Pozitivní lineární funkční - Positive linear functional

v matematika, konkrétněji v funkční analýza, a pozitivní lineární funkční na uspořádaný vektorový prostor ${ displaystyle (V, leq)}$ je lineární funkční ${ displaystyle f}$ na ${ displaystyle V}$ tak pro všechny pozitivní prvky ${ displaystyle v ve V}$, to je ${ displaystyle v geq 0}$, to platí

${ displaystyle f (v) geq 0.}$

Jinými slovy je zaručeno, že kladná lineární funkce bude mít pro kladné prvky záporné hodnoty. Význam kladných lineárních funkcionálů spočívá ve výsledcích, jako jsou Věta o reprezentaci Riesz – Markov – Kakutani.

Když ${ displaystyle V}$ je komplex vektorový prostor, předpokládá se, že pro všechny ${ displaystyle v geq 0}$, ${ displaystyle f (v)}$ je skutečný. Jako v případě, kdy ${ displaystyle V}$ je C * -algebra s jeho částečně uspořádaným podprostorem samoadjungujících prvků je někdy částečné pořadí umístěno pouze na podprostoru ${ displaystyle W subseteq V}$a částečná objednávka se nevztahuje na všechny ${ displaystyle V}$, v tom případě pozitivní prvky ${ displaystyle V}$ jsou pozitivní prvky ${ displaystyle W}$zneužitím notace.^{[je zapotřebí objasnění ]} To znamená, že pro C * -algebru posílá kladná lineární funkce libovolnou ${ displaystyle x ve V}$ rovná ${ displaystyle s ^ { ast} s}$ pro některé ${ displaystyle s ve V}$ na reálné číslo, které se rovná jeho komplexnímu konjugátu, a proto si všechny kladné lineární funkcionály zachovávají samoadjungovanost ${ displaystyle x}$. Tato vlastnost je využívána v GNS konstrukce spojit kladné lineární funkcionály na C * -algebře s vnitřní výrobky.

Dostatečné podmínky pro kontinuitu všech kladných lineárních funkcionálů

Existuje poměrně velká třída uspořádané topologické vektorové prostory na kterém je každá kladná lineární forma nutně spojitá.^[1] To zahrnuje vše topologické vektorové mřížky to jsou postupně kompletní.^[1]

Teorém Nechat ${ displaystyle X}$ být uspořádaný topologický vektorový prostor s pozitivní kužel ${ displaystyle C subseteq X}$ a nechte ${ displaystyle { mathcal {B}} subseteq { mathcal {P}} (X)}$ označují rodinu všech ohraničených podmnožin ${ displaystyle X}$. Pak je každá z následujících podmínek dostatečná k tomu, aby bylo zaručeno, že každá pozitivní lineární funkce bude fungovat ${ displaystyle X}$ je spojitý:

1. ${ displaystyle C}$ má neprázdný topologický interiér (v ${ displaystyle X}$).^[1]
2. ${ displaystyle X}$ je kompletní a měřitelný a ${ displaystyle X = C-C}$.^[1]
3. ${ displaystyle X}$ je bornologické a ${ displaystyle C}$ je polokompletní přísný ${ displaystyle { mathcal {B}}}$-kužel v ${ displaystyle X}$.^[1]
4. ${ displaystyle X}$ je indukční limit rodiny ${ displaystyle left (X _ { alpha} right) _ { alpha v A}}$ objednaných Fréchetové prostory s ohledem na rodinu pozitivních lineárních map, kde ${ displaystyle X _ { alpha} = C _ { alpha} -C _ { alpha}}$ pro všechny ${ displaystyle alpha v A}$, kde ${ displaystyle C _ { alpha}}$ je kladný kužel ${ displaystyle X _ { alpha}}$.^[1]

Kontinuální pozitivní rozšíření

Následující věta je způsobena H. Bauerem a samostatně Namioka.^[1]

Teorém:^[1] Nechat ${ displaystyle X}$ být uspořádaný topologický vektorový prostor (TVS) s pozitivním kuželem ${ displaystyle C}$, nechť ${ displaystyle M}$ být vektorovým podprostorem ${ displaystyle E}$a nechte ${ displaystyle f}$ být lineární forma na ${ displaystyle M}$. Pak ${ displaystyle f}$ má rozšíření na spojitý pozitivní lineární tvar na ${ displaystyle X}$ právě když existuje nějaké konvexní sousedství ${ displaystyle U}$ z ${ displaystyle 0 v X}$ takhle ${ displaystyle operatorname {Re} f}$ je ohraničen výše na ${ displaystyle M cap left (U-C right)}$.

