Kryt (topologie) - Cover (topology)
v matematika, zejména topologie, a Pokrýt a soubor je sbírka sad, jejichž sjednocení zahrnuje jako podmnožina. Formálně, pokud je indexovaná rodina sad pak je obálka -li
Pokrytí topologie
Kryty se běžně používají v kontextu topologie. Pokud je sada X je topologický prostor, pak Pokrýt C z X je kolekce podmnožin Uα z X jehož svazkem je celý prostor X. V tomto případě to říkáme C kryty X, nebo že sady Uα Pokrýt X. Také pokud Y je podmnožinou X, pak Pokrýt z Y je sbírka podskupin X jehož svazek obsahuje Y, tj., C je obálka Y -li
Nechat C být krytem topologického prostoru X. A dílčí úkryt z C je podmnožinou C který stále pokrývá X.
Říkáme to C je otevřete kryt pokud je každý z jejích členů otevřená sada (tj. každý Uα je obsažen v T, kde T je zapnuta topologie X).
Kryt X se říká, že je místně konečné pokud každý bod X má sousedství který se protíná pouze konečně mnoho sad v krytu. Formálně, C = {Uα} je lokálně konečný, pokud pro nějaké existuje nějaké sousedství N(X) z X takové, že soubor
je konečný. Kryt X se říká, že je bod konečný pokud každý bod X je obsažen pouze v konečně mnoha sadách v obálce. Kryt je bodově konečný, pokud je místně konečný, i když obrácení nemusí nutně platit.
Upřesnění
A upřesnění krytu C topologického prostoru X je nový obal D z X tak, že každý vstup D je obsažen v nějaké sadě v C. Formálně,
- je upřesnění pokud pro všechny tady existuje takhle
Jinými slovy, existuje upřesňující mapa uspokojující pro každého Tato mapa se používá například v Čechova kohomologie z X.[1]
Každá dílčí část je také upřesněním, ale opak není vždy pravdou. Ze sad, které jsou v krytu, je vytvořen subcover, ale některé z nich jsou vynechány; vzhledem k tomu, že upřesnění se provádí u všech sad, které jsou podmnožinami sad v krytu.
Vztah upřesnění je a předobjednávka o souboru obálek X.
Obecně řečeno, vylepšení dané struktury je další, které ji v určitém smyslu obsahuje. Příklady lze najít při rozdělení disku interval (jedno upřesnění bytost ), vzhledem k tomu topologie (dále jen standardní topologie v euklidovském prostoru je zdokonalením triviální topologie ). Při dělení zjednodušené komplexy (první barycentrické dělení zjednodušeného komplexu je upřesnění), situace je mírně odlišná: každá simplexní v jemnějším komplexu je tvář nějakého simplexu v tom hrubším a oba mají stejný podkladový mnohostěn.
Ještě další pojem upřesnění je pojem vylepšení hvězd.
Dílčí úkryt
Jednoduchým způsobem, jak získat dílčí obal, je vynechat sady obsažené v jiné sadě v obálce. Zvažte konkrétně otevřené kryty. Pojďme být topologickým základem a být otevřeným krytem Nejprve si vezměte Pak je upřesnění . Dále pro každého vybereme a obsahující (vyžadující axiom výběru). Pak je dílčí část Proto mohutnost dílčího krytu otevřeného krytu může být stejně malá jako u jakéhokoli topologického základu. Proto zejména druhá spočetnost znamená, že prostor je Lindelöf.
Kompaktnost
Jazyk obalů se často používá k definování několika souvisejících topologických vlastností kompaktnost. Topologický prostor X se říká, že je
- Kompaktní
- pokud má každý otevřený obal konečnou subkrytinu (nebo ekvivalentně, že každý otevřený kryt má omezené vylepšení);
- Lindelöf
- pokud má každý otevřený kryt a počitatelný subcover (nebo ekvivalentně to, že každý otevřený obal má spočetné vylepšení);
- Metakompaktní
- pokud má každý otevřený kryt bodově konečné otevřené zjemnění;
- Paracompact
- pokud každý otevřený kryt připouští lokálně konečné otevřené upřesnění.
Další varianty viz výše uvedené články.
Krycí rozměr
Topologický prostor X se říká, že je z krycí rozměr n pokud každý otevřený kryt X má bodově konečné otevřené zdokonalení tak, že žádný bod z X je součástí více než n + 1 nastaví v upřesnění a pokud n je minimální hodnota, pro kterou to platí.[2] Pokud žádný takový minimální n existuje, říká se, že prostor má nekonečnou krycí dimenzi.
Viz také
Poznámky
- ^ Bott, Tu (1982). Diferenciální formy v algebraické topologii. str. 111.
- ^ Munkres, James (1999). Topologie (2. vyd.). Prentice Hall. ISBN 0-13-181629-2.
Reference
- Úvod do topologie, druhé vydání, Theodore W. Gamelin a Robert Everist Greene. Publikace Dover 1999. ISBN 0-486-40680-6
- Obecná topologie, John L. Kelley. D. Van Nostrand Company, Inc. Princeton, NJ. 1955.
externí odkazy
- "Krycí (sady)", Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]