Stokesův zákon - Stokes law - Wikipedia

V roce 1851 George Gabriel Stokes odvozený výraz, nyní známý jako Stokesův zákon, pro třecí sílu - také nazývanou tažná síla - vyvíjeno dne sférický objekty s velmi malými Reynoldsova čísla v viskózní tekutina.^[1] Stokesův zákon je odvozen řešením Stokesův tok limit pro malý počet Reynoldsových čísel Navier-Stokesovy rovnice.^[2]

Prohlášení zákona

Síla viskozity na malé kouli pohybující se viskózní tekutinou je dána vztahem:^[3]

${ displaystyle F_ {d} = 6 pi , mu , R , v ,}$

kde:

• F_d je třecí síla - známá jako Stokesův tah - působící na rozhraní mezi kapalinou a částicemi
• μ je dynamika viskozita (někteří autoři používají tento symbol η)
• R je poloměr sférického objektu
• proti je rychlost proudění vzhledem k objektu.

v SI jednotky, F_d je uveden v newtonů (= kg m s⁻²), μ v Pa · S (= kg m⁻¹ s⁻¹), R v metrech a proti v m / s.

Stokesův zákon stanoví následující předpoklady pro chování částice v kapalině:

• Laminární proudění
• Sférické částice
• Homogenní (jednotné složení) materiálu
• Hladké povrchy
• Částice se navzájem neruší.

Pro molekuly K jejich definici se používá Stokesův zákon Stokesův poloměr a průměr.

The CGS jednotka kinematické viskozity byla po jeho práci pojmenována „stokes“.

Aplikace

Stokesův zákon je základem padající sféry viskozimetr, ve kterém je kapalina stacionární ve svislé skleněné trubici. Kapalinou se nechá sestoupit koule známé velikosti a hustoty. Je-li správně zvoleno, dosáhne koncové rychlosti, kterou lze změřit v době, kdy je potřeba projít dvěma značkami na trubici. Pro neprůhledné kapaliny lze použít elektronické snímání. Známe-li koncovou rychlost, velikost a hustotu koule a hustotu kapaliny, lze Stokesův zákon použít k výpočtu viskozita tekutiny. Pro zlepšení přesnosti výpočtu se v klasickém experimentu obvykle používá řada ocelových kuličkových ložisek různých průměrů. Školní experiment používá glycerol nebo Zlatý syrup jako kapalina a tato technika se průmyslově používá ke kontrole viskozity kapalin používaných v procesech. Několik školních experimentů často zahrnuje změnu teploty a / nebo koncentrace použitých látek, aby se prokázaly účinky, které to má na viskozitu. Průmyslové metody zahrnují mnoho různých oleje, a polymer kapaliny, jako jsou roztoky.

Důležitost Stokesova práva dokládá skutečnost, že hrála kritickou roli ve výzkumu vedoucím k nejméně třem Nobelovým cenám.^[4]

Stokesův zákon je důležitý pro pochopení plavání mikroorganismy a spermie; také sedimentace malých částic a organismů ve vodě působením gravitační síly.^[5]

Ve vzduchu lze stejnou teorii použít k vysvětlení, proč malé kapičky vody (nebo ledové krystaly) mohou zůstat suspendovány ve vzduchu (jako mraky), dokud nevyrostou do kritické velikosti a nezačne padat jako déšť (nebo sníh a kroupy).^[6] Podobné použití rovnice lze použít při usazování jemných částic ve vodě nebo jiných tekutinách.^{[Citace je zapotřebí ]}

Konečná rychlost koule dopadající v kapalině

Plíživý tok kolem padající koule v kapalině (např. Kapka mlhy padající vzduchem): zefektivňuje, tažná síla F_d a síla gravitací F_G.

Na koncová (nebo usazovací) rychlost, nadměrná síla F_G kvůli rozdílu mezi hmotnost a vztlak koule (oboje způsobeno gravitace^[7]) darováno:

${ displaystyle F_ {g} = left ( rho _ {p} - rho _ {f} right) , g , { frac {4} {3}} pi , R ^ {3 },}$

s ρ_p a ρ_F the hmotnostní hustoty koule, respektive tekutiny, a G the gravitační zrychlení. Vyžadující silovou rovnováhu F_d = F_G a řešení pro rychlost proti udává konečnou rychlost proti_s. Všimněte si, že protože nadměrná síla se zvyšuje jako R³ a Stokesův odpor se zvyšuje s R, se konečná rychlost zvyšuje s R² a tak se velmi liší podle velikosti částic, jak je uvedeno níže. Pokud částice zažívá při pádu ve viskózní tekutině pouze svoji vlastní váhu, dosáhne se konečné rychlosti, když je součet třecího a vztlakové síly na částice v důsledku kapaliny přesně vyvažuje gravitační síla. Tato rychlost proti (m / s) je dána vztahem:^[7]

