Banach – Mazurova věta - Banach–Mazur theorem

Tento článek má několik problémů. Prosím pomozte vylepši to nebo diskutovat o těchto problémech na internetu diskusní stránka. (Zjistěte, jak a kdy tyto zprávy ze šablony odebrat) tento článek může být pro většinu čtenářů příliš technická na to, aby je pochopili. Prosím pomozte to vylepšit na aby to bylo srozumitelné pro neodborníky, aniž by byly odstraněny technické podrobnosti. (Července 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony) tento článek vyžaduje pozornost odborníka na fyziku. Přidejte prosím důvod nebo a mluvit parametr k této šabloně pro vysvětlení problému s článkem. Fyzika WikiProject může pomoci s náborem odborníka. (Července 2017) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

v funkční analýza, pole matematika, Banach – Mazurova věta je teorém zhruba to uvádím dobře vychovaný normované prostory jsou podprostory prostoru kontinuální cesty. Je pojmenován po Stefan Banach a Stanisław Mazur.

Prohlášení

Každý nemovitý, oddělitelný Banachův prostor (X, ||⋅||) je izometricky izomorfní do a Zavřeno podprostor C⁰([0, 1], R), prostor všech spojité funkce z jednotky interval do skutečné linie.

Komentáře

Na jedné straně se zdá, že věta Banach – Mazur nám říká, že zdánlivě rozsáhlá sbírka všech oddělitelných Banachových prostorů není tak rozsáhlá ani obtížná, protože oddělitelný Banachův prostor je „pouze“ sbírkou spojitých cest. Na druhou stranu, věta nám to říká C⁰([0, 1], R) je „opravdu velký“ prostor, dostatečně velký na to, aby obsahoval všechny možné oddělitelné Banachovy prostory.

Nerozdělitelné Banachovy prostory nelze vložit izometricky do oddělitelného prostoru C⁰([0, 1], R), ale pro každý Banachův prostor X, lze najít a kompaktní Hausdorffův prostor K. a izometrické lineární vložení j z X do vesmíru C(K.) skalárních spojitých funkcí na K.. Nejjednodušší volbou je nechat to K. být jednotková koule z kontinuální duální X ′, vybavené w * -topologie. Tato jednotková koule K. je pak kompaktní pomocí Banach – Alaogluova věta. Vložení j se uvádí, že pro každého X ∈ X, spojitá funkce j(X) na K. je definováno

${displaystyle forall x'in K: qquad j (x) (x ') = x' (x).}$

Mapování j je lineární a je izometrický podle Hahnova – Banachova věta.

Další zevšeobecnění poskytli Kleiber a Pervin (1969): a metrický prostor z hustota rovná se nekonečnému kardinálovi α je izometrický vůči podprostoru C⁰([0,1]^α, R), prostor skutečných spojitých funkcí na produkt z α kopie jednotkového intervalu.

Silnější verze věty

Napišme C^k[0, 1] pro C^k([0, 1], R). V roce 1995 Luis Rodríguez-Piazza dokázal, že izometrie i : X → C.⁰[0, 1] lze zvolit tak, aby každá nenulová funkce v obraz i(X) je nikde nedefinovatelné. Jinak řečeno, pokud D ⊂ C.⁰[0, 1] se skládá z funkcí, které jsou diferencovatelné alespoň v jednom bodě [0, 1], pak i lze zvolit tak, aby i(X) ∩ D = {0}. Tento závěr platí pro prostor C⁰[0, 1] sám o sobě, proto existuje a lineární mapa i : C⁰[0, 1] → C⁰[0, 1] to je izometrie jeho obrazu, takový obrázek pod i z C⁰[0, 1] (podprostor skládající se z funkcí, které jsou všude diferencovatelné spojitou derivací) protíná D pouze v 0: tedy prostor hladkých funkcí (s ohledem na jednotnou vzdálenost) je izometricky izomorfní s prostorem nikde nediferencovatelných funkcí. Všimněte si, že (metricky neúplný) prostor hladkých funkcí je hustý C⁰[0, 1].

Reference

• Bessaga, Czesław & Pełczyński, Aleksander (1975). Vybraná témata v nekonečně trojrozměrné topologii. Warszawa: PWN.
• Kleiber, Martin; Pervin, William J. (1969). „Zobecněná Banachova-Mazurova věta“. Býk. Jižní. Matematika. Soc. 1: 169–173. doi:10.1017 / S0004972700041411 - prostřednictvím Cambridge University Press.
• Rodríguez-Piazza, Luis (1995). "Každý oddělitelný Banachův prostor je izometrický vůči prostoru spojitých nikde diferencovatelných funkcí". Proc. Amer. Matematika. Soc. Americká matematická společnost. 123 (12): 3649–3654. doi:10.2307/2161889. JSTOR  2161889.