Maxwellovy rovnice - Maxwells equations - Wikipedia

Články o
Elektromagnetismus
Elektřina Magnetismus Dějiny Učebnice
Elektrostatika Elektrický náboj Coulombův zákon Dirigent Hustota náboje Permitivita Elektrický dipólový moment Elektrické pole Elektrický potenciál Elektrický tok  / potenciální energie Elektrostatický výboj Gaussův zákon Indukce Izolátor Hustota polarizace Statická elektřina Triboelektřina
Magnetostatika Ampereův zákon Biot – Savartův zákon Gaussův zákon pro magnetismus Magnetické pole Magnetický tok Magnetický dipólový moment Magnetická propustnost Magnetický skalární potenciál Magnetizace Magnetomotorická síla Pravidlo pravé ruky
Elektrodynamika Lorentzův silový zákon Elektromagnetická indukce Faradayův zákon Lenzův zákon Zdvihový proud Potenciál magnetického vektoru Maxwellovy rovnice Elektromagnetické pole Elektromagnetický puls Elektromagnetická radiace Maxwellův tenzor Poyntingův vektor Liénard – Wiechertův potenciál Jefimenkovy rovnice Vířivý proud Londýnské rovnice Matematické popisy elektromagnetického pole
Elektrická síť Střídavý proud Kapacita Stejnosměrný proud Elektrický proud Elektrolýza Hustota proudu Joule topení Elektromotorická síla Impedance Indukčnost Ohmův zákon Paralelní obvod Odpor Rezonanční dutiny Sériový obvod Napětí Vlnovody
Koviantní formulace Elektromagnetický tenzor (tenzor napětí a energie ) Čtyřproudové Elektromagnetický čtyř potenciál
Vědci Ampér Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Jindřich Hertz Joule Lenz Lorentz Maxwell Ørsted Ohm Ritchie Savart Zpěvák Tesla Volta Weber

Maxwellovy rovnice jsou sada spojených parciální diferenciální rovnice že společně s Lorentzova síla zákon, tvoří základ klasický elektromagnetismus, klasický optika, a elektrické obvody. Rovnice poskytují matematický model pro elektrické, optické a rádiové technologie, jako je výroba energie, elektromotory, bezdrátový komunikace, čočky, radar atd. Popisují jak elektrický a magnetické pole jsou generovány poplatky, proudy a změny polí.^{[poznámka 1]} Rovnice jsou pojmenovány po fyzikovi a matematikovi James Clerk Maxwell, který v letech 1861 a 1862 publikoval ranou podobu rovnic zahrnujících Lorentzův silový zákon. Maxwell nejprve pomocí rovnic navrhl, že světlo je elektromagnetický jev.

Důležitým důsledkem Maxwellových rovnic je to, že ukazují, jak se kolísající elektrické a magnetické pole šíří konstantní rychlostí (C ) ve vakuu. Známý jako elektromagnetická radiace, tyto vlny se mohou vyskytovat na různých vlnových délkách, aby vytvořily a spektrum světla z rádiové vlny na gama paprsky.

Rovnice mají dvě hlavní varianty. Mikroskopické Maxwellovy rovnice mají univerzální použitelnost, ale pro běžné výpočty jsou nepraktické. Vztahují elektrické a magnetické pole k celkovému náboji a celkovému proudu, včetně komplikovaných nábojů a proudů v materiálech na atomová stupnice. „Makroskopické“ Maxwellovy rovnice definují dvě nová pomocná pole, která popisují chování hmoty ve velkém měřítku, aniž by bylo nutné brát v úvahu atomové náboje a kvantové jevy jako spiny. Jejich použití však vyžaduje experimentálně stanovené parametry pro fenomenologický popis elektromagnetické odezvy materiálů.

Často se také používá termín „Maxwellovy rovnice“ ekvivalentní alternativní formulace. Verze Maxwellových rovnic na základě elektrický a magnetické skalární potenciály jsou preferovány pro explicitní řešení rovnic jako a problém mezní hodnoty, analytická mechanika, nebo pro použití v kvantová mechanika. The kovarianční formulace (na vesmírný čas spíše než prostor a čas samostatně) činí kompatibilitu Maxwellových rovnic s speciální relativita manifest. Maxwellovy rovnice v zakřiveném časoprostoru, běžně používaný v vysoká energie a gravitační fyzika, jsou kompatibilní s obecná relativita.^{[poznámka 2]} Ve skutečnosti, Albert Einstein vyvinuli speciální a obecnou relativitu pro přizpůsobení invariantní rychlosti světla, důsledek Maxwellových rovnic, s principem, že pouze relativní pohyb má fyzické důsledky.

Zveřejnění rovnic označilo unifikace teorie pro dříve samostatně popsané jevy: magnetismus, elektřina, světlo a související záření. Od poloviny 20. století se vědělo, že Maxwellovy rovnice neposkytují přesný popis elektromagnetických jevů, ale jsou spíše klasický hranice přesnější teorie kvantová elektrodynamika.

Koncepční popisy

Gaussův zákon

Gaussův zákon popisuje vztah mezi statikou elektrické pole a elektrické náboje které to způsobují: statické elektrické pole směřuje od kladných nábojů k negativním nábojům a k síti odtok elektrického pole jakýmkoli uzavřeným povrch je úměrná náboji uzavřenému povrchem. Při zobrazení elektrického pole jeho siločarami to znamená, že siločáry začínají kladnými elektrickými náboji a končí zápornými elektrickými náboji. 'Počítání' počet siločar procházejících a uzavřený povrch získá celkový náboj (včetně vázaného náboje v důsledku polarizace materiálu) uzavřený tímto povrchem, dělený dielektricitou volného prostoru ( vakuová permitivita ).

Gaussův zákon pro magnetismus: čáry magnetického pole nikdy nezačínají ani nekončí, ale vytvářejí smyčky nebo se rozšiřují do nekonečna, jak je zde znázorněno, s magnetickým polem kvůli prstenci proudu.

Gaussův zákon pro magnetismus

Gaussův zákon pro magnetismus uvádí, že neexistují žádné „magnetické náboje“ (nazývané také magnetické monopoly ), analogický s elektrickými náboji.^[1] Místo toho je magnetické pole v důsledku materiálů generováno konfigurací zvanou a dipól a čistý odtok magnetického pole přes jakýkoli uzavřený povrch je nulový. Magnetické dipóly jsou nejlépe reprezentovány jako smyčky proudu, ale podobají se kladným a záporným „magnetickým nábojům“, které jsou neoddělitelně spojeny dohromady a nemají žádný „magnetický náboj“. Pokud jde o siločáry, tato rovnice uvádí, že čáry magnetického pole ani nezačínají, ani nekončí, ale vytvářejí smyčky nebo se rozšiřují do nekonečna a zpět. Jinými slovy, každá čára magnetického pole, která vstupuje do daného objemu, musí někde tento objem opustit. Ekvivalentní technická prohlášení jsou součty celkem magnetický tok jakýmkoli Gaussovým povrchem je nula, nebo že magnetické pole je a solenoidové vektorové pole.

