Extrémní bod - Extreme point

v matematika, an extrémní bod a konvexní sada S ve skutečnosti vektorový prostor je bod v S, který neleží v žádném otevřeném bodě úsečka spojení dvou bodů S. v lineární programování problémy, extrémní bod se také nazývá vrchol nebo rohový bod S.[1]
Definice
Po celou dobu se předpokládá, že X je skutečný nebo komplexní vektorový prostor.
Pro všechny str, X, y ∈ X, říkají, že str leží mezi[2] X a y -li X ≠ y a existuje a 0 < t < 1 takhle str = tx + (1 − t)y.
Li K. je podmnožinou X a str ∈ K., pak str se nazývá extrémní bod[2] z K. pokud to neleží mezi žádnými dvěma odlišný body K.. Tedy pokud ano ne existovat X, y ∈ K. a 0 < t < 1 takhle X ≠ y a str = tx + (1 − t) y. Sada všech extrémních bodů K. je označen extrémní(K.).
Charakterizace
The střed[2] dvou prvků X a y ve vektorovém prostoru je vektor 1/2(X + y).
Pro všechny prvky X a y ve vektorovém prostoru množina [X, y] := {tx + (1 − t)y : 0 ≤ t ≤ 1} se nazývá uzavřený úsečka nebo uzavřený interval mezi X a y. The otevřený úsečka nebo otevřený interval mezi X a y je (X, X) := ∅ když X = y zatímco to je (X, y) := {tx + (1 − t)y : 0 < t < 1} když X ≠ y.[2] Body X a y se nazývají koncové body tohoto intervalu. Interval se říká, že je nedegenerovaný nebo správně pokud jsou jeho koncové body odlišné. The střed intervalu je střed jeho koncových bodů.
Všimněte si, že [X, y] se rovná konvexní obal z {X, y} takže když K. je konvexní a X, y ∈ K., pak [X, y] ⊆ K..
Li K. je neprázdná podmnožina X a F je neprázdná podmnožina K., pak F se nazývá a tvář[2] z K. pokud kdykoli str ∈ F leží mezi dvěma body K., pak tyto dva body nutně patří F.
Teorém[2] — Nechat K. být neprázdnou konvexní podmnožinou vektorového prostoru X a nechte str ∈ K.. Pak jsou ekvivalentní následující:
- str je extrémní bod K.;
- K. ∖ { str} je konvexní;
- str není střed nedegenerovaného úsečkového segmentu obsaženého v K.;
- pro všechny X, y ∈ K., pokud str ∈ [X, y] pak X = str nebo y = str;
- -li X ∈ X je takový, že oba str + X a str − X patřit k K., pak X = 0;
- { str } je tváří K..
Příklady
- Li A < b jsou tedy dvě reálná čísla A a b jsou krajní body intervalu [A, b]. Otevřený interval (A, b) nemá žádné extrémní body.[2]
- Injekční lineární mapa F : X → Y posílá krajní body konvexní množiny C ⊆ X do krajních bodů konvexní množiny F(C).[2] To platí také pro injektivní afinní mapy.
- Obvod konvexního mnohoúhelníku v rovině je plochou tohoto mnohoúhelníku.[2]
- Vrcholy libovolného konvexního mnohoúhelníku v rovině ℝ2 jsou krajní body polygonu.
- Extrémní body uzavřený disk jednotky v ℝ2 je jednotkový kruh.
- Žádný otevřený interval v ℝ nemá žádné extrémní body, zatímco je nedegenerovaný uzavřený interval nerovná se ℝ má extrémní body (tj. koncový bod (uzavřené intervaly)). Obecněji libovolné otevřená podmnožina konečně-dimenzionální Euklidovský prostor ℝn nemá žádné extrémní body.
Vlastnosti
Krajní body kompaktní konvexní formy a Baireův prostor (s topologií podprostoru), ale tato sada může selhat být uzavřen X.[2]
Věty
Kerin – Milmanova věta
The Kerin – Milmanova věta je pravděpodobně jednou z nejznámějších vět o extrémních bodech.
Kerin – Milmanova věta — Li S je konvexní a kompaktní v lokálně konvexní prostor, pak S je uzavřený konvexní obal jeho extrémních bodů: Zejména taková sada má extrémní body.
Pro Banachovy prostory
Tyto věty jsou pro Banachovy prostory s Vlastnost Radon – Nikodym.
Věta o Joram Lindenstrauss uvádí, že v Banachově prostoru s vlastností Radon – Nikodym je neprázdné Zavřeno a ohraničená množina má extrémní pointu. (V nekonečně-dimenzionálních prostorech je vlastnost kompaktnost je silnější než společné vlastnosti uzavření a ohraničení).[3]
Teorém (Gerald Edgar ) — Nechat E být Banachovým prostorem s vlastností Radon-Nikodym, nechť C být oddělitelná, uzavřená, ohraničená, konvexní podmnožina Ea nechte A být bodem v C. Pak je tu míra pravděpodobnosti str na univerzálně měřitelných sadách C takhle A je barycentrum z stra sada extrémních bodů C má str- opatření 1.[4]
Edgarova věta implikuje Lindenstraussovu větu.
k-extrémní body
Obecněji bod v konvexní množině S je k-extrémní pokud leží uvnitř interiéru a k-rozměrná konvexní množina uvnitř S, ale ne k + 1-rozměrná konvexní množina uvnitř S. Extrémní bod je tedy také 0-extrémní bod. Li S je polytop, pak k-extrémní body jsou přesně vnitřní body k-rozměrné tváře S. Obecněji pro jakoukoli konvexní sadu S, k-extrémní body jsou rozděleny na k-rozměrné otevřené tváře.
