Algebraický interiér - Algebraic interior

v funkční analýza, obor matematiky, algebraický interiér nebo radiální jádro podmnožiny a vektorový prostor je upřesnění pojmu interiér. Je to podmnožina bodů obsažených v dané množině, ve vztahu k nimž je pohlcující, tj radiální body sady.^[1] Prvky algebraického interiéru jsou často označovány jako vnitřní body.^[2][3]

Li M je lineární podprostor o X a ${ displaystyle A subseteq X}$ pak algebraický interiér ${ displaystyle A}$ s ohledem na M je:^[4]

${ displaystyle operatorname {aint} _ {M} A: = left {a v X: forall m in M, existuje t_ {m}> 0 { text {s.t. }} a + [0, t_ {m}] cdot m subseteq A right }.}$

kde je to jasné ${ displaystyle operatorname {aint} _ {M} A subseteq A}$ a pokud ${ displaystyle operatorname {aint} _ {M} A neq emptyset}$ pak ${ displaystyle M subseteq operatorname {aff} (A-A)}$, kde ${ displaystyle operatorname {aff} (A-A)}$ je afinní trup z ${ displaystyle A-A}$ (což se rovná ${ displaystyle operatorname {span} (A-A)}$).

Algebraický interiér (jádro)

Sada ${ displaystyle operatorname {aint} _ {X} A}$ se nazývá algebraický interiér A nebo jádro A a je označen ${ displaystyle A ^ {i}}$ nebo ${ displaystyle operatorname {jádro} A}$. Formálně, pokud ${ displaystyle X}$ je vektorový prostor pak algebraický interiér ${ displaystyle A subseteq X}$ je

${ displaystyle operatorname {aint} _ {X} A: = operatorname {core} (A): = left {a v A: forall x v X, existuje t_ {x}> 0, forall t in [0, t_ {x}], a + tx in A right }.}$^[5]

Li A není-prázdný, pak jsou tyto další podmnožiny užitečné také pro výroky mnoha vět v konvexní funkční analýze (například Ursescuova věta ):

${ displaystyle {} ^ {ic} A: = { begin {cases} {} ^ {i} A & { text {if}} operatorname {aff} A { text {je uzavřená množina,}} prázdná sada a { text {jinak}} end {případy}}}$

${ displaystyle {} ^ {ib} A: = { begin {cases} {} ^ {i} A & { text {if}} operatorname {span} (Aa) { text {je sudový lineární podprostor }} X { text {pro libovolné / všechny}} a v A { text {,}} prázdná sada & { text {jinak}} end {případy}}}$

Li X je Fréchetový prostor, A je konvexní a ${ displaystyle operatorname {aff} A}$ je uzavřen X pak ${ displaystyle {} ^ {ic} A = {} ^ {ib} A}$ ale obecně je možné mít ${ displaystyle {} ^ {ic} A = emptyset}$ zatímco ${ displaystyle {} ^ {ib} A}$ je ne prázdný.

Příklad

Li ${ displaystyle A = {x in mathbb {R} ^ {2}: x_ {2} geq x_ {1} ^ {2} { text {or}} x_ {2} leq 0 } subseteq mathbb {R} ^ {2}}$ pak ${ displaystyle 0 in operatorname {core} (A)}$, ale ${ displaystyle 0 not in operatorname {int} (A)}$ a ${ displaystyle 0 not in operatorname {jádro} ( operatorname {jádro} (A))}$.

Vlastnosti jádra

Li ${ displaystyle A, B podmnožina X}$ pak:

• Obecně, ${ displaystyle operatorname {jádro} (A) neq operatorname {jádro} ( operatorname {jádro} (A))}$.
• Li ${ displaystyle A}$ je konvexní sada pak:
  • ${ displaystyle operatorname {jádro} (A) = operatorname {jádro} ( operatorname {jádro} (A))}$, a
  • pro všechny ${ displaystyle x_ {0} in operatorname {core} A, y v A, 0 < lambda leq 1}$ pak ${ displaystyle lambda x_ {0} + (1- lambda) y in operatorname {jádro} A}$
• ${ displaystyle A}$ je pohlcující kdyby a jen kdyby ${ displaystyle 0 in operatorname {core} (A)}$.^[1]
• ${ displaystyle A + operatorname {jádro} B podmnožina operatorname {jádro} (A + B)}$^[6]
• ${ displaystyle A + operatorname {jádro} B = operatorname {jádro} (A + B)}$ -li ${ displaystyle B = operatorname {jádro} B}$^[6]

Vztah k interiéru

Nechat ${ displaystyle X}$ být topologický vektorový prostor, ${ displaystyle operatorname {int}}$ - označit operátora interiéru a - ${ displaystyle A podmnožina X}$ pak:

• ${ displaystyle operatorname {int} A subseteq operatorname {jádro} A}$
• Li ${ displaystyle A}$ je neprázdná konvexní a ${ displaystyle X}$ je tedy konečně-dimenzionální ${ displaystyle operatorname {int} A = operatorname {jádro} A}$^[2]
• Li ${ displaystyle A}$ je konvexní s neprázdným interiérem ${ displaystyle operatorname {int} A = operatorname {jádro} A}$^[7]
• Li ${ displaystyle A}$ je uzavřená konvexní množina a ${ displaystyle X}$ je kompletní metrický prostor, pak ${ displaystyle operatorname {int} A = operatorname {jádro} A}$^[8]

Relativní algebraický interiér

Li ${ displaystyle M = operatorname {aff} (A-A)}$ pak sada ${ displaystyle operatorname {aint} _ {M} A}$ je označen ${ displaystyle {} ^ {i} A: = operatorname {aint} _ { operatorname {aff} (A-A)} A}$ a nazývá se to relativní algebraický vnitřek ${ displaystyle A}$.^[6] Toto jméno vyplývá ze skutečnosti, že ${ displaystyle a v A ^ {i}}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle operatorname {aff} A = X}$ a ${ displaystyle a in {} ^ {i} A}$ (kde ${ displaystyle operatorname {aff} A = X}$ kdyby a jen kdyby ${ displaystyle operatorname {aff} left (A-A right) = X}$).

Relativní interiér

Li A je podmnožinou topologického vektorového prostoru X pak relativní interiér z A je sada

${ displaystyle operatorname {rint} A: = operatorname {int} _ { operatorname {aff} A} A}$.

To znamená, že se jedná o topologický interiér A in ${ displaystyle operatorname {aff} A}$, což je nejmenší afinní lineární podprostor X obsahující A. Užitečná je také následující sada:

${ displaystyle operatorname {ri} A: = { begin {cases} operatorname {rint} A & { text {if}} operatorname {aff} A { text {je uzavřený podprostor}} X { text {,}} emptyset & { text {jinak}} end {případy}}}$

Kvazi relativní interiér

Li A je podmnožinou topologického vektorového prostoru X pak kvazi relativní interiér z A je sada

${ displaystyle operatorname {qri} A: = left {a v A: { overline { operatorname {cone}}} (Aa) { text {je lineární podprostor}} X right } }$.

V Hausdorff konečný rozměrný topologický vektorový prostor, ${ displaystyle operatorname {qri} A = {} ^ {i} A = {} ^ {ic} A = {} ^ {ib} A}$.

Viz také

• Hraniční bod
• Interiér (topologie)
• Kvazi-relativní interiér
• Relativní interiér
• Objednejte jednotku
• Ursescuova věta

Reference

• Zalinescu, C. (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. World Scientific. ISBN  978-981-238-067-8.