${ displaystyle v = { frac {2} {9}} { frac { vlevo ( rho _ {p} - rho _ {f} vpravo)} { mu}} g , R ^ { 2}}$

(svisle dolů, pokud ρ_p > ρ_F, nahoru, pokud ρ_p < ρ_F ), kde:

• G je síla gravitačního pole (m / s²)
• R je poloměr sférické částice (m)
• ρ_p je hmotnostní hustota částic (kg / m³)
• ρ_F je hmotnostní hustota kapaliny (kg / m³)
• μ je dynamická viskozita (kg / (m * s)).

Derivace

Stabilní Stokesův tok

v Stokesův tok, na velmi nízké úrovni Reynoldsovo číslo, konvekční zrychlení podmínky v Navier-Stokesovy rovnice jsou zanedbávané. Pak se rovnice toku stanou pro nestlačitelný stálý tok:^[8]

${ displaystyle { begin {aligned} & nabla p = mu , nabla ^ {2} mathbf {u} = - mu , nabla times mathbf { boldsymbol { omega}}, & nabla cdot mathbf {u} = 0, end {zarovnáno}}}$

kde:

• p je tlak kapaliny (v Pa),
• u je rychlost proudění (vm / s) a
• ω je vířivost (v s⁻¹), definováno jako ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} = nabla times mathbf {u}.}$

Pomocí některých vektorové identity kalkulu, výsledkem těchto rovnic může být Laplaceovy rovnice pro tlak a každou ze složek vektoru vorticity:^[8]

${ displaystyle nabla ^ {2} { boldsymbol { omega}} = 0}$ a ${ displaystyle nabla ^ {2} p = 0.}$

Další síly, jako jsou gravitační a vztlakové síly, nebyly vzaty v úvahu, ale lze je snadno přidat, protože výše uvedené rovnice jsou lineární, takže lineární superpozice lze použít řešení a přidružené síly.

Příčný tok kolem koule

Usměrnění plíživého toku kolem koule v tekutině. Isocontours z ψ funkce (hodnoty v obrysových štítcích).

Pro případ koule v uniformě vzdálené pole toku, je výhodné použít a válcový souřadnicový systém ( r , φ,z ). The z–Osa je středem koule a zarovnána se středním směrem toku, zatímco r je poloměr měřený kolmo k z-osa. The původ je ve středu koule. Protože tok je osově souměrné okolo z–Osi, je nezávislá na azimut φ.

V tomto válcovém souřadnicovém systému lze nestlačitelný tok popsat pomocí a Funkce Stokesova proudu ψ, záleží na r a z:^[9][10]

${ displaystyle u_ {z} = { frac {1} {r}} { frac { částečný psi} { částečný r}}, qquad u_ {r} = - { frac {1} {r }} { frac { částečné psi} { částečné z}},}$

s u_r a u_z složky rychlosti proudění v r a z směru. Azimutální složka rychlosti v φ–Směr se rovná nule, v tomto osově symetrickém případě. Objemový tok trubicí ohraničenou povrchem určité konstantní hodnoty ψ, je rovný 2π ψ a je konstantní.^[9]

V tomto případě osově symetrického toku je jedinou nenulovou složkou vektoru vorticity ω je azimutální φ-součástka ω_φ^[11][12]

${ displaystyle omega _ { varphi} = { frac { částečné u_ {r}} { částečné z}} - { frac { částečné u_ {z}} { částečné r}} = - { frac { částečné} { částečné r}} levé ({ frac {1} {r}} { frac { částečné psi} { částečné r}} pravé) - { frac {1} { r}} , { frac { částečné ^ {2} psi} { částečné z ^ {2}}}.}$

The Operátor Laplace, aplikováno na vířivost ω_φ, stane se v tomto válcovém souřadnicovém systému s osovou symetrií:^[12]

${ displaystyle nabla ^ {2} omega _ { varphi} = { frac {1} {r}} { frac { částečné} { částečné r}} vlevo (r , { frac { částečné omega _ { varphi}} { částečné r}} pravé) + { frac { částečné ^ {2} omega _ { varphi}} { částečné z ^ {2}}} - { frac { omega _ { varphi}} {r ^ {2}}} = 0.}$

