Pullback (diferenciální geometrie) - Pullback (differential geometry)

Předpokládejme to φ : M → N je hladká mapa mezi hladké potrubí M a N. Pak existuje přidružený lineární mapa z prostoru 1-formy na N (dále jen lineární prostor z sekce z kotangenský svazek ) do prostoru 1-forem na M. Tato lineární mapa je známá jako zarazit (podle φ) a je často označován φ^∗. Obecněji libovolné kovariantní tenzorové pole - zejména jakékoli diferenciální forma - zapnuto N lze stáhnout zpět do M použitím φ.

Když je mapa φ je difeomorfismus, pak zpětný ráz společně s tlačit kupředu, lze použít k transformaci libovolného tenzorového pole z N na M nebo naopak. Zejména pokud φ je difeomorfismus mezi otevřenými podmnožinami souboru Rⁿ a Rⁿ, zobrazeno jako a změna souřadnic (možná mezi různými grafy na potrubí M), pak pullback a pushforward popisují vlastnosti transformace kovariantní a kontrariantní tenzory používané v tradičnějších (závislých na souřadnicích) přístupech k předmětu.

Myšlenkou zpětného rázu je v podstatě pojem předkompozice jedné funkce s druhou. Zkombinováním této myšlenky v několika různých kontextech však lze zkonstruovat docela komplikované operace odvolání. Tento článek začíná nejjednoduššími operacemi a poté je používá ke konstrukci složitějších operací. Zhruba řečeno, mechanismus pullback (využívající předkompozici) promění několik konstrukcí dovnitř diferenciální geometrie do protikladný funktory.

Potlačení plynulých funkcí a plynulých map

Nechat φ : M → N být plynulá mapa mezi (hladkými) potrubími M a Na předpokládejme F : N → R je plynulá funkce na N. Pak zarazit z F podle φ je plynulá funkce φ^∗F na M definován (φ^∗F)(X) = F(φ(X)). Podobně, pokud F je hladká funkce na otevřená sada U v N, pak stejný vzorec definuje hladkou funkci na otevřené množině φ⁻¹(U) v M. (V jazyce snopy, pullback definuje morfismus z svazek hladkých funkcí na N do přímý obraz podle φ svazku hladkých funkcí M.)

Obecněji, pokud F : N → A je plynulá mapa z N na jakékoli jiné potrubí A, pak φ^∗F(X) = F(φ(X)) je plynulá mapa z M na A.

Stahování svazků a sekcí

Li E je vektorový svazek (nebo opravdu jakýkoli svazek vláken ) přes N a φ:M→N je plynulá mapa, pak stahovací balíček φ^∗E je vektorový svazek (nebo svazek vláken ) přes M jehož vlákno přes X v M je dána (φ^*E)_X = E_φ(X).

V této situaci předkompozice definuje operaci stažení na úsecích E: pokud s je sekce z E přes N, pak stahovací část φ^∗s = s ∘ φ je část φ^∗E přes M.

Pullback multilineárních forem

Nechat Φ: PROTI → Ž být lineární mapa mezi vektorovými prostory PROTI a Ž (tj. Φ je prvek L(PROTI, Ž), také označeno Hom (PROTI, Ž)) a nechte

${ displaystyle F: W krát W krát cdoty krát W rightarrow mathbf {R}}$

být multilineární forma na Ž (také známý jako tenzor - nesmí být zaměňována s tenzorovým polem - hodnosti (0, s), kde s je počet faktorů Ž ve výrobku). Pak zpětný chod Φ^∗F z F by Φ je multilineární forma PROTI definováno předkomponováním F s Φ. Přesněji řečeno, dané vektory proti₁, proti₂, ..., proti_s v PROTI, Φ^∗F je definován vzorcem

