Polynomiálně reflexivní prostor - Polynomially reflexive space

v matematika, a polynomiálně reflexivní prostor je Banachův prostor X, na kterém je prostor všech polynomů v každém stupni a reflexní prostor.

Vzhledem k tomu, multilineární funkční M_n stupně n (to znamená, M_n je n-lineární), můžeme definovat polynom str tak jako

${ displaystyle p (x) = M_ {n} (x, tečky, x)}$

(to znamená použití M_n na úhlopříčka ) nebo jakýkoli jejich konečný součet. Kdyby jen n-lineární funkcionály jsou v součtu, o polynomu se říká, že je n-homogenní.

Definujeme prostor P_n jako sestávající ze všech n-homogenní polynomy.

The P₁ je totožný s dvojí prostor, a je tedy reflexivní pro všechny reflexivní X. To znamená, že reflexivita je předpokladem polynomiální reflexivity.

Vztah ke kontinuitě forem

Na konečně-dimenzionálním lineárním prostoru, a kvadratická forma X↦F(X) je vždy (konečná) lineární kombinace produktů X↦G(X) h(X) ze dvou lineární funkcionály G a h. Proto za předpokladu, že skaláry jsou komplexní čísla, každá posloupnost X_n uspokojující G(X_n) → 0 pro všechny lineární funkcionály G, také vyhovuje F(X_n) → 0 pro všechny kvadratické tvary F.

V nekonečné dimenzi je situace jiná. Například v a Hilbertův prostor, an ortonormální sekvence X_n splňuje G(X_n) → 0 pro všechny lineární funkcionály G, a přesto F(X_n) = 1 kde F je kvadratická forma F(X) = ||X||². Techničtěji řečeno, tato kvadratická forma nemusí být slabě postupně kontinuální na počátku.

Na reflexní Banachův prostor s aproximační vlastnost následující dvě podmínky jsou rovnocenné:^[1]

• každá kvadratická forma je v počátku slabě sekvenčně spojitá;
• Banachův prostor všech kvadratických forem je reflexivní.

Kvadratické formy jsou 2-homogenní polynomy. Rovnocennost uvedená výše platí také pro n-homogenní polynomy, n=3,4,...

Příklady

Pro ${ displaystyle ell ^ {p}}$ mezery, P_n je reflexivní právě tehdy n < str. Tedy ne ${ displaystyle ell ^ {p}}$ je polynomiálně reflexivní. (${ displaystyle ell ^ { infty}}$ je vyloučeno, protože není reflexní.)

Pokud tedy Banachův prostor připouští ${ displaystyle ell ^ {p}}$ jako kvocientový prostor, není polynomiálně reflexivní. Díky tomu jsou polynomiálně reflexivní prostory vzácné.

The Tsirelsonův prostor T* je polynomiálně reflexivní.^[2]

Poznámky

Reference

• Alencar, R., Aron, R. a S. Dineen (1984), „Reflexivní prostor holomorfních funkcí v nekonečně mnoha proměnných“, Proc. Amer. Matematika. Soc. 90: 407–411.
• Farmer, Jeff D. (1994), „Polynomiální reflexivita v Banachových prostorech“, Israel Journal of Mathematics 87: 257–273. PAN1286830
• Jaramillo, J. a Moraes, L. (2000), „Dualily and reflexivity in spaces of polynomials“, Oblouk. Matematika. (Basilej) 74: 282–293. PAN1742640
• Mujica, Jorge (2001), „Reflexní prostory homogenních polynomů“, Býk. Polský akadem. Sci. Matematika. 49:3, 211–222. PAN1863260