Konvexní série - Convex series

Tento článek obsahuje seznam obecných Reference, ale zůstává z velké části neověřený, protože postrádá dostatečné odpovídající vložené citace. Prosím pomozte zlepšit tento článek představuji přesnější citace. (Květen 2020) (Zjistěte, jak a kdy odstranit tuto zprávu šablony)

V matematice, zejména v funkční analýza a konvexní analýza, a konvexní řada je série formuláře ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ kde ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ jsou všechny prvky a topologický vektorový prostor X, Všechno ${ displaystyle r_ {1}, r_ {2}, ldots}$ jsou nezáporné reálná čísla tu částku 1 (tj. ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} = 1}$).

Typy konvexních sérií

Předpokládejme to S je podmnožinou X a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je konvexní řada v X.

• Padám ${ displaystyle x_ {1}, x_ {2}, ldots}$ patřit k S pak konvexní řada ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ se nazývá a konvexní řada s prvky S.
• Pokud je sada ${ displaystyle {x_ {1}, x_ {2}, ldots }}$ je von Neumann omezen pak série volala a b-konvexní řada.
• Konvexní řada ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ se říká, že je konvergentní pokud posloupnost dílčích součtů ${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} x_ {i} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$ sblíží se X na nějaký prvek X, který se nazývá konvexní řada součet.
• Konvexní řada se nazývá Cauchy -li ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je Cauchyova řada, což podle definice znamená, že posloupnost dílčích součtů ${ displaystyle left ( sum _ {i = 1} ^ {n} r_ {i} x_ {i} right) _ {n = 1} ^ { infty}}$ je Cauchyova posloupnost.

Druhy podmnožin

Konvexní řady umožňují definovat speciální typy podmnožin, které se chovají dobře a jsou užitečné s velmi dobrými vlastnostmi stability.

Li S je podmnožinou a topologický vektorový prostor X pak S se říká, že:

• cs zavřeno pokud existuje konvergentní konvexní řada s prvky S má svůj (každý) součet S.
  • V této definici X je ne musí být Hausdorff, v takovém případě nemusí být částka jedinečná. V takovém případě požadujeme, aby každá částka patřila S.
• dolní cs zavřeno nebo lcs zavřeno pokud existuje Fréchetový prostor Y takhle S se rovná projekci na X (prostřednictvím kanonické projekce) některé podmnožiny uzavřené pomocí CS B z ${ displaystyle X krát Y}$ Každá uzavřená sada cs je nižší uzavřená cs a každá nižší uzavřená sada cs je nižší, ideálně konvexní a konvexní (konverzace nejsou obecně pravdivé).
• ideálně konvexní pokud existuje konvergentní řada b s prvky S má svůj součet v S.
• nižší ideálně konvexní nebo konvexní pokud existuje Fréchetový prostor Y takhle S se rovná projekci na X (prostřednictvím kanonické projekce) nějaké ideálně konvexní podmnožiny B z ${ displaystyle X krát Y}$. Každá ideálně konvexní sada je nižší, ideálně konvexní. Každá nižší ideálně konvexní množina je konvexní, ale obrácení obecně není pravdivé.
• cs-kompletní pokud existuje nějaká Cauchyova konvexní řada s prvky S je konvergentní a jeho součet je v S.
• bcs-kompletní pokud existuje Cauchyova b-konvexní řada s prvky S je konvergentní a jeho součet je v S.

The prázdná sada je konvexní, ideálně konvexní, bcs-úplné, cs-úplné a cs-uzavřené.

Podmínky (Hx) a (Hwx)

Li X a Y jsou topologické vektorové prostory, A je podmnožinou ${ displaystyle X krát Y}$, a X je prvek X pak A prý uspokojuje:

• Stav (HX): Kdykoli ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$ je konvexní série s prvky A takhle ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} y_ {i}}$ je konvergentní v Y se součtem y a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je tedy Cauchy ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je konvergentní v X a jeho součet X je takový ${ displaystyle (x, y) v A.}$
• Stav (HwX): Kdykoli ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} (x_ {i}, y_ {i})}$ je b-konvexní série s prvky A takhle ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} y_ {i}}$ je konvergentní v Y se součtem y a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je tedy Cauchy ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je konvergentní v X a jeho součet X je takový ${ displaystyle (x, y) v A.}$
  • Pokud je X lokálně konvexní, pak prohlášení „a ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} r_ {i} x_ {i}}$ je Cauchy "může být odstraněn z definice podmínky (HwX).

