Lineární forma - Linear form

v lineární algebra, a lineární forma (také známý jako lineární funkční, a jeden formulářnebo covector) je lineární mapa od a vektorový prostor do svého oboru skaláry. Li vektory jsou reprezentovány jako vektory sloupců (jak je Wikipedia konvence), pak jsou lineární funkcionály reprezentovány jako řádkové vektory a jejich působení na vektory je dáno vztahem maticový produkt s řádek vektor vlevo a vektor sloupce napravo. Obecně, pokud PROTI je vektorový prostor přes pole k, pak lineární funkční F je funkce z PROTI na k to je lineární:

${ displaystyle f ({ vec {v}} + { vec {w}}) = f ({ vec {v}}) + f ({ vec {w}})}$ pro všechny ${ displaystyle { vec {v}}, { vec {w}} ve V}$

${ displaystyle f (a { vec {v}}) = af ({ vec {v}})}$ pro všechny ${ displaystyle { vec {v}} ve V, a v k.}$

Sada všech lineárních funkcionálů z PROTI na k, označený Hom_k(PROTI,k), tvoří vektorový prostor k s definovanými operacemi sčítání a skalárního násobení bodově. Tento prostor se nazývá dvojí prostor z PROTI, nebo někdy algebraický duální prostor, aby se odlišil od nepřetržitý duální prostor. Často je to psáno PROTI^∗, PROTI', PROTI^# nebo PROTI^∨ když pole k je pochopeno.

Příklady

„Funkce konstantní nuly“, mapující každý vektor na nulu, je triviálně lineární funkce. Každá další lineární funkce (například ty níže) je surjektivní (tj. Její rozsah je všech k).

Lineární funkcionály v R.ⁿ

Předpokládejme, že vektory v reálném souřadnicovém prostoru Rⁿ jsou reprezentovány jako vektory sloupců

${ displaystyle { vec {x}} = { begin {bmatrix} x_ {1} vdots x_ {n} end {bmatrix}}.}$

Pro každý řádek vektor [A₁ ... A_n] existuje lineární funkční F definován

${ displaystyle f ({ vec {x}}) = a_ {1} x_ {1} + cdots + a_ {n} x_ {n},}$

a každá lineární funkce může být vyjádřena v této formě.

To lze interpretovat buď jako maticový produkt, nebo jako bodový produkt vektoru řádků [A₁ ... A_n] a vektor sloupce ${ displaystyle { vec {x}}}$:

${ displaystyle f ({ vec {x}}) = left [a_ {1} dots a_ {n} right] { begin {bmatrix} x_ {1} vdots x_ {n} end {bmatrix}}.}$

(Určitě) Integrace

Lineární funkcionálové se poprvé objevili v funkční analýza, studium vektorové prostory funkcí. Typickým příkladem lineární funkce je integrace: lineární transformace definovaná Riemannův integrál

${ displaystyle I (f) = int _ {a} ^ {b} f (x) , dx}$

je lineární funkce z vektorového prostoru C [A, b] spojitých funkcí na intervalu [A, b] na reálná čísla. Linearita Já vyplývá ze standardních údajů o integrálu:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} I (f + g) & = int _ {a} ^ {b} [f (x) + g (x)] , dx = int _ {a} ^ { b} f (x) , dx + int _ {a} ^ {b} g (x) , dx = I (f) + I (g) I ( alpha f) & = int _ { a} ^ {b} alpha f (x) , dx = alpha int _ {a} ^ {b} f (x) , dx = alpha I (f). end {zarovnáno}}}$

Hodnocení

Nechat P_n označit vektorový prostor reálných polynomiálních funkcí stupně ≤n definované v intervalu [A, b]. Li C ∈ [A, b], pak nechte ev_C : P_n → R být vyhodnocení funkční

${ displaystyle operatorname {ev} _ {c} f = f (c).}$

Mapování F → F(C) je lineární, protože

${ displaystyle { začátek {zarovnáno} (f + g) (c) & = f (c) + g (c) ( alpha f) (c) & = alpha f (c). end { zarovnaný}}}$

Li X₀, ..., X_n jsou n + 1 odlišné body v [A, b], pak funkcionály hodnocení ev_Xi, i = 0, 1, ..., n tvoří a základ dvojího prostoru P_n.  (Lax (1996) dokazuje tuto poslední skutečnost pomocí Lagrangeova interpolace.)

Není příklad

Funkce F mít rovnice přímky F(X) = A + rx s A ≠ 0 (např. F(X) = 1 + 2X) je ne lineární funkční na ℝ, protože není lineární.^{[pozn. 1]} Je to však afinně-lineární.

