Rieszovo lemma - Rieszs lemma - Wikipedia

tento článek potřebuje další citace pro ověření. Prosím pomozte vylepšit tento článek podle přidávání citací ke spolehlivým zdrojům. Zdroj bez zdroje může být napaden a odstraněn. Najít zdroje: „Rieszovo lemma“  – zprávy  · noviny  · knihy  · učenec  · JSTOR (Listopad 2012) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

Rieszovo lemma (po Frigyes Riesz ) je lemma v funkční analýza. Specifikuje (často snadno kontrolovatelné) podmínky, které zaručují, že a podprostor v normovaný vektorový prostor je hustý. Lema může být také nazývána Rieszovo lemma nebo Rieszova nerovnost. Může se na něj pohlížet jako na náhradu ortogonality, když člověk není ve vnitřním prostoru produktu.

Výsledek

Rieszova lemma. Nechat X být normovaným prostorem, Y být uzavřeným správným podprostorem X a α je reálné číslo s 0 <α <1. Pak existuje X v X s |X| = 1 takový, že |X − y| ≥ α pro všechny y v Y.^[1]

Poznámka 1. V případě konečných rozměrů lze dosáhnout rovnosti. Jinými slovy, existuje X jednotkové normy takové, že d(X, Y) = 1. Když je rozměr X je konečný, jednotková koule B ⊂ X je kompaktní. Také funkce vzdálenosti d(· , Y) je spojitý. Proto je jeho obraz na jednotkové kouli B musí být kompaktní podmnožinou skutečné linie, která prokazuje nárok.

Poznámka 2. Prostor ℓ_∞ všech ohraničených sekvencí ukazuje, že lemma neplatí pro α = 1.

Důkaz lze nalézt v textech funkční analýzy, jako je Kreyszig. An online důkaz od prof. Paula Garretta je k dispozici.

Některé důsledky

The spektrální vlastnosti kompaktních operátorů působící na Banachův prostor jsou podobné jako u matic. Rieszovo lemma je při stanovení této skutečnosti zásadní.

Rieszovo lemma zaručuje, že jakýkoli nekonečně rozměrný normovaný prostor obsahuje posloupnost jednotkových vektorů {X_n} s ${ displaystyle | x_ {n} -x_ {m} |> alpha}$ pro 0 < α <1. To je užitečné při ukázání neexistence jistého opatření na nekonečně-dimenzionální Banachovy prostory. Rieszovo lemma také ukazuje, že operátor identity v Banachově prostoru X je kompaktní právě tehdy X je konečně-dimenzionální.^[2]

Toto lemma lze také použít k charakterizaci konečných rozměrných normovaných prostorů: pokud X je normovaný vektorový prostor, pak X je konečný rozměrný právě tehdy, když je uzavřená jednotková koule v X kompaktní.

Charakterizace konečné dimenze

Rieszovo lemma lze použít přímo k prokázání, že jednotková koule nekonečně dimenzionálního normovaného prostoru X nikdy není kompaktní: Vezměte prvek X₁ ze sféry jednotek. Výběr X_n z jednotkové sféry tak, že

${ displaystyle d (x_ {n}, Y_ {n-1})> alpha}$ pro konstantu 0 < α <1, kde Y_n−1 je lineární rozpětí {X₁ ... X_n−1} a ${ displaystyle d (x_ {n}, Y) = inf _ {y v Y} | x_ {n} -y |}$.

Jasně {X_n} neobsahuje žádnou konvergentní subsekvenci a následuje nekompaktnost jednotkové koule.

Obecněji, pokud a topologický vektorový prostor X je místně kompaktní, pak je konečný rozměrný. Opak je také pravdou. Jmenovitě, pokud je topologický vektorový prostor konečný rozměrný, je lokálně kompaktní^[3]. Lokální kompaktnost proto charakterizuje konečnou rozměrnost. Tento klasický výsledek se připisuje také Rieszovi. Krátký důkaz lze načrtnout následovně: let C být kompaktní sousedství 0 ∈ X. Kompaktností existují C₁, ..., C_n ∈ C takhle

${ displaystyle C podmnožina bigcup _ {i = 1} ^ {n} ; left (c_ {i} + { frac {1} {2}} C right).}$

Tvrdíme, že konečný rozměrný podprostor Y překlenuto {C_i} je hustá X, nebo ekvivalentně, jeho uzavření je X. Od té doby X je spojení skalárních násobků C, to stačí ukázat C ⊂ Y. Nyní indukcí

${ displaystyle C podmnožina Y + { frac {1} {2 ^ {m}}} C}$

pro každého m. Ale kompaktní sady jsou ohraničený, tak C spočívá v uzavření Y. To dokazuje výsledek. Pro jiný důkaz založený na Hahn-Banachově teorémě viz ^[4].

Viz také

• Věta F. Riesze

Reference

• Kreyszig, Erwin (1978), Úvodní funkční analýza s aplikacemiJohn Wiley & Sons, ISBN  0-471-50731-8