${ displaystyle ( Phi ^ {*} F) (v_ {1}, v_ {2}, ldots, v_ {s}) = F ( Phi (v_ {1}), Phi (v_ {2} ), ldots, Phi (v_ {s})),}$

což je multilineární forma PROTI. Proto Φ^∗ je (lineární) operátor z víceřádkových forem Ž do víceřádkových forem na PROTI. Jako zvláštní případ si všimněte, že pokud F je lineární forma (nebo (0,1) -tenzor) na Ž, aby F je prvek Ž^∗, dvojí prostor z Ž, pak Φ^∗F je prvek PROTI^∗, a tak pullback by Φ definuje lineární mapu mezi duálními prostory, která působí v opačném směru k samotné lineární mapě Φ:

${ displaystyle Phi colon V rightarrow W, qquad Phi ^ {*} colon W ^ {*} rightarrow V ^ {*}.}$

Z tenzorového hlediska je přirozené pokusit se rozšířit pojem pullback na tenzory s libovolnou hodností, tj. Na multilineární mapy na Ž brát hodnoty v a tenzorový produkt z r kopie Ž, tj., Ž ⊗ Ž ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ Ž. Prvky takového tenzorového produktu se však přirozeně nevytahují: místo toho je zde operace dopředu od PROTI ⊗ PROTI ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ PROTI na Ž ⊗ Ž ⊗ ⋅⋅⋅ ⊗ Ž dána

${ displaystyle Phi _ {*} (v_ {1} otimes v_ {2} otimes cdots otimes v_ {r}) = Phi (v_ {1}) otimes Phi (v_ {2}) otimes cdots otimes Phi (v_ {r}).}$

Z toho však vyplývá, že pokud je Φ invertibilní, lze pullback definovat pomocí dopředného pomocí inverzní funkce Φ⁻¹. Kombinace těchto dvou konstrukcí přináší přímou operaci podél invertovatelné lineární mapy pro tenzory libovolné úrovně (r, s).

Stahování kotangensových vektorů a 1 forem

Nechat φ : M → N být hladká mapa mezi hladké potrubí. Pak rozdíl z φ, psaný φ_*, dφnebo Dφ, je vektorový morfismus svazku (přes M) z tečný svazek TM z M do stahovací balíček φ^*TN. The přemístit z φ_* je tedy mapa svazku z φ^*T^*N na T^*M, kotangenský svazek z M.

Nyní předpokládejme, že α je sekce z T^*N (A 1-forma na N), a předpokládat α s φ získat a stahovací část z φ^*T^*N. Použitím výše uvedené mapy svazku (bodově) v této sekci se získá zarazit z α podle φ, což je 1 forma φ^*α na M definován

${ displaystyle ( varphi ^ {*} alpha) _ {x} (X) = alpha _ { varphi (x)} (d varphi _ {x} (X))}$

pro X v M a X v T_XM.

Stahování (kovariančních) tenzorových polí

Konstrukce předchozí části se okamžitě zobecňuje na tenzorové svazky hodnosti (0,s) pro jakékoli přirozené číslo s: a (0,s) tenzorové pole na potrubí N je část svazku tenzorů na N jehož vlákno v y v N je prostor multilineární s-formuláře

${ displaystyle F colon T_ {y} N times cdots times T_ {y} N to mathbf {R}.}$

Tím, že vezmeme Φ rovný (bodovému) rozdílu hladké mapy φ z M na N, může být zpětný ráz víceřádkových forem kombinován s zpětným posunem sekcí, čímž se získá zpětný ráz (0,s) tenzorové pole zapnuto M. Přesněji pokud S je (0,s) -tenzorové pole zapnuto N, pak zarazit z S podle φ je (0,s) -tenzorové pole φ^*S na M definován

${ displaystyle ( varphi ^ {*} S) _ {x} (X_ {1}, ldots, X_ {s}) = S _ { varphi (x)} (d varphi _ {x} (X_ { 1}), ldots, d varphi _ {x} (X_ {s}))}$

pro X v M a X_j v T_XM.