Vizualizace

Geometrická interpretace 1-formy α jako hromadu hyperplanes konstantní hodnoty, každý odpovídá těm vektorům, které α mapuje na danou skalární hodnotu zobrazenou vedle ní spolu se „smyslem“ nárůstu. The   nulová rovina prochází počátkem.

V konečných dimenzích lze lineární funkcionalitu vizualizovat z hlediska její sady úrovní, sady vektorů, které mapují na danou hodnotu. Ve třech dimenzích jsou sady úrovní lineárního funkcionálu rodinou vzájemně paralelních rovin; ve vyšších dimenzích jsou rovnoběžné hyperplanes. Tato metoda vizualizace lineárních funkcionálů je někdy zavedena obecná relativita texty, jako např Gravitace podle Misner, Thorne & Wheeler (1973).

Aplikace

Aplikace na kvadraturu

Li X₀, ..., X_n jsou n + 1 odlišné body v [A, b], pak lineární funkcionály ev_Xi : F → F(X_i) definované výše tvoří a základ dvojího prostoru P_n, prostor polynomů stupně ≤ n. Integrace je funkční Já je také lineární funkční na P_n, a lze je tedy vyjádřit jako lineární kombinaci těchto základních prvků. V symbolech jsou koeficienty A₀, ..., A_n pro který

${ displaystyle I (f) = a_ {0} f (x_ {0}) + a_ {1} f (x_ {1}) + tečky + a_ {n} f (x_ {n})}$

pro všechny F ∈ P_n. To tvoří základ teorie numerická kvadratura.^[1]

V kvantové mechanice

Lineární funkcionály jsou zvláště důležité v kvantová mechanika. Kvantové mechanické systémy jsou reprezentovány Hilbertovy prostory, což jsou proti –izomorfní do svých duálních prostorů. Stav kvantově mechanické soustavy lze identifikovat pomocí lineární funkce. Více informací viz braketová notace.

Distribuce

V teorii zobecněné funkce, zvané určité druhy zobecněných funkcí distribuce lze realizovat jako lineární funkcionály na prostorech testovací funkce.

Duální vektory a bilineární formy

Lineární funkcionály (1-formy) α, β a jejich součet σ a vektory u, proti, w, v 3d Euklidovský prostor. Počet (1-formulář) hyperplanes protnutý vektorem se rovná vnitřní produkt.^[2]

Každý nedegenerovaný bilineární forma na konečně-dimenzionálním vektorovém prostoru PROTI vyvolává izomorfismus PROTI → PROTI^∗ : proti ↦ proti^∗ takhle

${ displaystyle v ^ {*} (w): = langle v, w rangle quad forall w in V,}$

kde bilineární forma na PROTI je označen ⟨ , ⟩ (například v Euklidovský prostor ⟨proti, w⟩ = proti ⋅ w je Tečkovaný produkt z proti a w).

Inverzní izomorfismus je PROTI^∗ → PROTI : proti^∗ ↦ proti, kde proti je jedinečný prvek PROTI takhle

${ displaystyle langle v, w rangle = v ^ {*} (w) quad forall w ve V.}$

Výše definovaný vektor proti^∗ ∈ PROTI^∗ se říká, že duální vektor z proti ∈ PROTI.

V nekonečné dimenzionální Hilbertův prostor, obdobné výsledky drží Rieszova věta o reprezentaci. Existuje mapování PROTI → PROTI^∗ do nepřetržitý duální prostor PROTI^∗. 

Vztah k základnám

Základ duálního prostoru

Nechte vektorový prostor PROTI mít základ ${ displaystyle { vec {e}} _ {1}, { vec {e}} _ {2}, tečky, { vec {e}} _ {n}}$, ne nutně ortogonální. Pak dvojí prostor PROTI* má základ ${ displaystyle { tilde { omega}} ^ {1}, { tilde { omega}} ^ {2}, dots, { tilde { omega}} ^ {n}}$ volal dvojí základ definováno speciální vlastností, která

${ displaystyle { tilde { omega}} ^ {i} ({ vec {e}} _ {j}) = left {{ begin {matrix} 1 & mathrm {if} i = j 0 & mathrm {if} i not = j. End {matrix}} right.}$

Nebo stručněji

${ displaystyle { tilde { omega}} ^ {i} ({ vec {e}} _ {j}) = delta _ {ij}}$

kde δ je Kroneckerova delta. Zde horní indexy základních funkcionálů nejsou exponenty, ale jsou protikladný indexy.