Faradayův zákon

V geomagnetická bouře, dočasně se změní nárůst toku nabitých částic Zemské magnetické pole, který indukuje elektrická pole v zemské atmosféře, a tím způsobuje elektrické rázy elektrické sítě. (Není v měřítku.)

The Maxwell – Faraday verze Faradayův zákon indukce popisuje, jak se čas mění magnetické pole vytváří („indukuje“) elektrické pole.^[1] V integrální formě uvádí, že práce na jednotku náboje potřebná k pohybu náboje kolem uzavřené smyčky se rovná rychlosti změny magnetického toku uzavřeným povrchem.

Dynamicky indukované elektrické pole má uzavřené siločáry podobné magnetickému poli, pokud nejsou superponovány statickým (nábojem indukovaným) elektrickým polem. Tento aspekt elektromagnetická indukce je princip fungování mnoha lidí elektrické generátory: například rotující tyčový magnet vytváří měnící se magnetické pole, které zase generuje elektrické pole v blízkém drátu.

Ampereův zákon s Maxwellovým doplněním

Paměť magnetického jádra (1954) je aplikace Ampereův zákon. Každý jádro ukládá jeden bit dat.

Ampereův zákon s Maxwellovým doplněním uvádí, že magnetická pole lze generovat dvěma způsoby: pomocí elektrický proud (toto byl původní „Ampereův zákon“) a změnou elektrických polí (to byl „Maxwellovo doplnění“, které nazval posuvný proud ). V integrální formě je magnetické pole indukované kolem jakékoli uzavřené smyčky úměrné elektrickému proudu plus výtlačný proud (úměrný rychlosti změny elektrického toku) skrz uzavřený povrch.

Maxwellovo přidání k Ampèrovu zákonu je obzvláště důležité: díky tomu je sada rovnic matematicky konzistentní pro nestatické pole, aniž by došlo ke změně zákonů Ampere a Gauss pro statická pole.^[2] V důsledku toho však předpovídá, že měnící se magnetické pole indukuje elektrické pole a naopak.^[1][3] Proto tyto rovnice umožňují soběstačnost “elektromagnetické vlny "cestovat prázdným prostorem (viz rovnice elektromagnetických vln ).

Rychlost vypočítaná pro elektromagnetické vlny, kterou lze předpovědět z experimentů na nábojích a proudech,^{[Poznámka 3]} odpovídá rychlost světla; Vskutku, světlo je jedna forma elektromagnetická radiace (jako jsou Rentgenové záření, rádiové vlny, a další). Maxwell pochopil souvislost mezi elektromagnetickými vlnami a světlem v roce 1861, čímž sjednotil teorie o elektromagnetismus a optika.

Formulace z hlediska elektrických a magnetických polí (mikroskopická nebo ve vakuové verzi)

Ve formulaci elektrického a magnetického pole existují čtyři rovnice, které určují pole pro dané rozložení náboje a proudu. Oddělený zákon přírody, Lorentzova síla zákon popisuje, jak naopak elektrické a magnetické pole působí na nabité částice a proudy. Verze tohoto zákona byla zahrnuta do původních rovnic Maxwellem, ale podle konvence již není zahrnuta. The vektorový počet formalismus níže, práce Oliver Heaviside,^[4][5] se stalo standardem. Je to zjevně rotace neměnná, a proto matematicky mnohem transparentnější než Maxwellovy původní 20 rovnice v komponentách x, y, z. The relativistické formulace jsou ještě symetrickější a zjevně Lorentzovy invariantní. Stejné rovnice vyjádřené pomocí tenzorového počtu nebo diferenciálních forem viz alternativní formulace.

Diferenciální a integrální formulace jsou matematicky ekvivalentní a jsou obě užitečné. Integrální formulace spojuje pole v oblasti vesmíru s poli na hranici a lze ji často použít ke zjednodušení a přímému výpočtu polí ze symetrických distribucí nábojů a proudů. Na druhou stranu, diferenciální rovnice jsou čistě místní a jsou přirozenějším výchozím bodem pro výpočet polí ve složitějších (méně symetrických) situacích, například pomocí analýza konečných prvků.^[6]

Klíč k notaci

Symboly v tučně zastupovat vektor množství a symboly v kurzíva zastupovat skalární množství, pokud není uvedeno jinak. Rovnice zavádějí elektrické pole, E, a vektorové pole a magnetické pole, B, a pseudovektor pole, z nichž každý má obecně závislost na čase a poloze. Zdroje jsou

• celková elektřina hustota náboje (celkový poplatek za jednotku objemu), ρ, a
• celková elektřina proudová hustota (celkový proud na jednotku plochy), J.

The univerzální konstanty objevující se v rovnicích (první dva výslovně pouze ve formulaci jednotek SI) jsou:

• the permitivita volného prostoru, ε₀, a
• the propustnost volného prostoru, μ₀, a
• the rychlost světla, ${ displaystyle c = { frac {1} { sqrt { varepsilon _ {0} mu _ {0}}}}}$

Diferenciální rovnice

V diferenciálních rovnicích

• the nabla symbol, ∇, označuje trojrozměrný spád operátor, del,
• the ∇⋅ symbol (vyslovuje se "del dot") označuje divergence operátor,
• the ∇× symbol (vyslovuje se "del cross") označuje kučera operátor.

Integrální rovnice

V integrálních rovnicích

• Ω je jakýkoli pevný objem se zavřeným hranice povrch ∂Ω, a
• Σ je jakýkoli pevný povrch s uzavřenou hraniční křivkou ∂Σ,

Tady a pevný objem nebo povrch znamená, že se v průběhu času nemění. Rovnice jsou správné, úplné a o něco snadněji interpretovatelné pomocí časově nezávislých ploch. Například protože povrch je nezávislý na čase, můžeme přinést diferenciace pod integrálním znaménkem podle Faradayova zákona:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} iint _ { Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} = iint _ { Sigma} { frac { částečný mathbf {B}} { částečný t}} cdot mathrm {d} mathbf {S} ,,}$

Maxwellovy rovnice lze formulovat s časově závislými plochami a objemy pomocí diferenciální verze a vhodného použití Gaussova a Stokesova vzorce.

