Nekonečno-dimenzionální Lebesgueova míra - Infinite-dimensional Lebesgue measure

v matematika, to je teorém že neexistuje žádný analog Lebesgueovo opatření na nekonečně-dimenzionální Banachův prostor. Jiné druhy opatření se proto používají v nekonečně-dimenzionálních prostorech: často abstraktní Wienerův prostor konstrukce je použita. Alternativně lze zvážit Lebesgueovu míru na konečných trojrozměrných podprostorech většího prostoru a zvážit tzv převládající a plaché sady.

Kompaktní sady v Banachových prostorech mohou také nést přírodní opatření: Hilbertova kostka například nese produkt Lebesgue opatření. V podobném duchu i kompaktní topologická skupina dané Produkt Tychonoff nekonečně mnoha kopií kruhová skupina je nekonečně dimenzionální a nese a Haarovo opatření to je překladově invariantní.

Motivace

Je možné ukázat, že Lebesgue měří λn na Euklidovský prostor Rn je místně konečné, přísně pozitivní a překlad -neměnný, výslovně:

  • každý bod X v Rn má otevřeno sousedství NX s konečnou mírou λn(NX) < +∞;
  • každá neprázdná otevřená podmnožina U z Rn má pozitivní míru λn(U)> 0; a
  • -li A je libovolná Lebesgue-měřitelná podmnožina Rn, Th : Rn → Rn, Th(X) = X + h, označuje mapu překladu a (Th)∗(λn) označuje tlačit kupředu, pak (Th)∗(λn)(A) = λn(A).

Geometricky řečeno, díky těmto třem vlastnostem je práce s Lebesgue velmi příjemná. Když vezmeme v úvahu nekonečně-dimenzionální prostor, jako je Lp prostor nebo prostor spojitých cest v euklidovském prostoru, bylo by hezké mít podobně pěknou míru pro práci. To bohužel není možné.

Výrok věty

Nechť (X, || · ||) být nekonečně-dimenzionální, oddělitelný Banachův prostor. Pak jediná lokálně konečná a překladově invariantní Borelova míra μ na X je triviální opatření, s μ(A) = 0 pro každou měřitelnou sadu A. Ekvivalentně každá míra invariantní k překladu, která není identicky nulová, přiřadí nekonečnou míru všem otevřeným podmnožinám X.

Důkaz věty

Nechat X být nekonečně dimenzionálním, oddělitelným Banachovým prostorem vybaveným lokálně konečnou mírou neměnnou translací μ. Pomocí místní konečnosti předpokládejme, že pro některé δ > 0, otevřený míč B(δ) o poloměru δ má konečný μ-opatření. Od té doby X je nekonečně-dimenzionální, existuje nekonečná posloupnost párově disjunktní otevřené koule Bn(δ/4), n ∈ No poloměru δ/ 4, se všemi menšími míčky Bn(δ/ 4) obsažené ve větší kouli B(δ). Překladem-invariance mají všechny menší koule stejnou míru; protože součet těchto opatření je konečný, musí mít všechny menší koule μ-změřte nulu. Nyní, protože X je oddělitelná, může být pokryta spočetnou kolekcí koulí o poloměru δ/ 4; protože každý takový míč má μ- změřte nulu, tak musí být i celý prostor Xa tak μ je triviální míra.

Reference

  • Hunt, Brian R. a Sauer, Tim a Yorke, James A. (1992). „Prevalence: translation-invariant" almost every "on the infinite-dimensional spaces". Býk. Amer. Matematika. Soc. (N.S.). 27 (2): 217–238. arXiv:matematika / 9210220. doi:10.1090 / S0273-0979-1992-00328-2.CS1 maint: více jmen: seznam autorů (odkaz) (Viz část 1: Úvod)
  • Oxtoby, John C .; Prasad, Vidhu S. (1978). „Homeomorfní opatření na Hilbertově krychli“. Pacific Journal of Mathematics. 77 (2).