Rozdělení jednoty - Partition of unity - Wikipedia

v matematika, a rozdělení jednoty a topologický prostor X je sada R z spojité funkce z X do jednotkový interval [0,1] takové, že pro každý bod ${ displaystyle x v X}$ ,

tady je sousedství z X kde všichni kromě a konečný počet funkcí R jsou 0 a
součet všech hodnot funkcí na X je 1, tj. ${ displaystyle ; součet _ { rho v R} rho (x) = 1}$ .

Oddíl jednoty kruhu se čtyřmi funkcemi. Kruh je pro účely grafu rozvinut do úsečky (spodní plná čára). Přerušovaná čára nahoře je součtem funkcí v oddílu.

Oddíly jednoty jsou užitečné, protože často umožňují člověku rozšířit místní stavby do celého prostoru. Jsou také důležité v interpolace dat, v zpracování signálu a teorie funkce spline.

Existence

Existence oddílů jednoty předpokládá dvě odlišné formy:

Vzhledem k jakékoli otevřete kryt {U_i}_i∈Já mezery existuje oddíl {ρ_i}_i∈Já indexováno přes stejnou sadu I takhle supp ρ_i⊆U_i. O takovém oddílu se říká, že je podřízený otevřenému krytu {U_i}_i.
Pokud je prostor místně kompaktní, vzhledem k jakémukoli otevřenému krytu {U_i}_i∈Já mezery existuje oddíl {ρ_j}_j∈J indexovány přes pravděpodobně odlišnou sadu indexů J tak, že každý ρ_j má kompaktní podpora a pro každého j∈J, supp ρ_j⊆U_i pro některé i∈Já.

Tak se člověk rozhodne buď mít podporuje indexovány otevřeným krytem nebo kompaktními podpěrami. Pokud je prostor kompaktní, pak existují oddíly splňující oba požadavky.

Konečný otevřený kryt má vždy podřízený souvislý oddíl jednoty za předpokladu, že prostor je místně kompaktní a Hausdorff.^[1] Parakompaktnost prostoru je nezbytnou podmínkou k zajištění existence rozdělení jednoty podřízený jakémukoli otevřenému krytu. Záleží na kategorie ke kterému prostor patří, může to být také dostatečný stav.^[2] Konstrukce využívá změkčovače (bump funkce), které existují v spojitých a hladké potrubí, ale ne v analytické potrubí. Pro otevřený kryt analytického potrubí tedy analytické rozdělení jednoty podřízené tomuto otevřenému krytu obecně neexistuje. Vidět analytické pokračování.

Li R a T jsou oddíly jednoty pro prostory X a Y, respektive pak sada všech párů ${ displaystyle { rho otimes sigma: rho v R, tau v T }}$ je oddíl jednoty pro kartézský součin prostor X×Y. Tenzorový součin funkcí funguje jako ${ Displaystyle ( rho otimes sigma) (x, y) = rho (x) sigma (y)}$ .

Příklad

Můžeme postavit oddíl jednoty ${ displaystyle S ^ {1}}$ pohledem na graf na doplnění bodu ${ displaystyle p v S ^ {1}}$ odesílání ${ displaystyle S ^ {1} - {p }}$ na ${ displaystyle mathbb {R}}$ se středem ${ displaystyle q v S ^ {1}}$ . Teď, pojďme ${ displaystyle Phi}$ být bump funkce na ${ displaystyle mathbb {R}}$ definován

${ displaystyle Phi (x) = { begin {cases} exp left ({ frac {1} {x ^ {2} -1}} right) & x in (-1,1) 0 & { text {jinak}} end {cases}}}$

pak tato funkce i ${ displaystyle 1- Phi}$ lze jedinečně rozšířit na ${ displaystyle S ^ {1}}$ nastavením ${ displaystyle Phi (p) = 0}$ . Pak sada ${ displaystyle {(S ^ {1} - {p }, Phi), (S ^ {1} - {q }, 1- Phi) }}$ tvoří oddíl jednoty ${ displaystyle S ^ {1}}$ .