Důsledek:^[1] Nechat ${ displaystyle X}$ být uspořádaný topologický vektorový prostor s pozitivním kuželem ${ displaystyle C}$, nechť ${ displaystyle M}$ být vektorovým podprostorem ${ displaystyle E}$. Li ${ displaystyle C cap M}$ obsahuje vnitřní bod z ${ displaystyle C}$ pak každý spojitý pozitivní lineární tvar ${ displaystyle M}$ má rozšíření na spojitý pozitivní lineární tvar na ${ displaystyle X}$.

Důsledek:^[1] Nechat ${ displaystyle X}$ být uspořádaný vektorový prostor s pozitivním kuželem ${ displaystyle C}$, nechť ${ displaystyle M}$ být vektorovým podprostorem ${ displaystyle E}$a nechte ${ displaystyle f}$ být lineární forma na ${ displaystyle M}$. Pak ${ displaystyle f}$ má rozšíření na pozitivní lineární formu na ${ displaystyle X}$ právě tehdy, pokud existují nějaké konvexní pohlcující podmnožina ${ displaystyle W}$ v ${ displaystyle X}$ obsahující ${ displaystyle 0 v X}$ takhle ${ displaystyle operatorname {Re} f}$ je ohraničen výše na ${ displaystyle M cap left (W-C right)}$.

Důkaz: Postačí dotovat ${ displaystyle X}$ s nejlepší lokálně konvexní tvorbou topologie ${ displaystyle W}$ do sousedství ${ displaystyle 0 v X}$.

Příklady

• Zvažte jako příklad ${ displaystyle V}$, C * -algebra komplex čtvercové matice s pozitivními prvky jsou pozitivně definitivní matice. The stopa funkce definovaná v této C * -algebře je pozitivní funkce, jako vlastní čísla jakékoli pozitivně-definitivní matice jsou pozitivní, a tak je její stopa pozitivní.
• Zvažte Rieszův prostor ${ displaystyle mathrm {C} _ { mathrm {c}} (X)}$ ze všech kontinuální komplexní funkce kompaktní Podpěra, podpora na místně kompaktní Hausdorffův prostor ${ displaystyle X}$. Zvažte a Borelova pravidelná míra ${ displaystyle mu}$ na ${ displaystyle X}$a funkční ${ displaystyle psi}$ definován

${ displaystyle psi (f) = int _ {X} f (x) d mu (x) quad}$

pro všechny ${ displaystyle f}$ v ${ displaystyle mathrm {C} _ { mathrm {c}} (X)}$. Poté je tato funkce kladná (integrál každé pozitivní funkce je kladné číslo). Jakákoli pozitivní funkce v tomto prostoru má navíc tuto formu, jak vyplývá z Věta o reprezentaci Riesz – Markov – Kakutani.

Pozitivní lineární funkcionály (C * -algebry)

Nechat ${ displaystyle M}$ být C * -algebra (obecněji an operátorský systém v algebře C * ${ displaystyle A}$) s identitou ${ displaystyle 1}$. Nechat ${ displaystyle M ^ {+}}$ označuje množinu pozitivních prvků v ${ displaystyle M}$.

Lineární funkční ${ displaystyle rho}$ na ${ displaystyle M}$ se říká, že je pozitivní -li ${ displaystyle rho (a) geq 0}$, pro všechny ${ displaystyle a v M ^ {+}}$.

Teorém. Lineární funkční ${ displaystyle rho}$ na ${ displaystyle M}$ je pozitivní právě tehdy ${ displaystyle rho}$ je ohraničený a ${ displaystyle left | rho right | = rho (1)}$.^[2]

Cauchy – Schwarzova nerovnost

Pokud je ρ kladná lineární funkce na C * -algebře ${ displaystyle A}$, pak lze definovat semidefinit sesquilineární forma na ${ displaystyle A}$ podle ${ displaystyle langle a, b rangle = rho (b ^ { ast} a)}$. Tak z Cauchy – Schwarzova nerovnost my máme

${ displaystyle left | rho (b ^ { ast} a) vpravo | ^ {2} leq rho (a ^ { ast} a) cdot rho (b ^ { ast} b) .}$

Viz také

• Pozitivní prvek
• Pozitivní lineární operátor

Reference

Bibliografie

• Kadison, Richard, Základy teorie operátora Algebras, sv. I: Elementární teorie, Americká matematická společnost. ISBN  978-0821808191.
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.