• ${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ je povrchový integrál přes hraniční povrch ∂Ω, se smyčkou označující povrch je uzavřen
• ${ displaystyle iiint _ { Omega}}$ je objemový integrál přes hlasitost Ω,
• ${ displaystyle mast _ { částečné Sigma}}$ je linka integrální kolem hraniční křivky ∂Σ, přičemž smyčka indikuje, že křivka je uzavřena.
• ${ displaystyle iint _ { Sigma}}$ je povrchový integrál přes povrch Σ,
• The celkový elektrický náboj Q uzavřeno v Ω je objemový integrál přes Ω z hustota náboje ρ (viz část „Makroskopická formulace“ níže):

${ displaystyle Q = iiint _ { Omega} rho mathrm {d} V,}$

kde dV je objemový prvek.

• The síť elektrický proud Já je povrchový integrál z hustota elektrického proudu J procházející pevným povrchem, Σ:

${ displaystyle I = iint _ { Sigma} mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S},}$

kde dS označuje rozdíl prvek vektoru povrchu S, normální na povrch Σ. (Vektorová oblast je někdy označena A spíše než S, ale to je v rozporu s notací pro potenciál magnetického vektoru ).

Formulace v konvenci jednotek SI

název	Integrální rovnice	Rozdíl rovnice
Gaussův zákon	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} = { frac {1} { varepsilon _ {0}}} iiint _ { Omega} rho , mathrm { d} V}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = { frac { rho} { varepsilon _ {0}}}}$
Gaussův zákon pro magnetismus	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$
Maxwellova – Faradayova rovnice (Faradayův zákon indukce )	${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = - { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} iint _ { Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$
Ampereův zákon o oběhu (s přídavkem Maxwella)	${ displaystyle { begin {aligned} mast _ { částečný Sigma} & mathbf {B} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = mu _ {0} left ( iint _ { Sigma} mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} + varepsilon _ {0} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} iint _ { Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} right) end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {B} = mu _ {0} left ( mathbf {J} + varepsilon _ {0} { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t }}že jo)}$

Formulace v konvenci Gaussových jednotek

Definice náboje, elektrického pole a magnetického pole lze změnit za účelem zjednodušení teoretického výpočtu absorpcí dimenzováno faktory ε₀ a μ₀ do jednotek výpočtu podle konvence. S odpovídající změnou konvence pro Lorentzova síla zákonem se získá stejná fyzika, tj. trajektorie nabitých částic, nebo práce provádí elektromotor. Tyto definice jsou často preferovány v teoretické fyzice a fyzice vysokých energií, kde je přirozené brát elektrické a magnetické pole se stejnými jednotkami, aby se zjednodušil vzhled elektromagnetický tenzor: Lorentzův kovarianční objekt sjednocující elektrické a magnetické pole by pak obsahoval komponenty s jednotnou jednotkou a rozměrem.^[7]:vii Takto upravené definice se běžně používají s Gaussianem (CGS ) Jednotky. Pomocí těchto definic a konvencí, hovorově „v Gaussových jednotkách“,^[8]Maxwellovy rovnice se stanou:^[9]

název	Integrální rovnice	Diferenciální rovnice
Gaussův zákon	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 4 pi iiint _ { Omega} rho , mathrm {d} V}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {E} = 4 pi rho}$
Gaussův zákon pro magnetismus	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$
Maxwellova – Faradayova rovnice (Faradayův zákon indukce )	${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = - { frac {1} {c}} { frac { mathrm {d}} { mathrm {d} t}} iint _ { Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$
Ampereův zákon o oběhu (s přídavkem Maxwella)	${ displaystyle { begin {aligned} mast _ { částečné Sigma} & mathbf {B} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = { frac {1} {c}} left (4 pi iint _ { Sigma} mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} + { frac { mathrel { mathrm {d}}} { mathrm {d } t}} iint _ { Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} right) end {zarovnáno}}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {B} = { frac {1} {c}} vlevo (4 pi mathbf {J} + { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}} vpravo)}$

Rovnice jsou zvláště čitelné, když se délka a čas měří v kompatibilních jednotkách, jako jsou sekundy a světelné sekundy, tj. V jednotkách, kde c = 1 jednotka délky / jednotky času. Od roku 1983 (viz Mezinárodní systém jednotek ), měřiče a sekundy jsou kompatibilní s výjimkou historického odkazu od roku podle definice c = 299 792 458 m / s (≈ 1,0 stopy / nanosekundu).

Další kosmetické změny, nazývané racionalizace, jsou možné absorpcí faktorů 4π podle toho, zda chceme Coulombův zákon nebo Gaussův zákon pěkně vyjít, vidět Jednotky Lorentz-Heaviside (používá se hlavně v částicová fyzika ). v teoretická fyzika často je užitečné zvolit takové jednotky Planckova konstanta, základní náboj, a dokonce Newtonova konstanta jsou 1. Viz Planckovy jednotky.

Vztah mezi diferenciálními a integrálními formulacemi

Ekvivalence diferenciálních a integrálních formulací je důsledkem Gaussova věta o divergenci a Kelvin – Stokesova věta.

Tok a divergence

Objem Ω a jeho uzavřená hranice ∂Ωobsahující (respektive ohraničující) zdroj (+) a umyvadlo (−) vektorového pole F. Tady, F může být E pole se zdrojovými elektrickými náboji, ale ne the B pole, které nemá žádné magnetické náboje, jak je znázorněno. Ven jednotka normální je n.

Podle (čistě matematické) Gaussova divergenční věta, elektrický tok skrz hraniční povrch ∂Ω lze přepsat jako

${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {E} cdot mathrm {d} mathbf {S} = iiint _ { Omega} nabla cdot mathbf {E} , mathrm {d} V}$

Integrální verzi Gaussovy rovnice lze tedy přepsat na

${ displaystyle iiint _ { Omega} left ( nabla cdot mathbf {E} - { frac { rho} { varepsilon _ {0}}} right) , mathrm {d} V = 0}$

Od té doby Ω je libovolný (např. libovolná malá koule s libovolným středem), je to splněno kdyby a jen kdyby integrand je všude nula. Toto je formulace diferenciálních rovnic Gaussovy rovnice až po triviální přeskupení.

Podobně přepsání magnetický tok v Gaussově zákoně pro magnetismus v integrální formě dává

${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} = iiint _ { Omega} nabla cdot mathbf {B} , mathrm {d} V = 0}$.

což je uspokojeno pro všechny Ω kdyby a jen kdyby ${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$ všude.

Oběh a zvlnění

Povrch Σ s uzavřenou hranicí ∂Σ. F může být E nebo B pole. Znovu, n je jednotka normální. (Zvlnění vektorového pole nevypadá doslova jako „cirkulace“, toto je heuristické zobrazení.)

Podle Kelvin – Stokesova věta můžeme přepsat line integrály polí kolem uzavřené hraniční křivky ∂Σ na integrál „oběhu polí“ (tj. jejich kudrlinky ) přes povrch, který ohraničuje, tj.