Potlačení diferenciálních forem

Zvláště důležitým případem vrácení kovariantních tenzorových polí je vrácení diferenciální formy. Li α je rozdíl k-forma, tj. část vnější svazek Λ^kT*N ze (vláknových) střídání k-formuje se TN, pak odvolání α je rozdíl k-formovat dál M definované stejným vzorcem jako v předchozí části:

${ displaystyle ( varphi ^ {*} alpha) _ {x} (X_ {1}, ldots, X_ {k}) = alpha _ { varphi (x)} (d varphi _ {x} (X_ {1}), ldots, d varphi _ {x} (X_ {k}))}$

pro X v M a X_j v T_XM.

Stahování diferenciálních forem má dvě vlastnosti, díky nimž je velmi užitečné.

1. Je kompatibilní s klínový produkt v tom smyslu, že pro diferenciální formy α a β na N,

${ displaystyle varphi ^ {*} ( alpha wedge beta) = varphi ^ {*} alpha wedge varphi ^ {*} beta.}$

2. Je kompatibilní s vnější derivace d: pokud α je diferenciální forma na N pak

${ displaystyle varphi ^ {*} (d alfa) = d ( varphi ^ {*} alfa).}$

Zpětná vazba podle difeomorfismů

Když je mapa φ mezi potrubí je a difeomorfismus, to znamená, že má plynulý inverzní chod, pak lze definovat pullback pro vektorová pole stejně jako pro 1-formy, a tedy rozšířením, pro libovolné smíšené tenzorové pole na potrubí. Lineární mapa

${ displaystyle Phi = d varphi _ {x} v operatorname {GL} (T_ {x} M, T _ { varphi (x)} N)}$

lze převrátit dát

${ displaystyle Phi ^ {- 1} = ({d varphi _ {x}}) ^ {- 1} v operatorname {GL} (T _ { varphi (x)} N, T_ {x} M ).}$

Obecné smíšené tenzorové pole se poté transformuje pomocí Φ a Φ⁻¹ podle tenzorový produkt rozklad tenzorového svazku na kopie TN a T^*N. Když M = N, pak zpětný chod a tlačit kupředu popsat transformační vlastnosti a tenzor na potrubí M. V tradičních termínech pullback popisuje transformační vlastnosti kovariančních indexů a tenzor; naopak transformace protikladný indexy jsou dány a tlačit kupředu.

Stahování pomocí automorfismů

Konstrukce předchozí části má reprezentačně-teoretický výklad, když φ je difeomorfismus z potrubí M pro sebe. V tomto případě derivát dφ je část GL (TM,φ^*TM). To vyvolá akci zpětného rázu v částech libovolného svazku přidruženého k svazek rámů GL (M) z M zastoupením obecná lineární skupina GL (m) (kde m = dim M).

Pullback a Lie derivát

Vidět Derivát lži. Aplikováním předcházejících nápadů na místní 1-parametrovou skupinu difeomorfismů definovaných vektorovým polem na Ma diferenciací vzhledem k parametru se získá pojem Lieova derivace na jakémkoli přidruženém svazku.

Pullback of connections (covariant derivates)

Pokud ∇ je a spojení (nebo kovarianční derivace ) na vektorovém svazku E přes N a φ je plynulá mapa z M na N, pak existuje zpětné připojení φ^∗∇ zapnuto φ^∗E přes M, určeno jednoznačně podmínkou, že

${ displaystyle ( varphi ^ {*} nabla) _ {X} ( varphi ^ {*} s) = varphi ^ {*} ( nabla _ {d varphi (X)} s).}$

Viz také

• Dopředný (diferenciální)
• Balíček Pullback
• Pullback (teorie kategorií)

Reference

• Jost, Jürgen (2002). Riemannova geometrie a geometrická analýza. Berlín: Springer-Verlag. ISBN  3-540-42627-2. Viz oddíly 1.5 a 1.6.
• Abraham, Ralph; Marsden, Jerrold E. (1978). Základy mechaniky. Londýn: Benjamin-Cummings. ISBN  0-8053-0102-X. Viz sekce 1.7 a 2.3.