Lineární funkční ${ displaystyle { tilde {u}}}$ patřící do dvojího prostoru ${ displaystyle { tilde {V}}}$ lze vyjádřit jako a lineární kombinace základních funkcionálů s koeficienty („komponenty“) u_i,

${ displaystyle { tilde {u}} = sum _ {i = 1} ^ {n} u_ {i} , { tilde { omega}} ^ {i}.}$

Poté aplikujte funkční ${ displaystyle { tilde {u}}}$ na základní vektor E_j výnosy

${ displaystyle { tilde {u}} ({ vec {e}} _ {j}) = součet _ {i = 1} ^ {n} vlevo (u_ {i} , { tilde { omega}} ^ {i} right) { vec {e}} _ {j} = sum _ {i} u_ {i} left [{ tilde { omega}} ^ {i} left ( { vec {e}} _ {j} vpravo) vpravo]}$

kvůli linearitě skalárních násobků funkcionálů a bodové linearitě součtů funkcionálů. Pak

${ displaystyle { begin {aligned} { tilde {u}} ({ vec {e}} _ {j}) & = sum _ {i} u_ {i} left [{ tilde { omega }} ^ {i} left ({ vec {e}} _ {j} right) right] = sum _ {i} u_ {i} { delta ^ {i}} _ {j} & = u_ {j}. end {zarovnáno}}}$

Každá složka lineárního funkcionálu může být tedy extrahována aplikací funkcionálu na odpovídající základní vektor.

Dvojí základ a vnitřní produkt

Když prostor PROTI nese vnitřní produkt, pak je možné výslovně napsat vzorec pro duální základ daného základu. Nechat PROTI mít (ne nutně ortogonální) základ ${ displaystyle { vec {e}} _ {1}, tečky, { vec {e}} _ {n}}$. Ve třech rozměrech (n = 3), dvojí základ lze psát výslovně

${ displaystyle { tilde { omega}} ^ {i} ({ vec {v}}) = {1 nad 2} , left langle { sum _ {j = 1} ^ {3} sum _ {k = 1} ^ {3} varepsilon ^ {ijk} , ({ vec {e}} _ {j} times { vec {e}} _ {k}) nad { vec {e}} _ {1} cdot { vec {e}} _ {2} krát { vec {e}} _ {3}}, { vec {v}} doprava rangle,}$

pro i = 1, 2, 3, kde ε je Symbol Levi-Civita a ${ displaystyle langle, rangle}$ vnitřní produkt (nebo Tečkovaný produkt ) zapnuto PROTI.

Ve vyšších dimenzích se to zobecňuje následovně

${ displaystyle { tilde { omega}} ^ {i} ({ vec {v}}) = left langle { frac {{ underset {{} ^ {1 leq i_ {2}$

kde ${ displaystyle star}$ je Operátor hvězd Hodge.

Změna pole

Libovolný vektorový prostor X přes ℂ je také vektorový prostor ℝ, obdařen a složitá struktura; to znamená, že existuje skutečný vektorový podprostor X_ℝ takže můžeme (formálně) psát X = X_ℝ ⊕ X_ℝi tak jako ℝ-vektorové mezery. Každý ℂ-lineární funkční na X je ℝ-lineární operátor, ale není to ℝ-lineární funkční na X, protože jeho rozsah (jmenovitě ℂ) je 2-dimenzionální ℝ. (Naopak, a ℝ-lineární funkční rozsah je příliš malý na to, aby byl ℂ- také lineární funkční.)

Nicméně, každý ℂ-lineární funkční jednoznačně určuje ℝ-lineární funkční na X_ℝ podle omezení. Překvapivější je, že tento výsledek lze zvrátit: každý ℝ-lineární funkční G na X vyvolává kanonický ℂ-lineární funkční L_G ∈ X^#, takže skutečná část L_G je G: definovat

L_G(X) := G(X) - i G(ix) pro všechny X ∈ X.

L _• je ℝ-lineární (tj. L_G+h = L_G + L_h a L_rg = r L_G pro všechny r ∈ ℝ a G, h ∈ X_ℝ^#). Podobně inverzní situace surjekce Hom (X, ℂ) → Hom (X, ℝ) definován F ↦ Im F je mapa Já ↦ (X ↦ Já(ix) + i Já(X)).

Tento vztah objevil Henry Löwig v roce 1934 (ačkoli se obvykle připisuje F. Murrayovi),^[3] a lze je zobecnit na libovolné konečné rozšíření pole přirozeným způsobem.

V nekonečných rozměrech

Níže, všechny vektorové prostory jsou nad reálná čísla ℝ nebo komplexní čísla ℂ.

Li PROTI je topologický vektorový prostor, prostor kontinuální lineární funkcionály - kontinuální duální - se často jednoduše nazývá duální prostor. Li PROTI je Banachův prostor, pak je také jeho (kontinuální) duální. Abychom odlišili obyčejný duální prostor od souvislého duálního prostoru, první se někdy nazývá algebraický duální prostor. V konečných dimenzích je každá lineární funkce spojitá, takže spojitá dvojice je stejná jako algebraická dvojice, ale v nekonečných dimenzích je spojitá dvojice řádným podprostorem algebraické dvojky.