${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {B} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = iint _ { Sigma} ( nabla times mathbf {B} ) cdot mathrm {d} mathbf {S}}$,

Z tohoto důvodu lze upravený Ampereův zákon v integrální formě přepsat jako

${ displaystyle iint _ { Sigma} left ( nabla times mathbf {B} - mu _ {0} left ( mathbf {J} + varepsilon _ {0} { frac { částečné mathbf {E}} { částečné t}} pravé) pravé) cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$.

Od té doby Σ lze zvolit libovolně, např. jako libovolný malý, libovolně orientovaný a libovolně vystředěný disk usuzujeme, že integrand je nula iff Ampereův modifikovaný zákon ve formě diferenciálních rovnic je splněn. Rovnocennost Faradayova zákona v diferenciální a integrální formě následuje obdobně.

Čárové integrály a kadeře jsou analogické s veličinami v klasice dynamika tekutin: oběh kapaliny je přímka integrální s tekutinou rychlost proudění pole kolem uzavřené smyčky a vířivost kapaliny je zvlnění rychlostního pole.

Ochrana poplatků

Invariance náboje lze odvodit jako důsledek Maxwellových rovnic. Levá strana upraveného Ampereova zákona má nulovou divergenci od identita div – curl. Rozšíření divergence na pravé straně, záměna derivací a aplikace Gaussova zákona dává:

${ displaystyle 0 = nabla cdot nabla times mathbf {B} = mu _ {0} left ( nabla cdot mathbf {J} + varepsilon _ {0} { frac { částečné } { částečné t}} nabla cdot mathbf {E} vpravo) = mu _ {0} vlevo ( nabla cdot mathbf {J} + { frac { částečné rho} { částečné t}} vpravo)}$

tj.

${ displaystyle { frac { částečné rho} { částečné t}} + nabla cdot mathbf {J} = 0}$.

Podle věty o Gaussově divergenci to znamená, že rychlost změny náboje v pevném objemu se rovná čistému proudu protékajícímu hranicí:

${ displaystyle { frac {d} {dt}} Q _ { Omega} = { frac {d} {dt}} iiint _ { Omega} rho mathrm {d} V = -}$ ${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {J} cdot { rm {d}} mathbf {S} = -I _ { částečné Omega}.}$

Zejména v izolovaném systému je zachován celkový náboj.

Vakuové rovnice, elektromagnetické vlny a rychlost světla

Tento 3D diagram ukazuje rovinu lineárně polarizovanou vlnu šířící se zleva doprava, definovanou symbolem E = E₀ hřích (−ωt + k ⋅ r) a B = B₀ hřích (−ωt + k ⋅ r) Oscilující pole jsou detekována v blikajícím bodě. Horizontální vlnová délka je λ. E₀ ⋅ B₀ = 0 = E₀ ⋅ k = B₀ ⋅ k

V oblasti bez poplatků (ρ = 0) a žádné proudy (J = 0), například ve vakuu, Maxwellovy rovnice se redukují na:

${ displaystyle { begin {zarovnáno} nabla cdot mathbf {E} & = 0 quad & nabla times mathbf {E} & = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}, nabla cdot mathbf {B} & = 0 quad & nabla times mathbf {B} & = mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { částečný mathbf {E}} { částečný t}}. end {zarovnaný}}}$

Vezmeme zvlnění (∇×) zvlněných rovnic a pomocí zvlnění zvlněné identity získáváme

${ displaystyle { begin {aligned} mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { částečné ^ {2} mathbf {E}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2} mathbf {E} = 0 mu _ {0} varepsilon _ {0} { frac { částečné ^ {2} mathbf {B}} { částečné t ^ {2}} } - nabla ^ {2} mathbf {B} = 0 end {zarovnáno}}}$

Množství ${ displaystyle mu _ {0} varepsilon _ {0}}$ má rozměr (čas / délka)². Definování${ displaystyle c = ( mu _ {0} varepsilon _ {0}) ^ {- 1/2}}$, výše uvedené rovnice mají formu standardu vlnové rovnice

${ displaystyle { begin {aligned} { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} mathbf {E}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2} mathbf {E} = 0 { frac {1} {c ^ {2}}} { frac { částečné ^ {2} mathbf {B}} { částečné t ^ {2}}} - nabla ^ {2} mathbf {B} = 0 end {zarovnáno}}}$

Již během Maxwellova života bylo zjištěno, že známé hodnoty pro ${ displaystyle varepsilon _ {0}}$ a ${ displaystyle mu _ {0}}$ dát ${ displaystyle c přibližně 2,998 krát 10 ^ {8} , { text {m / s}}}$, o kterém se již tehdy vědělo, že je rychlost světla ve volném prostoru. To ho vedlo k tvrzení, že světelné a rádiové vlny šíří elektromagnetické vlny, protože to dostatečně potvrdilo. V starý systém SI jednotek, hodnoty ${ displaystyle mu _ {0} = 4 pi krát 10 ^ {- 7}}$ a ${ displaystyle c = 299792458 , { text {m / s}}}$ jsou definované konstanty, (což znamená, že podle definice ${ displaystyle varepsilon _ {0} = 8 854 ... krát 10 ^ {- 12} , { text {F / m}}}$), které definují ampér a měřič. V nový SI pouze systém C udržuje svoji definovanou hodnotu a elektronový náboj získá definovanou hodnotu.

V materiálech s relativní permitivita, ε_r, a relativní propustnost, μ_r, fázová rychlost světla se stává

${ displaystyle v _ { text {p}} = { frac {1} { sqrt { mu _ {0} mu _ { text {r}} varepsilon _ {0} varepsilon _ { text {r}}}}}}$

což je obvykle^{[poznámka 4]} méně než C.

Navíc, E a B jsou navzájem kolmé a na směr šíření vln a jsou v fáze jeden s druhým. A sinusový rovinná vlna je jedno speciální řešení těchto rovnic. Maxwellovy rovnice vysvětlují, jak se tyto vlny mohou fyzicky šířit vesmírem. Měnící se magnetické pole vytváří měnící se elektrické pole Faradayův zákon. Toto elektrické pole zase vytváří měnící se magnetické pole Maxwellovo doplnění Ampereho zákona. Tento věčný cyklus umožňuje tyto vlny, nyní známé jako elektromagnetická radiace, pohybovat se prostorem rychlostí C.

Makroskopická formulace

Výše uvedené rovnice jsou mikroskopickou verzí Maxwellových rovnic, vyjadřujících elektrické a magnetické pole z hlediska přítomných nábojů a proudů (možná na atomové úrovni). Toto se někdy nazývá „obecná“ forma, ale níže uvedená makroskopická verze je stejně obecná, přičemž rozdílem je účetnictví.