Z předchozích dvou rovnic as příslušnými okrajovými podmínkami pro rychlost rovnoměrného proudění vzdáleného pole u v z–Směr a koule o poloměru R, bylo zjištěno, že řešení je^[13]

${ displaystyle psi (r, z) = - { frac {1} {2}} , u , r ^ {2} , doleva [1 - { frac {3} {2}} { frac {R} { sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}} + { frac {1} {2}} vlevo ({ frac {R} { sqrt {r ^ { 2} + z ^ {2}}}} vpravo) ^ {3} ; vpravo].}$

Řešení rychlosti v válcové souřadnice a komponenty následují jako:

${ displaystyle u_ {r} (r, z) = { frac {3R ^ {3}} {4}} cdot { frac {rzu} {{ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2 }}} ^ {5}}} - { frac {3R} {4}} cdot { frac {rzu} {{ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}} ^ {3} }}}$

${ displaystyle u_ {z} (r, z) = { frac {3R ^ {3}} {4}} cdot left ({ frac {3uz ^ {2}} {{ sqrt {r ^ { 2} + z ^ {2}}} ^ {5}}} - { frac {u} { sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}} vpravo) + u - { frac {3R} {4}} cdot left ({ frac {u} { sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}}} + { frac {uz ^ {2}} {{ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}} ^ {3}}} vpravo)}$

Řešení vířivosti ve válcových souřadnicích následuje jako:

${ displaystyle omega _ { varphi} (r, z) = - { frac {3Ru} {2}} cdot { frac {r} {{ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2 }}} ^ {3}}}}$

Řešení tlaku ve válcových souřadnicích následuje jako:

${ displaystyle p (r, z) = - { frac {3 mu Ru} {2}} cdot { frac {z} {{ sqrt {r ^ {2} + z ^ {2}}} ^ {3}}}}$

Řešení tlaku v sférické souřadnice následuje jako:

${ displaystyle p (r, theta) = - { frac {3 mu Ru} {2}} cdot { frac { cos theta} {r ^ {2}}}}$

Rovněž se nazývá vzorec tlaku dipólový potenciál v analogii k elektrostatice.

Obecnější formulace s libovolným vektorem rychlosti vzdáleného pole ${ displaystyle mathbf {u} _ { infty}}$, v Kartézské souřadnice ${ displaystyle mathbf {x} = (x, y, z) ^ {T}}$ následuje s:

Stokesův tok kolem koule s parametry rychlosti vzdáleného pole ${ displaystyle mathbf {u} _ { infty} = { begin {pmatrix} 6 a 0 a 6 end {pmatrix}} ^ {T} { text {m / s}}}$, poloměr koule ${ displaystyle R = 1 ; { text {m}}}$, viskozita vody (T = 20 ° C) ${ displaystyle mu = 1 ; { text {mPa}} cdot { text {s}}}$. Zobrazeny jsou siločáry rychlostního pole a amplitudy rychlosti, tlaku a vířivosti pomocí pseudobarev.

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}) = underbrace { underbrace {{ frac {R ^ {3}} {4}} cdot left ({ frac {3 left ( mathbf {u} _ { infty} cdot mathbf {x} right) cdot mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {5}}} - { frac { mathbf {u} _ { infty}} { | mathbf {x} | ^ {3}}} vpravo)} _ { text {konzervativní: curl = 0, div = 0}} + spodní složka { mathbf {u} _ { infty}} _ { text {far-field}}} _ { text {Terms of Boundary-Condition}} ; underbrace {- { frac {3R} {4}} cdot left ({ frac { mathbf {u} _ { infty}} { | mathbf {x} |}} + { frac { left ( mathbf {u} _ { infty} cdot mathbf {x} right) cdot mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {3}}} right)} _ {{ text {nekonzervativní: curl}} = { boldsymbol { omega}} ( mathbf {x}), { text {div = 0}}} = left [{ frac {3R ^ {3}} {4}} { frac { mathbf {x otimes mathbf {x}}} { | mathbf {x} | ^ {5}}} - { frac {R ^ {3}} {4}} { frac { mathbb { I}} { | mathbf {x} | ^ {3}}} - { frac {3R} {4}} { frac { mathbf {x} otimes mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {3}}} - { frac {3R} {4}} { frac { mathbb {I}} { | mathbf {x} |}} + mathbb { Jsem v pořádku t] cdot mathbf {u} _ { infty}}$

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} ( mathbf {x}) = - { frac {3R} {2}} cdot { frac { mathbf {u} _ { infty} times mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {3}}}}$

${ displaystyle p left ( mathbf {x} right) = - { frac {3 mu R} {2}} cdot { frac { mathbf {u} _ { infty} cdot mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {3}}}}$

V této formulaci nekonzervativní termín představuje druh tzv Stokeslet. Stokeslet je Funkce zelených rovnic Stokes-Flow. Konzervativní termín se rovná dipól-gradientní pole. Vzorec vířivosti je něco jako Biot-Savartův vzorec, který se také používá v elektromagnetismus.