Multifunkce

Používá se následující notace a pojmy, kde ${ displaystyle { mathcal {R}}: X pravé šipky Y}$ a ${ displaystyle { mathcal {S}}: Y rightrightarrows Z}$ jsou multifunkční a ${ displaystyle S subseteq X}$ je neprázdná podmnožina a topologický vektorový prostor X:

• The graf ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je ${ displaystyle operatorname {gr} { mathcal {R}}: = left {(x, y) v X krát Y: y in { mathcal {R}} (x) right } .}$
• ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je Zavřeno (respektive cs zavřeno, dolní cs zavřeno, konvexní, ideálně konvexní, nižší ideálně konvexní, cs-kompletní, bcs-kompletní) pokud totéž platí o grafu ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ v ${ displaystyle X krát Y.}$
  • Všimněte si, že ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je konvexní právě tehdy, když pro všechny ${ displaystyle x_ {0}, x_ {1} v X}$ a všechno ${ displaystyle r v [0,1]}$, ${ displaystyle r { mathcal {R}} vlevo (x_ {0} vpravo) + (1-r) { mathcal {R}} vlevo (x_ {1} vpravo) subseteq { mathcal { R}} left (rx_ {0} + (1-r) x_ {1} right).}$
• The inverzní k ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je multifunkční zařízení ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1}: Y rightrightarrows X}$ definován ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1} (y): = vlevo {x v X: y v { mathcal {R}} (x) vpravo }}$. Pro jakoukoli podmnožinu ${ displaystyle B subseteq Y}$, ${ displaystyle { mathcal {R}} ^ {- 1} (B): = cup _ {y v B} { mathcal {R}} ^ {- 1} (y).}$
• The doména ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je ${ displaystyle operatorname {Dom} { mathcal {R}}: = left {x v X: { mathcal {R}} (x) neq emptyset right }.}$
• The obrázek uživatele ${ displaystyle { mathcal {R}}}$ je ${ displaystyle operatorname {Im} { mathcal {R}}: = cup _ {x v X} { mathcal {R}} (x)}$. Pro jakoukoli podmnožinu ${ displaystyle A subseteq X}$, ${ displaystyle { mathcal {R}} (A): = cup _ {x in A} { mathcal {R}} (x).}$
• Kompozice ${ displaystyle { mathcal {S}} circ { mathcal {R}}: X rightrightarrows Z}$ je definováno ${ displaystyle left ({ mathcal {S}} circ { mathcal {R}} right) (x): = cup _ {y in { mathcal {R}} (x)} { mathcal {S}} (y)}$ pro každého ${ displaystyle x v X.}$

Vztahy

Nechat X,Y, a Z být topologické vektorové prostory, ${ displaystyle S subseteq X}$, ${ displaystyle T subseteq Y}$, a ${ displaystyle A subseteq X krát Y.}$ Následující důsledky platí:

kompletní ${ displaystyle naznačuje}$ cs-kompletní ${ displaystyle naznačuje}$ cs zavřeno ${ displaystyle naznačuje}$ dolní uzavřené CS (uzavřené LCS) a ideálně konvexní.

dolní uzavřené CS (uzavřené LCS) nebo ideálně konvexní ${ displaystyle naznačuje}$ nižší ideálně konvexní (li-konvexní) ${ displaystyle naznačuje}$ konvexní.

(HX) ${ displaystyle naznačuje}$ (HwX) ${ displaystyle naznačuje}$ konvexní.

Obrácené důsledky obecně neplatí.

Li X je tedy kompletní,

1. S je cs-kompletní (resp. bcs-kompletní) právě tehdy S je uzavřeno cs (resp. ideálně konvexní).
2. A uspokojuje (HX) právě tehdy A je uzavřen cs.
3. A vyhovuje (HwX) právě tehdy A je ideálně konvexní.

Li Y je tedy kompletní,

1. A uspokojuje (HX) právě tehdy A je cs-kompletní.
2. A vyhovuje (HwX) právě tehdy A je bcs-kompletní.
3. Li ${ displaystyle B subseteq X krát Y krát Z}$ a ${ displaystyle y v Y}$ pak:
   1. B uspokojuje (H(x, y)) právě tehdy B uspokojuje (HX).
   2. B vyhovuje (Hw(x, y)) právě tehdy B vyhovuje (HwX).

Li X je lokálně konvexní a ${ displaystyle operatorname {Pr} _ {X} (A)}$ je tedy omezený,

1. Li A uspokojuje (HX) pak ${ displaystyle operatorname {Pr} _ {X} (A)}$ je uzavřen cs.
2. Li A vyhovuje (HwX) pak ${ displaystyle operatorname {Pr} _ {X} (A)}$ je ideálně konvexní.

Zachované vlastnosti

Nechat ${ displaystyle X_ {0}}$ být lineárním podprostorem X. Nechat ${ displaystyle { mathcal {R}}: X pravé šipky Y}$ a ${ displaystyle { mathcal {S}}: Y rightrightarrows Z}$ být multifunkční.