Mikroskopická verze se někdy nazývá „Maxwellovy rovnice ve vakuu“: jedná se o skutečnost, že materiální médium není zabudováno do struktury rovnic, ale objevuje se pouze v náboji a současných pojmech. Mikroskopickou verzi představil Lorentz, který se ji pokusil použít k odvození makroskopických vlastností sypké hmoty z jejích mikroskopických složek.^[10]:5

„Maxwellovy makroskopické rovnice“, také známé jako Maxwellovy rovnice v hmotě, jsou více podobné těm, které představil Maxwell.

název	Integrální rovnice (konvence SI)	Rozdíl rovnice (konvence SI)	Diferenciální rovnice (Gaussova konvence)
Gaussův zákon	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {S} = iiint _ { Omega} rho _ { text {f}} , mathrm {d} V}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {D} = rho _ { text {f}}}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {D} = 4 pi rho _ { text {f}}}$
Gaussův zákon pro magnetismus	${ displaystyle { scriptstyle částečné Omega}}$ ${ displaystyle mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S} = 0}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$	${ displaystyle nabla cdot mathbf {B} = 0}$
Maxwell – Faradayova rovnice (Faradayův zákon indukce)	${ displaystyle mast _ { částečné Sigma} mathbf {E} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = - { frac {d} {dt}} iint _ { Sigma } mathbf {B} cdot mathrm {d} mathbf {S}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {E} = - { frac {1} {c}} { frac { částečné mathbf {B}} { částečné t}}}$
Ampereův zákon o oběhu (s Maxwellovým doplněním)	${ displaystyle { begin {zarovnáno} mast _ { částečné Sigma} & mathbf {H} cdot mathrm {d} { boldsymbol { ell}} = & iint _ { Sigma} mathbf {J} _ { text {f}} cdot mathrm {d} mathbf {S} + { frac {d} {dt}} iint _ { Sigma} mathbf {D} cdot mathrm {d} mathbf {S} konec {zarovnáno}}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {H} = mathbf {J} _ { text {f}} + { frac { částečné mathbf {D}} { částečné t}}}$	${ displaystyle nabla times mathbf {H} = { frac {1} {c}} vlevo (4 pi mathbf {J} _ { text {f}} + { frac { částečný mathbf {D}} { částečné t}} vpravo)}$

V makroskopických rovnicích vliv vázaného náboje Q_b a vázaný proud Já_b je začleněna do pole posunutí D a magnetizační pole H, zatímco rovnice závisí pouze na bezplatných poplatcích Q_F a volné proudy Já_F. To odráží rozdělení celkového elektrického náboje Q a aktuální Já (a jejich hustoty ρ a J) do volné a vázané části:

${ displaystyle { begin {aligned} Q & = Q _ { text {f}} + Q _ { text {b}} = iiint _ { Omega} left ( rho _ { text {f}} + rho _ { text {b}} vpravo) , mathrm {d} V = iiint _ { Omega} rho , mathrm {d} V I & = I _ { text {f} } + I _ { text {b}} = iint _ { Sigma} left ( mathbf {J} _ { text {f}} + mathbf {J} _ { text {b}} vpravo ) cdot mathrm {d} mathbf {S} = iint _ { Sigma} mathbf {J} cdot mathrm {d} mathbf {S} end {zarovnáno}}}$

Náklady na toto rozdělení jsou ta další pole D a H je třeba určit pomocí fenomenologických složkových rovnic vztahujících se k těmto polím k elektrickému poli E a magnetické pole B, spolu s vázaným nábojem a proudem.

Níže naleznete podrobný popis rozdílů mezi mikroskopickými rovnicemi celkový náboj a proud včetně materiálových příspěvků, užitečné ve vzduchu / vakuu;^{[poznámka 5]}a makroskopické rovnice volný, uvolnit poplatek a proud, praktické použití v materiálech.

Vázaný náboj a proud

Vlevo, odjet: Schematický pohled na to, jak sestava mikroskopických dipólů produkuje opačné povrchové náboje, jak je znázorněno nahoře a dole. Že jo: Jak se sestava mikroskopických proudových smyček spojuje a vytváří makroskopicky cirkulující proudovou smyčku. Uvnitř hranic mají jednotlivé příspěvky tendenci se rušit, ale na hranicích nedojde ke zrušení.

Když je elektrické pole aplikováno na a dielektrický materiál jeho molekuly reagují formováním mikroskopicky elektrické dipóly - jejich atomová jádra pohybovat na malou vzdálenost ve směru pole, zatímco jejich elektrony přesuňte se o malou vzdálenost opačným směrem. Tím vznikne a makroskopické vázaný náboj v materiálu, i když jsou všechny zúčastněné náboje vázány na jednotlivé molekuly. Například pokud každá molekula reaguje stejně, podobně jako na obrázku, tyto malé pohyby náboje se spojí a vytvoří vrstvu pozitivního vázaný náboj na jedné straně materiálu a vrstva negativního náboje na druhé straně. Vázaný poplatek je nejpohodlněji popsán v podmínkách polarizace P materiálu, jeho dipólový moment na jednotku objemu. Li P je rovnoměrné, makroskopické oddělení náboje se vytváří pouze na površích, kde P vstupuje a opouští materiál. Pro nejednotné P, náplň se vyrábí také hromadně.^[11]

Podobně ve všech materiálech vykazují atomy, z nichž se skládají magnetické momenty které jsou skutečně spojené s moment hybnosti složek atomů, zejména jejich elektrony. The spojení s momentem hybnosti navrhuje obrázek sestavy mikroskopických proudových smyček. Mimo materiál se sestava takových mikroskopických proudových smyček neliší od makroskopického proudu cirkulujícího kolem povrchu materiálu, a to navzdory skutečnosti, že žádný jednotlivý náboj neprochází velkou vzdálenost. Tyto vázané proudy lze popsat pomocí magnetizace M.^[12]

Velmi komplikované a granulované vázané náboje a vázané proudy lze tedy v makroskopickém měřítku vyjádřit z hlediska P a M, které průměrují tyto náboje a proudy v dostatečně velkém měřítku, aby neviděly zrnitost jednotlivých atomů, ale také dostatečně malé, aby se lišily podle umístění v materiálu. Jako takový, Maxwellovy makroskopické rovnice ignorujte mnoho podrobností v jemném měřítku, které mohou být nedůležité pro pochopení záležitostí v hrubém měřítku, a to výpočtem polí, která jsou zprůměrována na nějaký vhodný objem.

