bodové přidání funkcí a skalární násobení konstantami. Je to navíc a normovaný prostor s normou definovanou

${displaystyle | f | = sup _ {xin X} | f (x) |,}$

the jednotná norma. Jednotná norma definuje topologie z jednotná konvergence funkcí zapnuto X. Prostor C(X) je Banachova algebra s ohledem na tuto normu. (Rudin 1973, §11.3)

Vlastnosti

• Podle Urysohnovo lemma, C(X) odděluje body z X: Pokud X, y ∈ X a X ≠ y, pak existuje F ∈ C(X) takové, že F(X) ≠ F(y).
• Prostor C(X) je nekonečně dimenzionální kdykoli X je nekonečný prostor (protože odděluje body). Zejména proto obecně není místně kompaktní.
• The Věta o reprezentaci Riesz – Markov – Kakutani dává charakteristiku nepřetržitý duální prostor z C(X). Konkrétně je tento duální prostor prostorem Radon měří na X (pravidelný Borel opatření ), označeno rca(X). Tento prostor, s normou danou celková variace míry, je také Banachův prostor patřící do třídy ba mezery. (Dunford & Schwartz 1958, §IV.6.3)
• Pozitivní lineární funkcionály na C(X) odpovídají (pozitivní) pravidelný Borel opatření na Xjinou formou Rieszovy věty o reprezentaci. (Rudin 1966, Kapitola 2)
• Li X je tedy nekonečný C(X) není reflexní, ani to není slabě kompletní.
• The Věta Arzelà-Ascoli drží: Podmnožina K. z C(X) je relativně kompaktní právě když je ohraničený v normě C(X), a rovnocenný.
• The Stone-Weierstrassova věta platí pro C(X). V případě reálných funkcí, pokud A je podřízený z C(X), který obsahuje všechny konstanty a odděluje body, pak uzavření z A je C(X). V případě komplexních funkcí platí tvrzení s další hypotézou A je uzavřen pod komplexní konjugace.
• Li X a Y jsou dva kompaktní Hausdorffovy prostory a F : C(X) → C(Y) je homomorfismus algeber, které dojíždějí se složitou konjugací F je spojitý. Dále F má formu F(h)(y) = h(F(y)) pro nějakou spojitou funkci ƒ : Y → X. Zejména pokud C(X) a C(Y) jsou tedy izomorfní jako algebry X a Y jsou homeomorfní topologické prostory.
• Nechť Δ je prostor maximální ideály v C(X). Pak existuje vzájemná korespondence mezi Δ a body X. Dále lze Δ identifikovat souborem všech komplexních homomorfismů C(X) → C. Vybavte Δ s počáteční topologie s ohledem na toto párování s C(X) (tj Gelfandova transformace ). Pak X je homeomorfní s Δ vybaveným touto topologií. (Rudin 1973, §11.13)
• Sekvence v C(X) je slabě Cauchy právě když je (jednotně) ohraničen C(X) a bodově konvergentní. Zejména, C(X) je jen slabě kompletní pro X konečná množina.
• The vágní topologie je slabá * topologie na duálním C(X).
• The Banach – Alaogluova věta znamená, že jakýkoli normovaný prostor je izometricky izomorfní s podprostorem C(X) pro některé X.

Zobecnění

Prostor C(X) skutečných nebo komplexních spojitých funkcí lze definovat v jakémkoli topologickém prostoru X. V nekompaktním případě však C(X) není obecně Banachův prostor s ohledem na jednotnou normu, protože může obsahovat neomezené funkce. Proto je typičtější uvažovat o prostoru zde označeném C_B(X) omezených spojitých funkcí na X. Jedná se o Banachův prostor (ve skutečnosti komutativní Banachova algebra s identitou) s ohledem na jednotnou normu. (Hewitt & Stromberg 1965, Věta 7.9)

Někdy je to žádoucí, zejména v teorie míry, dále upřesnit tuto obecnou definici zvážením zvláštního případu, kdy X je místně kompaktní Hausdorffův prostor. V tomto případě je možné identifikovat dvojici rozlišených podmnožin C_B(X): (Hewitt & Stromberg 1965, §II.7)

• C₀₀(X), podmnožina C(X) skládající se z funkcí s kompaktní podpora. Tomu se říká prostor funkcí mizející v sousedství nekonečna.
• C₀(X), podmnožina C(X) skládající se z funkcí tak, že pro každé ε> 0 existuje kompaktní množina K.⊂X takové, že |F(X) | <ε pro všechny X ∈ XK.. Tomu se říká prostor funkcí mizející v nekonečnu.

Uzavření C₀₀(X) je přesně C₀(X). Zejména je to Banachův prostor.

Reference

• Dunford, N .; Schwartz, J.T. (1958), Lineární operátory, část I, Wiley-Interscience.
• Hewitt, Edwin; Stromberg, Karl (1965), Reálná a abstraktní analýza, Springer-Verlag.
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Rudin, Walter (1966), Skutečná a komplexní analýzaMcGraw-Hill, ISBN  0-07-054234-1.