Calculus on Manifolds (kniha) - Calculus on Manifolds (book)

Kalkul na rozdělovačích potrubích
	První vydání
Autor	Michael Spivak
Země	Spojené státy
Jazyk	Angličtina
Předmět	Matematika
Vydavatel	Benjamin Cummings
Datum publikace	1965
Stránky	146
ISBN	0-8053-9021-9
OCLC	607457141

Calculus on Manifolds: a Modern Approach to Classical Theorems of Advanced Calculus (1965) Michael Spivak je krátká, přísná a moderní učebnice více proměnných kalkulů, diferenciálních forem a integrace na rozmanitých trzích pro pokročilé vysokoškoláky.

Popis

Kalkul na rozdělovačích potrubích je krátká monografie o teorie vektorových funkcí několik skutečných proměnných (F : Rⁿ→ R.^m) a diferencovatelné potrubí v euklidovském prostoru. Kromě rozšíření konceptů diferenciace (včetně inverzní a věty o implicitní funkci ) a Riemannova integrace (počítaje v to Fubiniho věta ) k funkcím několika proměnných kniha pojednává o klasických větách vektorového počtu, včetně těch z Cauchy – zelená, Ostrogradsky – Gauss (divergenční věta), a Kelvin – Stokes v jazyce diferenciální formy na diferencovatelné potrubí vloženo do Euklidovský prostor, a jako důsledky z zobecněná Stokesova věta na rozdělovače s hranicí. Kniha vrcholí výrokem a důkazem této rozsáhlé a abstraktní moderní generalizace několika klasických výsledků:^[A]

Stokesova věta pro sběrná potrubí s hranicí. — Li ${ displaystyle M}$ je kompaktní ${ displaystyle k}$ -dimenzionální potrubí s hranicí, ${ displaystyle částečné M}$ je hranice vzhledem k indukované orientaci a ${ displaystyle omega}$ je ( ${ displaystyle k-1}$ )-formovat dál ${ displaystyle M}$ , pak ${ displaystyle int _ {M} d omega = int _ { částečné M} omega}$ .

Obálka Kalkul na rozdělovačích potrubích obsahuje úryvky dopisu z 2. července 1850 z Lord Kelvin pane George Stokes obsahující první zveřejnění klasické Stokesovy věty (tj Kelvin – Stokesova věta ).^[1]

Recepce

Kalkul na rozdělovačích potrubích si klade za cíl představit témata více proměnných a vektorový počet způsobem, jakým je vidí moderní pracující matematik, přesto jednoduše a selektivně natolik, aby jim rozuměli vysokoškolští studenti, jejichž předchozí kurz matematiky zahrnuje pouze jeden proměnný počet a úvodní lineární algebru. Zatímco Spivakovo základní zacházení s moderními matematickými nástroji je obecně úspěšné - a tento přístup učinil Kalkul na rozdělovačích potrubích standardní úvod do přísné teorie více proměnných kalkulů - text je také dobře známý pro svůj lakonický styl, nedostatek motivujících příkladů a časté vynechávání nejasných kroků a argumentů.^[2]^[3] Například za účelem vyjádření a prokázání zobecněné Stokesovy věty o řetězcích je spousta neznámých konceptů a konstrukcí (např. tenzorové výrobky, diferenciální formy, tečné mezery, odvolání, vnější deriváty, kostka a řetězy ) jsou zavedeny v rychlém sledu za sebou na 25 stránkách. Pečliví čtenáři si navíc v celém textu všimli řady netriviálních přehledů, včetně chybějících hypotéz ve větách, nepřesně uvedených vět a důkazů, které nezvládají všechny případy.^[4]^[5]^[6]

Ostatní učebnice

Novější učebnicí, která se rovněž věnuje těmto tématům na vysokoškolské úrovni, je text Analýza na rozdělovačích potrubích podle James Munkres (366 stran).^[7] Při více než dvojnásobné délce Kalkul na rozdělovačích potrubích„Munkresova práce představuje pečlivější a podrobnější zpracování učiva v klidném tempu. Munkres nicméně uznává vliv Spivakova dřívějšího textu v předmluvě Analýza na rozdělovačích potrubích.^[8]

Spivakova pětidílná učebnice Komplexní úvod do diferenciální geometrie ve své předmluvě uvádí, že Kalkul na rozdělovačích potrubích slouží jako předpoklad pro kurz založený na tomto textu. Ve skutečnosti několik konceptů zavedených v Kalkul na rozdělovačích potrubích znovu se objeví v prvním svazku této klasické práce ve složitějších nastaveních.^[9]

Viz také

Poznámky pod čarou

Poznámky

^ Formalizmy diferenciálních forem a vnější počet používané v Kalkul na rozdělovačích potrubích byly poprvé formulovány Élie Cartan. Pomocí tohoto jazyka Cartan uvedl zobecněnou Stokesovu větu v její moderní podobě a publikoval jednoduchý, elegantní vzorec, který je zde uveden v roce 1945. Pro podrobnou diskusi o tom, jak se Stokesova věta historicky vyvinula. Vidět Katz (1979 146-156).

