Věta o uzavřeném rozsahu - Closed range theorem

V matematický teorie Banachovy prostory, věta o uzavřeném rozsahu dává nezbytné a dostatečné podmínky pro a Zavřeno hustě definovaný operátor mít Zavřeno rozsah.

Dějiny

Věta byla prokázána Stefan Banach v jeho 1932 Théorie des opérations linéaires.

Prohlášení

Nechat ${displaystyle X}$ a ${displaystyle Y}$ být Banachovy prostory, ${displaystyle Tcolon D (T) o Y}$ uzavřený lineární operátor, jehož doména ${displaystyle D (T)}$ je hustá v ${displaystyle X}$, a ${displaystyle T '}$ the přemístit z ${displaystyle T}$. Věta tvrdí, že následující podmínky jsou ekvivalentní:

• ${displaystyle R (T)}$, rozsah ${displaystyle T}$, je uzavřen ${displaystyle Y}$,
• ${displaystyle R (T ')}$, rozsah ${displaystyle T '}$, je uzavřen ${displaystyle X '}$, dvojí z ${displaystyle X}$,
• ${displaystyle R (T) = N (T ') ^ {perp} = {jin Y | langle x ^ {*}, yangle = 0quad {ext {for all}} quad x ^ {*} v N (T') }}$,
• ${displaystyle R (T ') = N (T) ^ {perp} = {x ^ {*} v X' | langle x ^ {*}, yangle = 0quad {ext {for all}} quad yin N (T) }}$.

Kde ${displaystyle N (T)}$ a ${displaystyle N (T ')}$ jsou prázdný prostor ${displaystyle T}$ a ${displaystyle T '}$, resp.

Dodatky

Několik důsledků je bezprostředních od věty. Například hustě definovaný uzavřený operátor ${displaystyle T}$ jak je uvedeno výše ${displaystyle R (T) = Y}$ právě tehdy, když se provádí ${displaystyle T '}$ má spojitou inverzi. Podobně, ${displaystyle R (T ') = X'}$ kdyby a jen kdyby ${displaystyle T}$ má spojitou inverzi.

Reference

• Banach, Stefan (1932). Théorie des Opérations Linéaires [Teorie lineárních operací] (PDF). Monografie Matematyczne (ve francouzštině). 1. Warszawa: Subwencji Funduszu Kultury Narodowej. Zbl  0005.20901. Archivovány od originál (PDF) dne 11.01.2014. Citováno 2020-07-11.
• Yosida, K. (1980), Funkční analýzaGrundlehren der Mathematischen Wissenschaften (Základní principy matematických věd), sv. 123 (6. vydání), Berlín, New York: Springer-Verlag.