Lineární funkční F na (ne nutně lokálně konvexní ) topologický vektorový prostor X je kontinuální právě tehdy, pokud existuje nepřetržitý seminář p na X takhle |F| ≤ p.^[4]

Charakterizace uzavřených podprostorů

Spojité lineární funkcionály mají pro vlastnosti hezké analýza: lineární funkce je spojitá právě tehdy, když je jádro je zavřeno,^[5] a netriviální spojitá lineární funkce je otevřít mapu, i když (topologický) vektorový prostor není úplný.^[6]

Hyperplány a maximální podprostory

Vektorový podprostor M z X je nazýván maximální -li M ⊊ X, ale neexistují žádné vektorové podprostory N uspokojující M ⊊ N ⊊ X. M je maximální právě tehdy, je-li jádrem nějaké netriviální lineární funkce X (tj. M = ker F pro některé netriviální lineární funkční F na X). A nadrovina v X je překlad maximálního vektorového podprostoru. Linearitou, podmnožinou H z X je nadrovina tehdy a jen tehdy, pokud existuje nějaká netriviální lineární funkce F na X takhle H = { X ∈ X : F(X) = 1}.^[3]

Vztahy mezi více lineárními funkcionály

Libovolné dva lineární funkcionály se stejným jádrem jsou proporcionální (tj. Skalární násobky navzájem). Tuto skutečnost lze zobecnit na následující větu.

Li F je netriviální lineární funkční funkce X s jádrem N, X ∈ X splňuje F(X) = 1, a U je vyrovnaný podmnožina X, pak N ∩ (X + U) = ∅ kdyby a jen kdyby |F(u)| < 1 pro všechny u ∈ U.^[6]

Hahn-Banachova věta

Libovolná (algebraická) lineární funkce na a vektorový podprostor lze rozšířit na celý prostor; například výše popsané funkcionály vyhodnocení lze rozšířit na vektorový prostor polynomů na všech ℝ. Toto rozšíření však nelze vždy provést při zachování lineární funkční spojitosti. Rodina vět Hahn-Banach dává podmínky, za kterých lze toto rozšíření provést. Například,

Rovnoměrnost rodin lineárních funkcionálů

Nechat X být topologický vektorový prostor (TVS) s nepřetržitý duální prostor X'.

Pro jakoukoli podmnožinu H z X', ekvivalentní jsou následující:^[10]

1. H je rovnocenný;
2. H je obsažen v polární nějakého sousedství 0 v X;
3. the (před) polární z H je sousedství 0 v X;

Li H je rovnocenná podmnožina X' potom jsou také rovnocenné následující sady: slabý-* uzávěr, vyvážený trup, konvexní obal a konvexní vyvážený trup.^[10] Navíc, Alaogluova věta znamená, že slabé * uzavření ekvivalentní podmnožiny X' je slabý - * kompaktní (a tedy že každá ekvivalentní podmnožina slabý - * relativně kompaktní).^[11][10]

Viz také

• Diskontinuální lineární mapa
• Lokálně konvexní topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s topologií definovanou konvexními otevřenými množinami
• Pozitivní lineární funkční
• Multilineární forma - Mapa z více vektorů do podkladového pole skalárů, lineární v každém argumentu
• Topologický vektorový prostor - Vektorový prostor s představou blízkosti

Poznámky

Reference

Bibliografie

• Bishop, Richarde; Goldberg, Samuel (1980), „Kapitola 4“, Analýza tenzoru na rozdělovačích potrubích Publikace Dover, ISBN  0-486-64039-6
• Conway, John B. (1990). Kurz funkční analýzy. Postgraduální texty z matematiky. 96 (2. vyd.). Springer. ISBN  0-387-97245-5.
• Dunford, Nelson (1988). Lineární operátory (v rumunštině). New York: Interscience Publishers. ISBN  0-471-60848-3. OCLC  18412261.
• Halmos, Paul (1974), Konečné dimenzionální vektorové prostorySpringer, ISBN  0-387-90093-4
• Lax, Peter (1996), Lineární algebra, Wiley-Interscience, ISBN  978-0-471-11111-5
• Misner, Charles W.; Thorne, Kip. S.; Wheeler, John A. (1973), Gravitace, W. H. Freeman, ISBN  0-7167-0344-0
• Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN  978-1584888666. OCLC  144216834.
• Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN  978-0-07-054236-5. OCLC  21163277.
• Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN  978-1-4612-7155-0. OCLC  840278135.
• Schutz, Bernard (1985), „Kapitola 3“, První kurz obecné relativity, Cambridge, Velká Británie: Cambridge University Press, ISBN  0-521-27703-5
• Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN  978-0-486-45352-1. OCLC  853623322.
• Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN  978-0-486-49353-4. OCLC  849801114.