Citace

^ Spivak (2018, str. viii)
^ Gouvêa, Fernando Q. (2007-06-15). "Kalkul na rozdělovačích potrubích: moderní přístup k klasickým větám pokročilého počtu | Matematická asociace Ameriky". www.maa.org. Citováno 2017-04-09.
^ Munkres (1968)
^ Lebl, Jiří. "Spivak - počet na rozdělovačích potrubích - komentáře a chyby".
^ Axolotl, Petra. „Calculus on Manifolds Errata“. Archivovány od originál dne 2017-01-10.
^ koletenbert (02.10.2012). „Chyba ve výpisu Thm. 2-13 v kalkulu na rozdělovačích“.
^ Munkres (1991)
^ Munkres (1991, str. vii)
^ Spivak (1999)

Reference

Auslander, Louis (1967), „Přehled počtu na varietách - moderní přístup ke klasickým větám pokročilého počtu“, Quarterly of Applied Mathematics, 24 (4): 388–389
Botts, Truman (1966), „Recenzované dílo: Kalkul na potrubí od Michaela Spivaka“, Věda, 153 (3732): 164–165, doi:10.1126 / science.153.3732.164-a
Hubbard, John H.; Hubbard, Barbara Burke (2009) [1998], Vektorový počet, lineární algebra a diferenciální formy: jednotný přístup (4. vydání), Upper Saddle River, N.J .: Prentice Hall (4. vydání Matrix Editions (Ithaca, NY)), ISBN 978-0-9715766-5-0 [Elementární přístup k diferenciálním formám s důrazem na konkrétní příklady a výpočty]
Katz, Victor J. (1979), "The History of Stokes 'Theorem", Matematický časopis, Mathematical Association of America, 52 (3): 146–156, doi:10.2307/2690275
Loomis, Lynn Harold; Sternberg, Shlomo (2014) [1968], Pokročilý počet (Revised ed.), Reading, Mass .: Addison-Wesley (revidované vydání Jonesa a Bartletta (Boston); dotisk World Scientific (Hackensack, NJ)), str. 305–567, ISBN 978-981-4583-93-0 [Obecné pojetí diferenciálních forem, diferencovatelných variet a vybraných aplikací matematické fyziky pro pokročilé vysokoškoláky]
Munkres, James (1968), „Review of Calculus on Manifolds“, Americký matematický měsíčník, 75 (5): 567–568, doi:10.2307/2314769, JSTOR 2314769
Munkres, James (1991), Analýza na rozdělovačích potrubích Redwood City, Kalifornie: Addison-Wesley (dotisk Westview Press (Boulder, Colo.)), ISBN 978-0-201-31596-7 [Vysokoškolské zpracování více proměnných a vektorového počtu s pokrytím podobným Kalkul na rozdělovačích potrubíchs podrobnějšími matematickými nápady a důkazy]
Nickerson, Helen K .; Spencer, Donald C.; Steenrod, Norman E. (1959), Pokročilý počet Princeton, NJ: Van Nostrand, ISBN 978-0-486-48090-9 [Jednotné zpracování lineární a multilineární algebry, vícerozměrného počtu, diferenciálních forem a úvodní algebraické topologie pro pokročilé vysokoškoláky]
Rudin, Walter (1976) [1953], Principy matematické analýzy (3. vyd.), New York: McGraw Hill, str. 204–299, ISBN 978-0-07-054235-8 [Neortodoxní, i když důsledný přístup k diferenciálním formám, který se vyhýbá mnoha obvyklým algebraickým konstrukcím]
Spivak, Michael (2018) [1965], Matematika na potrubí: Moderní přístup k klasickým větám pokročilého počtu (Matematická monografická řada), New York: W. A. Benjamin, Inc. (dotisk Addison-Wesley (Reading, Mass.) A Westview Press (Boulder, Colo.)), ISBN 978-0-8053-9021-6 [Stručné, důkladné a moderní zpracování více proměnných kalkulů, diferenciálních forem a integrace na rozmanitých tratích pro pokročilé vysokoškoláky]
Spivak, Michael (1999) [1970], Komplexní úvod do diferenciální geometrie, sv. 1 (3. vyd.), Houston, Tex .: Publish nebo Perish, Inc., ISBN 978-0-9140-9870-6 [Důkladný popis diferencovatelných potrubí na úrovni absolventa; obsahuje propracovanější rámování a rozšíření kapitol 4 a 5 z Calculus on Manifolds]
Tu, Loring W. (2011) [2008], Úvod do rozdělovačů (2. vyd.), New York: Springer, ISBN 978-1-4419-7399-3 [Standardní zpracování teorie hladkých potrubí na úrovni absolventů 1. ročníku]

[1] Formalizmy diferenciálních forem a vnější počet používané v Kalkul na rozdělovačích potrubích byly poprvé formulovány Élie Cartan. Pomocí tohoto jazyka Cartan uvedl zobecněnou Stokesovu větu v její moderní podobě a publikoval jednoduchý, elegantní vzorec, který je zde uveden v roce 1945. Pro podrobnou diskusi o tom, jak se Stokesova věta historicky vyvinula. Vidět Katz (1979 146-156).

[2] Spivak (2018, str. viii)

[3] Gouvêa, Fernando Q. (2007-06-15). "Kalkul na rozdělovačích potrubích: moderní přístup k klasickým větám pokročilého počtu | Matematická asociace Ameriky". www.maa.org. Citováno 2017-04-09.

[4] Munkres (1968)

[5] Lebl, Jiří. "Spivak - počet na rozdělovačích potrubích - komentáře a chyby".

[6] Axolotl, Petra. „Calculus on Manifolds Errata“. Archivovány od originál dne 2017-01-10.

[7] tenbert (02.10.2012). „Chyba ve výpisu Thm. 2-13 v kalkulu na rozdělovačích“.

[8] Munkres (1991)

[9] Munkres (1991, str. vii)

[10] Spivak (1999)

[A]

[1]

[2]

[3]

[4]

[5]

[6]

[7]

[8]

[9]