Grothendieckův prostor - Grothendieck space

v matematika, a Grothendieckův prostor, pojmenoval podle Alexander Grothendieck, je Banachův prostor X ve kterém každá slabě * konvergentní sekvence v dvojí prostor X* konverguje s ohledem na slabá topologie z X*.

Charakterizace

Nechat X být Banachovým prostorem. Pak jsou ekvivalentní následující podmínky:

  1. X je Grothendieckův prostor,
  2. pro každého oddělitelný Banachův prostor Y, každý ohraničený lineární operátor z X na Y je slabě kompaktní, tj. obraz omezené podmnožiny X je slabě kompaktní podmnožina Y,
  3. pro každý slabě kompaktně generovaný Banachův prostor Y, každý ohraničený lineární operátor z X na Y je slabě kompaktní.
  4. každá slabá * kontinuální funkce na duální X* je slabě Riemann integrovatelný.

Příklady

  • Každý reflexní Banachův prostor je prostor Grothendieck. Naopak je to důsledek Eberlein – Šmulianova věta že oddělitelný Grothendieckův prostor X musí být reflexivní, protože identita z X na X je v tomto případě slabě kompaktní.
  • Grothendieckovy prostory, které nejsou reflexivní, zahrnují prostor C(K.) všech spojitých funkcí na a Kamenný kompaktní prostor K.a prostor L∞(μ) pro pozitivní míra μ (Stonean kompaktní prostor je Hausdorff kompaktní prostor, ve kterém uzavření ze všech otevřená sada je otevřeno).
  • Jean Bourgain dokázal, že prostor H∞ omezených holomorfních funkcí na disku je Grothendieckův prostor.[1]

Viz také

Reference

  1. ^ J. Bourgain, H∞ je Grothendieckův prostor, Studia Math., 75 (1983), 193–216.
  • J. Diestel, Geometrie Banachových prostorů, Selected Topics, Springer, 1975.
  • J. Diestel, J. J. Uhl: Vektorové míry. Providence, R.I .: American Mathematical Society, 1977. ISBN  978-0-8218-1515-1.
  • Shaw, S.-Y. (2001) [1994], "Grothendieckův prostor", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS
  • Nisar A. Lone, na slabé Riemannově integrovatelnosti slabých * - spojité funkce. Středomořský deník matematiky, 2017.