Konečněrozměrná Kerin-Milmanova věta, která je způsobena Minkowského, lze rychle dokázat pomocí konceptu k-extrémní body. Li S je uzavřený, ohraničený a n-dimenzionální, a pokud str je bod v S, pak str je k- pro některé extrémní k < n. Věta to tvrdí str je konvexní kombinace extrémních bodů. Li k = 0, pak je to triviálně pravda. v opačném případě str leží na úsečce v S které lze maximálně prodloužit (protože S je uzavřený a ohraničený). Pokud jsou koncové body segmentu q a r, pak jejich extrémní pozice musí být menší než str, a teorém následuje indukcí.
Viz také
Citace
- ^ Saltzman, Matthew. „Jaký je rozdíl mezi rohovými a extrémními body v problémech lineárního programování?“.
- ^ A b C d E F G h i j Narici & Beckenstein 2011, str. 275-339.
- ^ Artstein, Zvi (1980). „Diskrétní a nepřetržitý bang-bang a obličejové prostory nebo: Hledejte extrémní body“. Recenze SIAM. 22 (2): 172–185. doi:10.1137/1022026. JSTOR 2029960. PAN 0564562.
- ^ Edgar GA. Nekompaktní Choquetova věta. Proceedings of the American Mathematical Society. 1975; 49 (2): 354-8.
Bibliografie
- Adasch, Norbert; Ernst, Bruno; Keim, Dieter (1978). Topologické vektorové prostory: Teorie bez podmínek konvexnosti. Přednášky z matematiky. 639. Berlín New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-08662-8. OCLC 297140003.
- Bourbaki, Nicolasi (1987) [1981]. Topologické vektorové prostory: kapitoly 1–5 [Sur certains espaces vectoriels topologiques]. Annales de l'Institut Fourier. Éléments de mathématique. 2. Přeložil Eggleston, H.G .; Madan, S. Berlin New York: Springer-Verlag. ISBN 978-3-540-42338-6. OCLC 17499190.
- Paul E. Black, vyd. (2004-12-17). "extrémní bod". Slovník algoritmů a datových struktur. NÁS Národní institut norem a technologií. Citováno 2011-03-24.
- Borowski, Ephraim J .; Borwein, Jonathan M. (1989). "extrémní bod". Slovník matematiky. Collinsův slovník. Harper Collins. ISBN 0-00-434347-6.
- Grothendieck, Alexander (1973). Topologické vektorové prostory. Přeložil Chaljub, Orlando. New York: Gordon and Breach Science Publishers. ISBN 978-0-677-30020-7. OCLC 886098.
- Jarchow, Hans (1981). Lokálně konvexní mezery. Stuttgart: B.G. Teubner. ISBN 978-3-519-02224-4. OCLC 8210342.
- Köthe, Gottfried (1969). Topologické vektorové prostory I. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 159. Přeložil Garling, D.J.H. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-3-642-64988-2. PAN 0248498. OCLC 840293704.
- Köthe, Gottfried (1979). Topologické vektorové prostory II. Grundlehren der mathematischen Wissenschaften. 237. New York: Springer Science & Business Media. ISBN 978-0-387-90400-9. OCLC 180577972.
- Narici, Lawrence; Beckenstein, Edward (2011). Topologické vektorové prostory. Čistá a aplikovaná matematika (druhé vydání). Boca Raton, FL: CRC Press. ISBN 978-1584888666. OCLC 144216834.
- Robertson, Alex P .; Robertson, Wendy J. (1980). Topologické vektorové prostory. Cambridge Tracts v matematice. 53. Cambridge Anglie: Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-29882-7. OCLC 589250.
- Rudin, Walter (1991). Funkční analýza. International Series in Pure and Applied Mathematics. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: McGraw-Hill Science / Engineering / Math. ISBN 978-0-07-054236-5. OCLC 21163277.
- Schaefer, Helmut H.; Wolff, Manfred P. (1999). Topologické vektorové prostory. GTM. 8 (Druhé vydání.). New York, NY: Springer New York Otisk Springer. ISBN 978-1-4612-7155-0. OCLC 840278135.
- Schechter, Eric (1996). Příručka pro analýzu a její základy. San Diego, CA: Academic Press. ISBN 978-0-12-622760-4. OCLC 175294365.
- Trèves, François (2006) [1967]. Topologické vektorové prostory, distribuce a jádra. Mineola, NY: Dover Publications. ISBN 978-0-486-45352-1. OCLC 853623322.
- Wilansky, Albert (2013). Moderní metody v topologických vektorových prostorech. Mineola, New York: Dover Publications, Inc. ISBN 978-0-486-49353-4. OCLC 849801114.