Pomocná pole, polarizace a magnetizace

The definice z pomocných polí jsou:

${ displaystyle { begin {aligned} mathbf {D} ( mathbf {r}, t) & = varepsilon _ {0} mathbf {E} ( mathbf {r}, t) + mathbf {P } ( mathbf {r}, t) mathbf {H} ( mathbf {r}, t) & = { frac {1} { mu _ {0}}} mathbf {B} ( mathbf {r}, t) - mathbf {M} ( mathbf {r}, t) end {zarovnáno}}}$

kde P je polarizace pole a M je magnetizace pole, které jsou definovány z hlediska mikroskopických vázaných nábojů a vázaných proudů. Makroskopicky vázaná hustota náboje ρ_b a vázaná proudová hustota J_b ve smyslu polarizace P a magnetizace M jsou pak definovány jako

${ displaystyle { begin {aligned} rho _ { text {b}} & = - nabla cdot mathbf {P} mathbf {J} _ { text {b}} & = nabla times mathbf {M} + { frac { částečné mathbf {P}} { částečné t}} konec {zarovnáno}}}$

Pokud definujeme celkový, vázaný a bezplatný náboj a proudovou hustotu podle

${ displaystyle { begin {zarovnaný} rho & = rho _ { text {b}} + rho _ { text {f}}, mathbf {J} & = mathbf {J} _ { text {b}} + mathbf {J} _ { text {f}}, end {zarovnáno}}}$

a použijte výše uvedené definující vztahy k eliminaci D, a H„makroskopické“ Maxwellovy rovnice reprodukují „mikroskopické“ rovnice.

Konstituční vztahy

Aby bylo možné použít „Maxwellovy makroskopické rovnice“, je nutné určit vztahy mezi nimi pole posunutí D a elektrické pole E, stejně jako magnetizující pole H a magnetické pole B. Ekvivalentně musíme specifikovat závislost polarizace P (odtud vázaný náboj) a magnetizace M (odtud vázaný proud) na aplikované elektrické a magnetické pole. Rovnice specifikující tuto odpověď se nazývají konstitutivní vztahy. U materiálů z reálného světa jsou konstitutivní vztahy zřídka jednoduché, s výjimkou přibližně, a jsou obvykle určovány experimentem. Podrobnější popis najdete v hlavním článku o konstitutivních vztazích.^[13]:44–45

U materiálů bez polarizace a magnetizace jsou konstitutivní vztahy (podle definice)^[7]:2

${ displaystyle mathbf {D} = varepsilon _ {0} mathbf {E}, quad mathbf {H} = { frac {1} { mu _ {0}}} mathbf {B}}$

kde ε₀ je permitivita volného místa a μ₀ the propustnost volného místa. Vzhledem k tomu, že neexistuje žádný vázaný náboj, celkový a volný náboj a proud jsou stejné.

Alternativním hlediskem mikroskopických rovnic je to, že se jedná o makroskopické rovnice spolu s tvrzením, že vakuum se chová jako dokonalý lineární „materiál“ bez další polarizace a magnetizace. Obecněji platí, že pro lineární materiály jsou konstitutivní vztahy^[13]:44–45

${ displaystyle mathbf {D} = varepsilon mathbf {E} ,, quad mathbf {H} = { frac {1} { mu}} mathbf {B}}$

kde ε je permitivita a μ the propustnost materiálu. Pro pole posunutí D lineární aproximace je obvykle vynikající, protože u všech kromě nejextrémnějších elektrických polí nebo teplot dosažitelných v laboratoři (vysoce výkonné pulzní lasery) jsou interatomová elektrická pole materiálů řádově 10¹¹ V / m jsou mnohem vyšší než vnější pole. Pro magnetizační pole ${ displaystyle mathbf {H}}$, však, lineární aproximace se může rozpadnout v běžných materiálech, jako je železo, což vede k podobným jevům hystereze. I lineární případ však může mít různé komplikace.

• U homogenních materiálů ε a μ jsou v celém materiálu konstantní, zatímco u nehomogenních materiálů závisí umístění uvnitř materiálu (a možná i času).^[14]:463
• U izotropních materiálů ε a μ jsou skaláry, zatímco pro anizotropní materiály (např. kvůli krystalové struktuře) ano tenzory.^{[13]:421[14]:463}
• Materiály jsou obecně disperzní, tak ε a μ závisí na frekvence jakýchkoli dopadajících EM vln.^{[13]:625[14]:397}

Ještě obecněji v případě nelineárních materiálů (viz např nelineární optika ), D a P nejsou nutně úměrné Epodobně H nebo M není nutně úměrná B. Obecně D a H záleží na obou E a B, na místě a čase a případně dalších fyzikálních veličinách.

V aplikacích je také třeba popsat, jak se chovají volné proudy a hustota náboje E a B možná spojený s jinými fyzikálními veličinami, jako je tlak a hmotnost, hustota čísel a rychlost částic nesoucích náboj. Např. Původní rovnice dané Maxwellem (viz Historie Maxwellových rovnic ) zahrnuta Ohmův zákon ve formě

${ displaystyle mathbf {J} _ { text {f}} = sigma mathbf {E} ,.}$

Alternativní formulace

Následuje souhrn některých z mnoha dalších matematických formalismů pro psaní mikroskopických Maxwellových rovnic, přičemž sloupce oddělují dvě homogenní Maxwellovy rovnice od dvou nehomogenních rovnic zahrnujících náboj a proud. Každá formulace má verze přímo, pokud jde o elektrické a magnetické pole, a nepřímo, pokud jde o elektrický potenciál φ a vektorový potenciál A. Potenciály byly představeny jako pohodlný způsob řešení homogenních rovnic, ale předpokládalo se, že veškerá pozorovatelná fyzika je obsažena v elektrickém a magnetickém poli (nebo relativisticky Faradayův tenzor). The potentials play a central role in quantum mechanics, however, and act quantum mechanically with observable consequences even when the electric and magnetic fields vanish (Aharonov – Bohmův efekt ).

Each table describes one formalism. Viz Hlavní článek for details of each formulation. SI units are used throughout.