Definice variant

Někdy se používá méně omezující definice: součet všech hodnot funkcí v konkrétním bodě musí být kladný, nikoli 1, pro každý bod v prostoru. Vzhledem k takové sadě funkcí ${ displaystyle { psi _ {i} } _ {i = 1} ^ { infty}}$ lze získat rozdělení jednoty v užším smyslu dělením součtem; oddíl se stane ${ displaystyle { sigma ^ {- 1} psi _ {i} } _ {i = 1} ^ { infty}}$ kde ${ displaystyle sigma (x): = součet _ {i = 1} ^ { infty} psi _ {i} (x)}$ , což je dobře definováno, protože v každém bodě je nenulový pouze konečný počet členů. Ještě dále někteří autoři upouštějí od požadavku, aby byly podpory lokálně konečné, vyžadující pouze to ${ displaystyle sum _ {i = 1} ^ { infty} psi _ {i} (x) < infty}$ pro všechny ${ displaystyle x}$ .^[3]

Aplikace

Oddíl jednoty lze použít k definování integrálu (s ohledem na a objemová forma ) funkce definované přes potrubí: Jeden nejprve definuje integrál funkce, jejíž podpora je obsažena v jedné souřadné záplatě potrubí; pak jeden používá oddíl jednoty k definování integrálu libovolné funkce; nakonec jeden ukazuje, že definice je nezávislá na zvoleném rozdělení jednoty.

Oddíl jednoty lze použít k prokázání existence a Riemannova metrika na libovolném potrubí.

Metoda nejstrmějšího klesání zaměstnává rozdělení jednoty ke konstrukci asymptotiky integrálů.

Filtr Linkwitz – Riley je příkladem praktické implementace rozdělení jednoty k oddělení vstupního signálu na dva výstupní signály obsahující pouze vysokofrekvenční nebo nízkofrekvenční komponenty.

The Bernsteinovy polynomy pevného stupně m jsou rodina m+1 lineárně nezávislé polynomy, které jsou rozdělením jednoty pro jednotkový interval ${ displaystyle [0,1]}$ .

Rozdělení jednoty se používá k vytvoření globální hladké aproximace pro Sobolev funkce v ohraničených doménách. ^[4]

Viz také

Reference

^ Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.
^ Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2007). Nekonečná dimenzionální analýza: stopařův průvodce (3. vyd.). Berlín: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.
^ Strichartz, Robert S. (2003). Průvodce teorií distribuce a Fourierovými transformacemi. Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.
^ Evans, Lawrence (02.03.2010), "Sobolevovy prostory", Parciální diferenciální rovnice, Postgraduální studium matematiky, 19, American Mathematical Society, str. 253–309, doi:10.1090 / gsm / 019/05, ISBN 9780821849743

Tu, Loring W. (2011), Úvod do potrubí, Universitext (2. vyd.), Berlín, New York: Springer-Verlag, doi:10.1007/978-1-4419-7400-6, ISBN 978-1-4419-7399-3, viz kapitola 13

externí odkazy

Obecné informace o rozdělení jednoty v [Mathworld]
Aplikace oddílu jednoty v [Planet Math]

[1] Rudin, Walter (1987). Skutečná a komplexní analýza (3. vyd.). New York: McGraw-Hill. p. 40. ISBN 978-0-07-054234-1.

[2] Aliprantis, Charalambos D .; Border, Kim C. (2007). Nekonečná dimenzionální analýza: stopařův průvodce (3. vyd.). Berlín: Springer. p. 716. ISBN 978-3-540-32696-0.

[3] Strichartz, Robert S. (2003). Průvodce teorií distribuce a Fourierovými transformacemi. Singapur: World Scientific Pub. Co. ISBN 981-238-421-9. OCLC 54446554.

[4] Evans, Lawrence (02.03.2010), "Sobolevovy prostory", Parciální diferenciální rovnice, Postgraduální studium matematiky, 19, American Mathematical Society, str. 253–309, doi:10.1090 / gsm / 019/05, ISBN 9780821849743

[1]

[2]

[3]

[4]