Nekonečno-dimenzionální holomorphy - Infinite-dimensional holomorphy

v matematika, nekonečně dimenzionální holomorphy je pobočkou funkční analýza. Zabývá se zevšeobecněním pojmu holomorfní funkce k definovaným funkcím a přijímání hodnot v komplex Banachovy prostory (nebo Fréchetové prostory obecněji), obvykle nekonečné dimenze. Je to jeden aspekt nelineární funkční analýza.

Holomorfní funkce s vektorovou hodnotou definované v komplexní rovině

Prvním krokem při rozšiřování teorie holomorfních funkcí nad jednu komplexní dimenzi je zvažování tzv vektorově oceněné holomorfní funkce, které jsou stále definovány v složité letadlo C, ale vezměte hodnoty v Banachově prostoru. Tyto funkce jsou důležité například při konstrukci holomorfní funkční počet pro ohraničené lineární operátory.

Definice. Funkce F : U → X, kde U ⊂ C je otevřená podmnožina a X je komplexní Banachův prostor se nazývá holomorfní pokud je komplexně diferencovatelný; to znamená pro každý bod z ∈ U následující omezit existuje:

${ displaystyle f '(z) = lim _ { zeta to z} { frac {f ( zeta) -f (z)} { zeta -z}}.}$

Lze definovat linka integrální vektorově hodnotné holomorfní funkce F : U → X podél a usměrnitelná křivka γ: [A, b] → U stejným způsobem jako u komplexně oceněných holomorfních funkcí, jako limit součtů formy

${ displaystyle sum _ {1 leq k leq n} f ( gamma (t_ {k})) ( gamma (t_ {k}) - gamma (t_ {k-1}))}$

kde A = t₀ < t₁ < ... < t_n = b je dělení intervalu [A, b], protože délky intervalů dělení se blíží nule.

Jedná se o rychlou kontrolu, zda Cauchyho integrální věta platí také pro holomorfní funkce s vektorovou hodnotou. Opravdu, pokud F : U → X je taková funkce a T : X → C ohraničená lineární funkce, lze to ukázat

${ displaystyle T left ( int _ { gamma} f (z) , dz right) = int _ { gamma} (T circ f) (z) , dz.}$

Navíc složení T Ó F : U → C je komplexně oceněná holomorfní funkce. Proto pro γ a jednoduchá uzavřená křivka jehož vnitřek je obsažen v U, integrál vpravo je nula, klasickým Cauchyovým integrálním teorémem. Pak od té doby T je libovolný, vyplývá to z Hahnova – Banachova věta že

${ displaystyle int _ { gamma} f (z) , dz = 0}$

což dokazuje Cauchyho integrální větu v případě s vektorovou hodnotou.

Pomocí tohoto mocného nástroje se pak může ukázat Cauchyho integrální vzorec, a stejně jako v klasickém případě je to jakákoli vektorově oceněná holomorfní funkce analytický.

Užitečné kritérium pro funkci F : U → X být holomorfní je to T Ó F : U → C je holomorfní komplex s funkcí pro každého spojité lineární funkční T : X → C. Takový F je slabě holomorfní. Je možné ukázat, že funkce definovaná v otevřené podmnožině komplexní roviny s hodnotami ve Fréchetově prostoru je holomorfní tehdy a jen tehdy, je-li slabě holomorfní.

Holomorfní funkce mezi Banachovými prostory

Obecněji řečeno, vzhledem ke dvěma komplexům Banachovy prostory X a Y a otevřená sada U ⊂ X, F : U → Y je nazýván holomorfní pokud Fréchetův derivát z F existuje v každém bodě v U. Lze ukázat, že v tomto obecnějším kontextu stále platí, že holomorfní funkce je analytická, to znamená, že ji lze lokálně rozšířit v řadě výkonů. Již však neplatí, že pokud je v kouli definována a holomorfní funkce, její mocninová řada kolem středu koule je v celé kouli konvergentní; například existují holomorfní funkce definované v celém prostoru, které mají konečný poloměr konvergence.^[1]

Holomorfní funkce mezi topologickými vektorovými prostory

Obecně platí, že vzhledem ke dvěma komplex topologické vektorové prostory X a Y a otevřená sada U ⊂ X, existují různé způsoby, jak definovat holomorfii funkce F : U → Y. Na rozdíl od konečného rozměrového nastavení, když X a Y jsou nekonečně dimenzionální, vlastnosti holomorfních funkcí mohou záviset na zvolené definici. Abychom omezili počet možností, které musíme vzít v úvahu, budeme o holomorfii hovořit pouze v případě, že X a Y jsou lokálně konvexní.