Vektorový počet

Formulace	Homogeneous equations	Inhomogeneous equations
Pole 3D Euclidean space + time	${displaystyle {egin{aligned} abla cdot mathbf {B} =0end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned} abla imes mathbf {E} +{frac {partial mathbf {B} }{partial t}}=0end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned} abla cdot mathbf {E} &={frac { ho }{varepsilon _{0}}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned} abla imes mathbf {B} -{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial mathbf {E} }{partial t}}&=mu _{0}mathbf {J} end{aligned}}}$
Potentials (any měřidlo ) 3D Euclidean space + time	${displaystyle {egin{aligned}mathbf {B} &=mathbf { abla } imes mathbf {A} end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {E} &=-mathbf { abla } varphi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}- abla ^{2}varphi -{frac {partial }{partial t}}left(mathbf { abla } cdot mathbf {A} ight)&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}left(- abla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} ight)mathbf {A} +mathbf { abla } left(mathbf { abla } cdot mathbf {A} +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}} ight)&=mu _{0}mathbf {J} end{aligned}}}$
Potentials (Lorenzův rozchod ) 3D Euclidean space + time	${displaystyle {egin{aligned}mathbf {B} &=mathbf { abla } imes mathbf {A} end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}mathbf {E} &=-mathbf { abla } varphi -{frac {partial mathbf {A} }{partial t}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}mathbf { abla } cdot mathbf {A} &=-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}left(- abla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} ight)varphi &={frac { ho }{varepsilon _{0}}}end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}left(- abla ^{2}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}} ight)mathbf {A} &=mu _{0}mathbf {J} end{aligned}}}$

Tenzorový počet

Formulace	Homogeneous equations	Inhomogeneous equations
Pole space + time spatial metric independent of time	${displaystyle {egin{aligned}partial _{[i}B_{jk]}&= abla _{[i}B_{jk]}&=0partial _{[i}E_{j]}+{frac {partial B_{ij}}{partial t}}&= abla _{[i}E_{j]}+{frac {partial B_{ij}}{partial t}}&=0end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}E^{i}&= abla _{i}E^{i}&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}-{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}B^{ij}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}E^{j}&=&- abla _{i}B^{ij}-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial E^{j}}{partial t}}&=mu _{0}J^{j}end{aligned}}}$
Potenciál space (with topological restrictions) + time spatial metric independent of time	${displaystyle {egin{aligned}B_{ij}&=partial _{[i}A_{j]}&= abla _{[i}A_{j]}end{aligned}}}$ ${displaystyle {egin{aligned}E_{i}&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-partial _{i}varphi &=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}- abla _{i}varphi end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}-{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}{sqrt {h}}left(partial ^{i}varphi +{frac {partial A^{i}}{partial t}} ight)&=- abla _{i} abla ^{i}varphi -{frac {partial }{partial t}} abla _{i}A^{i}&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}-{frac {1}{sqrt {h}}}partial _{i}left({sqrt {h}}h^{im}h^{jn}partial _{[m}A_{n]} ight)+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}left({frac {partial A^{j}}{partial t}}+partial ^{j}varphi ight)&=- abla _{i} abla ^{i}A^{j}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A^{j}}{partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}+ abla ^{j}left( abla _{i}A^{i}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}} ight)&=mu _{0}J^{j}end{aligned}}}$
Potentials (Lorenz gauge) space (with topological restrictions) + time spatial metric independent of time	${displaystyle {egin{aligned}B_{ij}&=partial _{[i}A_{j]}&= abla _{[i}A_{j]}E_{i}&=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}-partial _{i}varphi &=-{frac {partial A_{i}}{partial t}}- abla _{i}varphi abla _{i}A^{i}&=-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}- abla _{i} abla ^{i}varphi +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}varphi }{partial t^{2}}}&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}- abla _{i} abla ^{i}A^{j}+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A^{j}}{partial t^{2}}}+R_{i}^{j}A^{i}&=mu _{0}J^{j}end{aligned}}}$

Diferenciální formy

Formulace	Homogeneous equations	Inhomogeneous equations
Pole Any space + time	${displaystyle {egin{aligned}dB&=0dE+{frac {partial B}{partial t}}&=0end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}d{*}E={frac { ho }{varepsilon _{0}}}d{*}B-{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial {*}E}{partial t}}={mu _{0}}Jend{aligned}}}$
Potentials (any gauge) Any space (with topological restrictions) + time	${displaystyle {egin{aligned}B&=dAE&=-dvarphi -{frac {partial A}{partial t}}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}-d{*}!left(dvarphi +{frac {partial A}{partial t}} ight)&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}d{*}dA+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial }{partial t}}{*}!left(dvarphi +{frac {partial A}{partial t}} ight)&=mu _{0}Jend{aligned}}}$
Potential (Lorenz Gauge) Any space (with topological restrictions) + time spatial metric independent of time	${displaystyle {egin{aligned}B&=dAE&=-dvarphi -{frac {partial A}{partial t}}d{*}A&=-{*}{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial varphi }{partial t}}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}{*}!left(-Delta varphi +{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}}{partial t^{2}}}varphi ight)&={frac { ho }{varepsilon _{0}}}{*}!left(-Delta A+{frac {1}{c^{2}}}{frac {partial ^{2}A}{partial ^{2}t}} ight)&=mu _{0}Jend{aligned}}}$

Relativistic formulations

The Maxwell equations can also be formulated on a spacetime-like Minkowského prostor where space and time are treated on equal footing. The direct spacetime formulations make manifest that the Maxwell equations are relativisticky neměnný. Because of this symmetry electric and magnetic field are treated on equal footing and are recognised as components of the Faradayův tenzor. This reduces the four Maxwell equations to two, which simplifies the equations, although we can no longer use the familiar vector formulation. In fact the Maxwell equations in the space + time formulation are not Galileo invariant and have Lorentz invariance as a hidden symmetry. This was a major source of inspiration for the development of relativity theory. Indeed, even the formulation that treats space and time separately is not a non-relativistic approximation and describes the same physics by simply renaming variables. For this reason the relativistic invariant equations are usually called the Maxwell equations as well.

Each table describes one formalism.

Tenzorový počet

Formulace	Homogeneous equations	Inhomogeneous equations
Pole Minkowského prostor	${displaystyle partial _{[alpha }F_{eta gamma ]}=0}$	${displaystyle partial _{alpha }F^{alpha eta }=mu _{0}J^{eta }}$
Potentials (any gauge) Minkowského prostor	${displaystyle F_{alpha eta }=2partial _{[alpha }A_{eta ]}}$	${displaystyle 2partial _{alpha }partial ^{[alpha }A^{eta ]}=mu _{0}J^{eta }}$
Potentials (Lorenz gauge) Minkowského prostor	${displaystyle {egin{aligned}F_{alpha eta }&=2partial _{[alpha }A_{eta ]}partial _{alpha }A^{alpha }&=0end{aligned}}}$	${displaystyle partial _{alpha }partial ^{alpha }A^{eta }=mu _{0}J^{eta }}$
Pole Any spacetime	${displaystyle {egin{aligned}partial _{[alpha }F_{eta gamma ]}&= abla _{[alpha }F_{eta gamma ]}&=0end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}{frac {1}{sqrt {-g}}}partial _{alpha }({sqrt {-g}}F^{alpha eta })&= abla _{alpha }F^{alpha eta }&=mu _{0}J^{eta }end{aligned}}}$
Potentials (any gauge) Any spacetime (with topological restrictions)	${displaystyle {egin{aligned}F_{alpha eta }&=2partial _{[alpha }A_{eta ]}&=2 abla _{[alpha }A_{eta ]}end{aligned}}}$	${displaystyle {egin{aligned}{frac {2}{sqrt {-g}}}partial _{alpha }({sqrt {-g}}g^{alpha mu }g^{eta u }partial _{[mu }A_{ u ]})&=2 abla _{alpha }( abla ^{[alpha }A^{eta ]})&=mu _{0}J^{eta }end{aligned}}}$
Potentials (Lorenz gauge) Any spacetime (with topological restrictions)	${displaystyle {egin{aligned}F_{alpha eta }&=2partial _{[alpha }A_{eta ]}&=2 abla _{[alpha }A_{eta ]} abla _{alpha }A^{alpha }&=0end{aligned}}}$	${displaystyle abla _{alpha } abla ^{alpha }A^{eta }-R^{eta }{}_{alpha }A^{alpha }=mu _{0}J^{eta }}$

