Věta Anderson – Kadec - Anderson–Kadec theorem

v matematika v oblastech topologie a funkční analýza, Věta Anderson – Kadec státy^[1] že nějaké dva nekonečně-dimenzionální, oddělitelný Banachovy prostory, nebo, obecněji, Fréchetové prostory, jsou homeomorfní jako topologické prostory. Věta byla prokázána Michail Kadets (1966) a Richard Davis Anderson.

Prohlášení

Každý nekonečně dimenzionální, oddělitelný Fréchetův prostor je homeomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$, kartézský součin z nespočetně mnoho kopie skutečné linie ${ displaystyle mathbb {R}}$.

Předkola

Kadecská norma: Norma ${ displaystyle | cdot |}$ na normovaném lineárním prostoru ${ displaystyle X}$ se nazývá a Kadecská norma s ohledem na a celková podmnožina ${ displaystyle A podmnožina X ^ {*}}$ duálního prostoru ${ displaystyle X ^ {*}}$ pokud pro každou sekvenci ${ displaystyle x_ {n} v X}$ je splněna následující podmínka:

• Li ${ displaystyle lim _ {n to infty} x ^ {*} (x_ {n}) = x ^ {*} (x_ {0})}$ pro ${ displaystyle x ^ {*} v A}$ a ${ displaystyle lim _ {n až infty} | x_ {n} | = | x_ {0} |}$, pak ${ displaystyle lim _ {n to infty} | x_ {n} -x_ {0} | = 0}$.

Eidelheit teorém: Fréchetový prostor ${ displaystyle E}$ je buď izomorfní s Banachovým prostorem, nebo má kvocientový prostor izomorfní s ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$.

Kadecova věta o obnově: Každý oddělitelný Banachův prostor ${ displaystyle X}$ připouští normu Kadec s ohledem na spočetnou celkovou podmnožinu ${ displaystyle A podmnožina X ^ {*}}$ z ${ displaystyle X ^ {*}}$. Nová norma je ekvivalentní původní normě ${ displaystyle | cdot |}$ z ${ displaystyle X}$. Sada ${ displaystyle A}$ lze považovat za libovolnou spočítatelnou podmnožinu slabé hvězdy jednotkové koule ${ displaystyle X ^ {*}}$

Náčrt důkazu

V argumentu níže ${ displaystyle E}$ označuje nekonečně-dimenzionální oddělitelný Fréchetův prostor a ${ displaystyle simeq}$ vztah topologické ekvivalence (existence homeomorfismu).

Výchozím bodem důkazu věty Anderson – Kadec je Kadcův důkaz, že jakýkoli nekonečně dimenzionální oddělitelný Banachův prostor je homeomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$.

Z Eidelheitovy věty stačí vzít v úvahu Fréchetův prostor, který není izomorfní s Banachovým prostorem. V takovém případě mají kvocient, který je izomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$. To dokazuje výsledek Bartle-Graves-Michael

${ displaystyle E simeq Y times mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$

pro nějaký Fréchetův prostor ${ displaystyle Y}$.

Na druhou stranu, ${ displaystyle E}$ je uzavřený podprostor spočetného nekonečného produktu oddělitelných Banachových prostorů ${ displaystyle X = prod _ {n = 1} ^ { infty} X_ {i}}$ oddělitelných Banachových prostorů. Stejný výsledek, jaký uplatnil Bartle-Graves-Michael ${ displaystyle X}$ dává homeomorfismus

${ displaystyle X simeq E krát Z}$

pro nějaký Fréchetův prostor ${ displaystyle Z}$. Z výsledku Kadce spočítatelný produkt nekonečně dimenzionálních oddělitelných Banachových prostorů ${ displaystyle X}$ je homeomorfní ${ displaystyle mathbb {R} ^ { mathbb {N}}}$.

Důkaz věty Anderson – Kadec se skládá ze sledu rovnocennosti

${ displaystyle { begin {zarovnáno} mathbb {R} ^ { mathbb {N}} & simeq (E times Z) ^ { mathbb {N}} & simeq E ^ { mathbb { N}} krát Z ^ { mathbb {N}} & simeq E krát E ^ { mathbb {N}} krát Z ^ { mathbb {N}} & simeq E krát mathbb {R} ^ { mathbb {N}} & simeq Y times mathbb {R} ^ { mathbb {N}} times mathbb {R} ^ { mathbb {N}} & simeq Y times mathbb {R} ^ { mathbb {N}} & simeq E end {zarovnáno}}}$

Poznámky

Reference

• Bessaga, C .; Pełczyński, A. (1975), Vybraná témata v nekonečně dimenzionální topologii, Monografie Matematyczne, Warszawa: PWN.
• Torunczyk, H. (1981), Charakterizující Hilbertovu topologii prostoru, Fundamenta Mathematicae, s. 247–262.