Věta o rozšíření M. Riesze - M. Riesz extension theorem

The Věta o rozšíření M. Riesze je teorém v matematika, prokázáno Marcel Riesz ^[1] během studia problém momentů.^[2]

Formulace

Nechat E být nemovitý vektorový prostor, F ⊂ E A vektorový podprostor a nechte K. ⊂ E být konvexní kužel.

A lineární funkční φ: F → R je nazýván K.-pozitivní, pokud má na kuželu pouze nezáporné hodnoty K.:

${displaystyle phi (x) geq 0quad {ext {for}} quad xin Fcap K.}$

Lineární funkční ψ: E → R se nazývá a K.-pozitivní rozšíření z φ, pokud je totožný s φ v doméně φ, a také vrátí hodnotu alespoň 0 pro všechny body v kuželu K.:

${displaystyle psi | _ {F} = phi quad {ext {a}} quad psi (x) geq 0quad {ext {for}} quad xin K.}$

Obecně platí, že K.-pozitivní lineární funkční na F nelze rozšířit na a ${displaystyle K}$-pozitivní lineární funkční na E. Již ve dvou dimenzích získá jeden protiklad K. být horní polovinou roviny s otevřeným záporem X- osa odstraněna. Li F je X-osa, pak pozitivní funkční φ(X, 0) = X nelze rozšířit na pozitivní funkci v rovině.

Rozšíření však existuje za dalšího předpokladu, že pro každého y ∈ E tady existuje X∈F takhle y − X ∈K.; jinými slovy, pokud E = K. + F.

Důkaz

Důkaz je podobný důkazu o Hanh-Banachova věta (viz také níže).

Podle transfinitní indukce nebo Zornovo lemma stačí považovat případ za tlumenýE/F = 1.

Vyberte libovolné y ∈ EF. Soubor

${displaystyle a = sup {phi (x): xin F, y-xin K}, b = inf {phi (x): xin F, x-yin K}.}$

Níže dokážeme, že -∞ < A ≤ b. Prozatím vyberte libovolné C uspokojující A ≤ C ≤ ba nastavit ψ(y) = C, ψ|_F = φ, a poté prodloužit ψ všem E podle linearity. Musíme to ukázat ψ je K.-pozitivní. Předpokládat z ∈ K.. Pak buď z = 0, nebo z = p(X + y) nebo z = p(X - y) pro některé p> 0 a X ∈ F. Li z = 0, pak ψ(z) ≥ 0. V prvním zbývajícím případě X + y = y - (-X) ∈ K.a tak

${displaystyle psi (y) = cgeq ageq phi (-x) = psi (-x)}$

podle definice. Tím pádem

${displaystyle psi (z) = ppsi (x + y) = p (psi (x) + psi (y)) geq 0.}$

V druhém případě X - y ∈ K.a podobně

${displaystyle psi (y) = klíč bleq phi (x) = psi (x)}$

podle definice a tak dále

${displaystyle psi (z) = ppsi (x-y) = p (psi (x) -psi (y)) geq 0.}$

Ve všech případech, ψ(z) ≥ 0 atd ψ je K.-pozitivní.

Nyní dokazujeme, že -∞ < A ≤ b. Všimněte si, že existuje alespoň jeden X ∈ F pro který y - X ∈ K., a tak -∞ <A. Může se však stát, že žádné neexistují x ∈ F. pro který X - y∈ K, v jakém případě b = ∞ a nerovnost je triviální (v tomto případě si všimněte, že třetí případ výše se nemůže stát). Můžeme to tedy předpokládat b <∞ a je alespoň jeden x ∈ F. pro který X - y∈ K.. Abychom dokázali nerovnost, stačí to kdykoli ukázat X ∈ F a y - X ∈ K., a X' ∈ F a x '- r ∈ K., pak φ(X) ≤ φ(X'). Vskutku,

${displaystyle x'-x = (x'-y) + (y-x) v K}$

od té doby K. je konvexní kužel, a tak

${displaystyle 0leq phi (x'-x) = phi (x ') - phi (x)}$

od té doby φ je K.-pozitivní.

Dodatek: Kreinova extenzní věta

Nechat E být nemovitý lineární prostor a nechte K. ⊂ E být konvexní kužel. Nechat X ∈ E(−K.) být takový, že R X + K. = E. Pak existuje a K.-pozitivní lineární funkční φ: E → R takhle φ(X) > 0.

Spojení s Hahn-Banachovou větou

Hahn-Banachovu větu lze odvodit z věty o prodloužení M. Riesze.

Nechat PROTI být lineární prostor, a nechť N být podprahovou funkcí PROTI. Nechat φ být funkčním v podprostoru U ⊂ PROTI kterému dominuje N:

${displaystyle phi (x) leq N (x), quad xin U.}$

Tvrdí to Hahn-Banachova věta φ lze rozšířit na lineární funkční PROTI kterému dominuje N.

Chcete-li to odvodit z věty o rozšíření M. Riesze, definujte konvexní kužel K. ⊂ R×PROTI podle

${displaystyle K = left {(a, x), mid, N (x) leq aight}.}$

Definujte funkční φ₁ na R×U podle

${displaystyle phi _ {1} (a, x) = a-phi (x).}$

To je vidět φ₁ je K.- pozitivní, a to K. + (R × U) = R × PROTI. Proto φ₁ lze rozšířit na a K.-pozitivní funkční ψ₁ na R×PROTI. Pak

${displaystyle psi (x) = - psi _ {1} (0, x)}$

je požadované rozšíření φ. Opravdu, pokud ψ(X) > N(X), my máme: (N(X), X) ∈ K., zatímco

${displaystyle psi _ {1} (N (x), x) = N (x) -psi (x) <0,}$

což vede k rozporu.

Poznámky

Reference

• Castillo, Reńe E. (2005), „Poznámka o Kreinově větě“ (PDF), Lecturas Matematicas, 26, archivovány z originál (PDF) dne 01.02.2014, vyvoláno 2014-01-18
• Riesz, M. (1923), "Sur le Problemme des Moments. III.", Společnost Matematik, Astronomi och Fysik (francouzsky), 17 (16), JFM  49.0195.01
• Akhiezer, N.I. (1965), Klasický momentový problém a některé související otázky v analýze, New York: Hafner Publishing Co., PAN  0184042