Lemma Chandrasekhar – Wentzel - Chandrasekhar–Wentzel lemma

v vektorový počet, Lemma Chandrasekhar – Wentzel byl odvozen od Subrahmanyan Chandrasekhar a Gregor Wentzel v roce 1965, při studiu stability poklesu rotující kapaliny.^[1][2] Lemma to říká -li ${ displaystyle mathbf {S}}$ je povrch ohraničený jednoduchou uzavřenou konturou ${ displaystyle C}$, pak

${ displaystyle mathbf {L} = mast _ {C} mathbf {x} krát (d mathbf {x} times mathbf {n}) = - int _ { mathbf {S}} ( mathbf {x} times mathbf {n}) nabla cdot mathbf {n} dS.}$

Tady ${ displaystyle mathbf {x}}$ je poziční vektor a ${ displaystyle mathbf {n}}$ je jednotka normální na povrchu. Okamžitým důsledkem je, že pokud ${ displaystyle mathbf {S}}$ je uzavřený povrch, pak má integrál přímky tendenci k nule, což vede k výsledku,

${ displaystyle int _ { mathbf {S}} ( mathbf {x} krát mathbf {n}) nabla cdot mathbf {n} dS = 0,}$

nebo v indexové notaci máme

${ displaystyle int _ { mathbf {S}} x_ {j} nabla cdot mathbf {n} dS_ {k} = int _ { mathbf {S}} x_ {k} nabla cdot mathbf {n} dS_ {j}.}$

To znamená tenzor

${ displaystyle T_ {ij} = int _ { mathbf {S}} x_ {j} nabla cdot mathbf {n} dS_ {i}}$

definované na uzavřeném povrchu je vždy symetrické, tj. ${ displaystyle T_ {ij} = T_ {ji}}$.

Důkaz

Napíšeme vektor do indexové notace, ale konvence součtu bude zabráněno v celém důkazu. Potom lze levou stranu zapsat jako

${ displaystyle L_ {i} = mast _ {C} [dx_ {i} (n_ {i} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) + dx_ {j} (- n_ {i} x_ {j}) + dx_ {k} (- n_ {i} x_ {k})].}$

Převod integrálu čáry na plošný integrál pomocí Stokesova věta, dostaneme

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} vlevo {n_ {i} vlevo [{ frac { částečné} { částečné x_ {j}}} (- n_ {i } x_ {k}) - { frac { částečné} { částečné x_ {k}}} (- n_ {i} x_ {j}) vpravo] + n_ {j} vlevo [{ frac { částečné} { částečné x_ {k}}} (n_ {j} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) - { frac { částečné} { částečné x_ {i}}} (- n_ {i} x_ {k}) vpravo] + n_ {k} vlevo [{ frac { částečné} { částečné x_ {i}}} (- n_ {i} x_ {j}) - { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} (n_ {j} x_ {j} + n_ {k} x_ {k}) doprava] doprava } dS.}$

Provedeme požadovanou diferenciaci a po nějakém přeskupení jsme na tom

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} vlevo [- { frac {1} {2}} x_ {k} { frac { částečný} { částečný x_ {j} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {k} ^ {2}) + { frac {1} {2}} x_ {j} { frac { částečný} { částečný x_ {k} }} (n_ {i} ^ {2} + n_ {j} ^ {2}) + n_ {j} x_ {k} left ({ frac { parciální n_ {i}} { parciální x_ {i }}} + { frac { částečné n_ {k}} { částečné x_ {k}}} pravé) -n_ {k} x_ {j} levé ({ frac { částečné n_ {i}} { částečné x_ {i}}} + { frac { částečné n_ {j}} { částečné x_ {j}}} pravé) pravé] dS,}$

nebo, jinými slovy,

${ displaystyle L_ {i} = int _ { mathbf {S}} vlevo [{ frac {1} {2}} vlevo (x_ {j} { frac { částečné} { částečné x_ { k}}} - x_ {k} { frac { částečné} { částečné x_ {j}}} pravé) | mathbf {n} | ^ {2} - (x_ {j} n_ {k} - x_ {k} n_ {j}) nabla cdot mathbf {n} vpravo] dS.}$

A od té doby ${ displaystyle | mathbf {n} | ^ {2} = 1}$, my máme

${ displaystyle L_ {i} = - int _ { mathbf {S}} (x_ {j} n_ {k} -x_ {k} n_ {j}) nabla cdot mathbf {n} dS, }$

což dokazuje lemma.

Reference