Rovnoměrně konvexní prostor - Uniformly convex space
v matematika, rovnoměrně konvexní prostory (nebo rovnoměrně okrouhlé prostory) jsou běžné příklady reflexní Banachovy prostory. Koncept jednotné konvexity poprvé představil James A. Clarkson v roce 1936.
Definice
A rovnoměrně konvexní prostor je normovaný vektorový prostor takové, že pro každého některé jsou tak, že pro libovolné dva vektory s a kondice
znamená, že:
Intuitivně střed úsečky uvnitř jednotková koule musí ležet hluboko uvnitř jednotkové koule, pokud není segment krátký.
Vlastnosti
- The jednotková koule lze nahradit uzavřenou jednotkou míč v definici. Jmenovitě, a normovaný vektorový prostor je rovnoměrně konvexní kdyby a jen kdyby pro každého některé jsou tak, že pro libovolné dva vektory a v uzavřené jednotkové kouli (tj. a ) s , jeden má (Všimněte si, že vzhledem k tomu , odpovídající hodnota může být menší než ten, který poskytuje původní slabší definice).
Důkaz |
---|
Část „pokud“ je triviální. A naopak, předpokládejme to teď je rovnoměrně konvexní a to jsou jako v prohlášení, pro některé pevné . Nechat být hodnotou souhlasí s v definici jednotné konvexity. To ukážeme , s . Li pak a nárok je prokázán. Obdobný argument platí pro případ , takže to můžeme předpokládat . V tomto případě od , oba vektory jsou nenulové, takže můžeme nechat a . My máme a podobně , tak a patří do sféry jednotek a mají vzdálenost . Proto podle našeho výběru , my máme . Z toho vyplývá, že a nárok je prokázán. |
- The Milmanova-Pettisova věta uvádí, že každý rovnoměrně konvexní Banachův prostor je reflexní, zatímco konverzace není pravdivá.
- Každý rovnoměrně konvexní Banachův prostor je prostor Radon-Riesz, tedy pokud je sekvence v rovnoměrně konvexním Banachově prostoru, která slabě konverguje k a uspokojuje pak silně konverguje k , to znamená, .
- A Banachův prostor je rovnoměrně konvexní právě tehdy, je-li duální je rovnoměrně hladký.
- Každý rovnoměrně konvexní prostor je přísně konvexní. Přísná konvexnost znamená intuitivně silnější nerovnost trojúhelníku kdykoli jsou lineárně nezávislé, zatímco jednotná konvexita vyžaduje, aby tato nerovnost platila jednotně.
Příklady
- Každý Hilbertův prostor je rovnoměrně konvexní.
- Každý uzavřený podprostor rovnoměrně konvexního Banachova prostoru je rovnoměrně konvexní.
- Hannerovy nerovnosti naznačují to Lstr mezery jsou rovnoměrně konvexní.
- Naopak, není rovnoměrně konvexní.
Viz také
Reference
- Clarkson, J. A. (1936). "Rovnoměrně konvexní mezery". Trans. Amer. Matematika. Soc. Americká matematická společnost. 40 (3): 396–414. doi:10.2307/1989630. JSTOR 1989630..
- Hanner, O. (1956). „Na jednotnou konvexnost a ". Ark. Mat. 3: 239–244. doi:10.1007 / BF02589410..
- Beauzamy, Bernard (1985) [1982]. Úvod do Banachových prostorů a jejich geometrie (Druhé přepracované vydání). Severní Holandsko. ISBN 0-444-86416-4.
- Per Enflo (1972). "Banachovy prostory, kterým lze dát ekvivalentní jednotně konvexní normu". Israel Journal of Mathematics. 13 (3–4): 281–288. doi:10.1007 / BF02762802.
- Lindenstrauss, Joram a Benyamini, Yoav. Geometrická nelineární funkční analýza Publikace kolokvia, 48. Americká matematická společnost.