Tato část představuje seznam definic, od nejslabšího pojmu k nejsilnějšímu pojmu. Na závěr je diskuse o některých větách týkajících se těchto definic mezer X a Y uspokojit některá další omezení.

Gateaux holomorphy

Gateaux holomorphy je přímé zobecnění slabé holomorphy do plně nekonečného dimenzionálního prostředí.

Nechat X a Y být lokálně konvexní topologické vektorové prostory a U ⊂ X otevřená sada. Funkce F : U → Y se říká, že je Gâteaux holomorfní pokud pro každého A ∈ U a b ∈ Xa všechny spojité lineární funkční φ: Y → C, funkce

${ displaystyle f _ { varphi} (z) = varphi circ f (a + zb)}$

je holomorfní funkce z v sousedství původu. Soubor holomorfních funkcí Gâteaux označuje H_G(U,Y).

V analýze Gateauxových holomorfních funkcí jakékoli vlastnosti konečně-dimenzionálních holomorfních funkcí drží na konečných-dimenzionálních podprostorech X. Jak je však ve funkční analýze obvyklé, nemusí se tyto vlastnosti spojit jednotně, aby se získaly odpovídající vlastnosti těchto funkcí na plně otevřených množinách.

Příklady

• Li F ∈ U, pak F má Gateaux deriváty všech objednávek, protože pro X ∈ U a h₁, ..., h_k ∈ X, k-Gateauxův derivát řádu D^kF(X){h₁, ..., h_k} zahrnuje pouze iterované směrové derivace v rozsahu h_i, což je konečný trojrozměrný prostor. V tomto případě jsou iterované deriváty Gateaux multilineární v h_i, ale obecně nebude spojitý, když se na něj pohlíží v celém prostoru X.
• Verze Taylorovy věty dále platí:

${ displaystyle f (x + y) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} { widehat {D}} ^ {n} f (x) ( y)}$

Tady, ${ displaystyle { widehat {D}} ^ {n} f (x) (y)}$ je homogenní polynom stupně n v y spojené s multilineární operátor DⁿF(X). Konvergence této řady není jednotná. Přesněji řečeno, pokud PROTI ⊂ X je pevný konečně-dimenzionální podprostor, pak řada rovnoměrně konverguje na dostatečně malých kompaktních čtvrtích 0 ∈ Y. Pokud však podprostor PROTI je dovoleno měnit se, pak konvergence selže: obecně nebude s ohledem na tuto variantu jednotná. Všimněte si, že je to v ostrém kontrastu s případem konečných rozměrů.

• Hartogova věta platí pro Gateauxovy holomorfní funkce v následujícím smyslu:

Li F : (U ⊂ X₁) × (PROTI ⊂ X₂) → Y je funkce, která je odděleně Gateaux holomorfní v každém ze svých argumentů, tedy F je Gateaux holomorfní v prostoru produktu.

Hypoanalytičnost

Funkce F : (U ⊂ X) → Y je hypoanalytický -li F ∈ H_G(U,Y) a navíc F je nepřetržitě zapnuto relativně kompaktní podmnožiny U.

Holomorphy

Funkce F ∈ H_G(U,Y) je holomorfní pokud pro každého X ∈ U, rozšíření řady Taylor

${ displaystyle f (x + y) = součet _ {n = 0} ^ { infty} { frac {1} {n!}} { widehat {D}} ^ {n} f (x) ( y)}$

(který již Gateaux holomorphy zaručeně existuje) konverguje a je nepřetržitý pro y v sousedství 0 ∈ X. Holomorphy tedy kombinuje představu slabé holomorphy s konvergencí expanze výkonových řad. Kolekce holomorfních funkcí je označena H (U,Y).

Místně ohraničená holomorfie

Funkce F : (U ⊂ X) → Y se říká, že je místně ohraničený pokud každý bod U má sousedství, jehož obrázek je pod F je ohraničen v Y. Pokud navíc F je Gateaux holomorfní U, pak F je místně ohraničený holomorfní. V tomto případě píšeme F ∈ H_LB(U,Y).

Reference

• Richard V. Kadison John R. Ringrose, Základy teorie operátorových algeber, Sv. 1: Elementární teorie. Americká matematická společnost, 1997. ISBN  0-8218-0819-2. (Viz oddíl 3.3.)
• Soo Bong Chae, Holomorphy a kalkul v normovaných prostorech, Marcel Dekker, 1985. ISBN  0-8247-7231-8.
• ^ Lawrence A. Harris, Věty o pevném bodě pro nekonečné dimenzionální holomorfní funkce (nedatovaný).