Následující vzorec popisuje tenzor viskózního stresu pro speciální případ stoke-flow. Je to nutné při výpočtu síly působící na částici. V kartézských souřadnicích vektorový gradient ${ displaystyle nabla mathbf {u}}$ je totožný s jacobian-matrix. Matice ${ displaystyle mathbf {I}}$ představuje matice identity.

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p cdot mathbf {I} + mu cdot left (( nabla mathbf {u}) + ( nabla mathbf {u}) ^ { T} vpravo)}$

Síla působící na kouli se vypočítá pomocí plošného integrálu, kde ${ displaystyle mathbf {e_ {r}}}$ představuje radiální jednotkový vektor sférické souřadnice:

${ displaystyle mathbf {F} = iint _ { částečné V} ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! podskupina ! supset ; { boldsymbol { sigma}} cdot { text {d}} mathbf {S} = int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {2 pi} { boldsymbol { sigma}} cdot mathbf {e_ {r}} cdot R ^ {2} sin theta { text {d}} varphi { text {d}} theta = int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {2 pi} { frac {3 mu cdot mathbf {u} _ { infty}} {2R}} cdot R ^ {2 } sin theta { text {d}} varphi { text {d}} theta = 6 pi mu R cdot mathbf {u} _ { infty}}$

Stokesův tok kolem koule: ${ displaystyle { boldsymbol { omega}} _ {R} = { begin {pmatrix} 0 a 0 & 2 end {pmatrix}} ^ {T} ; { text {Hz}}}$ , ${ displaystyle mu = 1 ; { text {mPa}} cdot { text {s}}}$, ${ displaystyle R = 1 ; { text {m}}}$

Rotační tok kolem koule

${ displaystyle mathbf {u} ( mathbf {x}) = - ; R ^ {3} cdot { frac {{ boldsymbol { omega}} _ {R} krát mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {3}}}}$

${ displaystyle { boldsymbol { omega}} ( mathbf {x}) = { frac {R ^ {3} cdot { boldsymbol { omega}} _ {R}} { | mathbf {x } | ^ {3}}} - { frac {3R ^ {3} cdot ({ boldsymbol { omega}} _ {R} cdot mathbf {x}) cdot mathbf {x}} { | mathbf {x} | ^ {5}}}}$

${ displaystyle p ( mathbf {x}) = 0}$

${ displaystyle { boldsymbol { sigma}} = - p cdot mathbf {I} + mu cdot left (( nabla mathbf {u}) + ( nabla mathbf {u}) ^ { T} vpravo)}$

${ displaystyle mathbf {T} = iint _ { částečné V} ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! ! podskupina ! supset mathbf {x} times left ({ boldsymbol { sigma}} cdot { text {d}} { boldsymbol {S}} right) = int _ {0} ^ { pi} int _ {0} ^ {2 pi} (R cdot mathbf {e_ {r}}) times left ({ boldsymbol { sigma}} cdot mathbf {e_ {r}} cdot R ^ {2} sin theta { text {d}} varphi { text {d}} theta right) = 8 pi mu R ^ {3} cdot { boldsymbol { omega} } _ {R}}$

Jiné typy Stokesova toku

I když je kapalina statická a koule se pohybuje určitou rychlostí, ale vzhledem k rámu koule, koule je v klidu a kapalina proudí přímo proti pohybu koule.

Viz také

• Einsteinův vztah (kinetická teorie)
• Vědecké zákony pojmenované po lidech
• Přetáhněte rovnici
• Viskozimetrie
• Ekvivalentní sférický průměr
• Depozice (geologie)

Reference

• Batchelor, G.K. (1967). Úvod do dynamiky tekutin. Cambridge University Press. ISBN  0-521-66396-2.
• Lamb, H. (1994). Hydrodynamika (6. vydání). Cambridge University Press. ISBN  978-0-521-45868-9. 6. rozšířené vydání, které původně vyšlo v roce 1879, se objevilo jako první v roce 1932.