• Li S je podmnožina uzavřené CS (resp. ideálně konvexní) X pak ${ displaystyle X_ {0} čepice S}$ je také podmnožinou uzavřené CS (resp. ideálně konvexní) ${ displaystyle X_ {0}.}$
• Li X je nejprve spočítatelné ${ displaystyle X_ {0}}$ je cs-closed (resp. cs-complete) právě tehdy ${ displaystyle X_ {0}}$ je zavřený (resp. úplný); navíc, pokud X je lokálně konvexní ${ displaystyle X_ {0}}$ je uzavřen právě tehdy ${ displaystyle X_ {0}}$ je ideálně konvexní.
• ${ displaystyle S krát T}$ je uzavřeno cs (resp. cs-úplné, ideálně konvexní, bcs-úplné) v ${ displaystyle X krát Y}$ právě tehdy, když to samé platí pro oba S v X a ze dne T v Y.
• Vlastnosti bytí cs-closed, nižší cs-closed, ideálně konvexní, nižší ideálně konvexní, cs-complete a bcs-complete jsou zachovány pod izomorfismy topologických vektorových prostorů.
• Průsečík libovolně mnoha cs uzavřených (resp. Ideálně konvexních) podmnožin X má stejnou vlastnost.
• The kartézský součin cs-closed (resp. ideálně konvexní) podmnožin libovolně mnoha topologických vektorových prostorů má stejnou vlastnost (v produktovém prostoru vybaveném topologie produktu ).
• Průnik spočítatelně mnoha nižších ideálně konvexních (resp. Nižších uzavřených cs) podmnožin X má stejnou vlastnost.
• The kartézský součin nižších ideálně konvexních (resp. nižších uzavřených cs) podmnožin spočetně mnoha topologických vektorových prostorů má stejnou vlastnost (v produktovém prostoru vybaveném topologie produktu ).
• Předpokládat X je Fréchetový prostor a A a B jsou podmnožiny. Li A a B jsou nižší, ideálně konvexní (resp. nižší cs-uzavřené), pak také jsou A + B.
• Předpokládat X je Fréchetový prostor a A je podmnožinou X. Li A a ${ displaystyle { mathcal {R}}: X pravé šipky Y}$ jsou nižší, ideálně konvexní (resp. nižší cs-uzavřené), pak také jsou ${ displaystyle { mathcal {R}} (A).}$
• Předpokládat Y je Fréchetový prostor a ${ displaystyle { mathcal {R}} _ {2}: X rightrightarrows Y}$ je multifunkční zařízení. Li ${ displaystyle { mathcal {R}}, { mathcal {R}} _ {2}, { mathcal {S}}}$ jsou všechny nižší, ideálně konvexní (resp. nižší cs-uzavřené), pak také jsou ${ displaystyle { mathcal {R}} + { mathcal {R}} _ {2}: X rightrightarrows Y}$ a ${ displaystyle { mathcal {S}} circ { mathcal {R}}: X rightrightarrows Z.}$

Vlastnosti

Li S být neprázdnou konvexní podmnožinou topologického vektorového prostoru X pak,

1. Li S je zavřený nebo otevřený S je uzavřen cs.
2. Li X je Hausdorff a konečně dimenzionální S je uzavřen cs.
3. Li X je nejprve spočítatelné a S je v ideálním případě konvexní ${ displaystyle operatorname {int} S = operatorname {int} left ( operatorname {cl} S right).}$

Nechat X být Fréchetový prostor, Y být topologickým vektorovým prostorem, ${ displaystyle A subseteq X krát Y}$, a ${ displaystyle operatorname {Pr} _ {Y}: X krát Y až Y}$ být kanonickou projekcí. Li A je nižší, ideálně konvexní (resp. nižší cs-uzavřeno), pak totéž platí ${ displaystyle operatorname {Pr} _ {Y} (A).}$

Li X je sudový nejprve spočítatelné prostor a pokud ${ displaystyle C subseteq X}$ pak:

1. Li C je pak nižší, ideálně konvexní ${ displaystyle C ^ {i} = operatorname {int} C}$, kde ${ displaystyle C ^ {i}: = operatorname {aint} _ {X} C}$ označuje algebraický interiér z C v X.
2. Li C je v ideálním případě konvexní ${ displaystyle C ^ {i} = operatorname {int} C = operatorname {int} left ( operatorname {cl} C right) = left ( operatorname {cl} C right) ^ {i} .}$

Viz také

• Ursescuova věta

Poznámky

Reference

• Zalinescu, C (2002). Konvexní analýza v obecných vektorových prostorech. River Edge, NJ London: World Scientific. ISBN  981-238-067-1. OCLC  285163112.CS1 maint: ref = harv (odkaz)
• Baggs, Ivan (1974). "Funkce s uzavřeným grafem". Proceedings of the American Mathematical Society. 43 (2): 439–442. doi:10.1090 / S0002-9939-1974-0334132-8. ISSN  0002-9939.