Diferenciální formy

Formulace	Homogeneous equations	Inhomogeneous equations
Pole Any spacetime	${displaystyle mathrm {d} F=0}$	${displaystyle mathrm {d} {star }F=mu _{0}J}$
Potentials (any gauge) Any spacetime (with topological restrictions)	${displaystyle F=mathrm {d} A}$	${displaystyle mathrm {d} {star }mathrm {d} A=mu _{0}J}$
Potentials (Lorenz gauge) Any spacetime (with topological restrictions)	${displaystyle {egin{aligned}F&=mathrm {d} Amathrm {d} {star }A&=0end{aligned}}}$	${displaystyle {star }Box A=mu _{0}J}$

• In the tensor calculus formulation, the elektromagnetický tenzor F_αβ is an antisymmetric covariant order 2 tensor; the four-potential, A_α, is a covariant vector; the current, J^α, is a vector; the square brackets, [ ], denote antisymmetrization of indices; ∂_α is the derivative with respect to the coordinate, X^α. In Minkowski space coordinates are chosen with respect to an setrvačný rám; (X^α) = (ct,X,y,z), takže metrický tenzor used to raise and lower indices is η_αβ = diag(1,−1,−1,−1). The d'Alembert operator on Minkowski space is ◻ = ∂_α∂^α as in the vector formulation. In general spacetimes, the coordinate system X^α is arbitrary, the kovarianční derivace ∇_α, the Ricci tensor, R_αβ and raising and lowering of indices are defined by the Lorentzian metric, G_αβ and the d'Alembert operator is defined as ◻ = ∇_α∇^α. The topological restriction is that the second real kohomologie group of the space vanishes (see the differential form formulation for an explanation). This is violated for Minkowski space with a line removed, which can model a (flat) spacetime with a point-like monopole on the complement of the line.
• V diferenciální forma formulation on arbitrary space times, F = 1/2F_αβdX^α ∧ dX^β is the electromagnetic tensor considered as a 2-form, A = A_αdX^α is the potential 1-form, ${displaystyle J=-J_{alpha }{star }mathrm {d} x^{alpha }}$ is the current 3-form, d je vnější derivace, a ${displaystyle {star }}$ je Hodge hvězda on forms defined (up to its orientation, i.e. its sign) by the Lorentzian metric of spacetime. In the special case of 2-forms such as F, the Hodge star ${displaystyle {star }}$ depends on the metric tensor only for its local scale. This means that, as formulated, the differential form field equations are konformně invariantní, but the Lorenz gauge condition breaks conformal invariance. Operátor ${displaystyle Box =(-{star }mathrm {d} {star }mathrm {d} -mathrm {d} {star }mathrm {d} {star })}$ je d'Alembert–Laplace–Beltrami operator on 1-forms on an arbitrary Lorentzian prostoročas. The topological condition is again that the second real cohomology group is 'trivial' (meaning that its form follows from a definition). By the isomorphism with the second de Rhamova kohomologie this condition means that every closed 2-form is exact.

Other formalisms include the geometric algebra formulation a a matrix representation of Maxwell's equations. Historicky, a kvartérní formulation^[15][16] byl použit.

Řešení

Maxwell's equations are parciální diferenciální rovnice that relate the electric and magnetic fields to each other and to the electric charges and currents. Often, the charges and currents are themselves dependent on the electric and magnetic fields via the Lorentz force equation a constitutive relations. These all form a set of coupled partial differential equations which are often very difficult to solve: the solutions encompass all the diverse phenomena of klasický elektromagnetismus. Some general remarks follow.

As for any differential equation, okrajové podmínky^[17][18][19] a počáteční podmínky^[20] are necessary for a unique solution. For example, even with no charges and no currents anywhere in spacetime, there are the obvious solutions for which E a B are zero or constant, but there are also non-trivial solutions corresponding to electromagnetic waves. In some cases, Maxwell's equations are solved over the whole of space, and boundary conditions are given as asymptotic limits at infinity.^[21] In other cases, Maxwell's equations are solved in a finite region of space, with appropriate conditions on the boundary of that region, for example an artificial absorbing boundary representing the rest of the universe,^[22][23] nebo periodické okrajové podmínky, or walls that isolate a small region from the outside world (as with a waveguide or cavity rezonátor ).^[24]

Jefimenko's equations (or the closely related Liénard – Wiechertovy potenciály ) are the explicit solution to Maxwell's equations for the electric and magnetic fields created by any given distribution of charges and currents. It assumes specific initial conditions to obtain the so-called "retarded solution", where the only fields present are the ones created by the charges. However, Jefimenko's equations are unhelpful in situations when the charges and currents are themselves affected by the fields they create.

Numerické metody pro diferenciální rovnice can be used to compute approximate solutions of Maxwell's equations when exact solutions are impossible. Mezi ně patří Metoda konečných prvků a finite-difference time-domain method.^{[17][19][25][26][27]} Další podrobnosti viz Výpočetní elektromagnetika.

Overdetermination of Maxwell's equations

Maxwellovy rovnice zdát se předurčeno, in that they involve six unknowns (the three components of E a B) but eight equations (one for each of the two Gauss's laws, three vector components each for Faraday's and Ampere's laws). (The currents and charges are not unknowns, being freely specifiable subject to ochrana poplatků.) This is related to a certain limited kind of redundancy in Maxwell's equations: It can be proven that any system satisfying Faraday's law and Ampere's law automaticky also satisfies the two Gauss's laws, as long as the system's initial condition does, and assuming conservation of charge and the nonexistence of magnetic monopoles.^[28][29] This explanation was first introduced by Julius Adams Stratton v roce 1941.^[30]

Although it is possible to simply ignore the two Gauss's laws in a numerical algorithm (apart from the initial conditions), the imperfect precision of the calculations can lead to ever-increasing violations of those laws. By introducing dummy variables characterizing these violations, the four equations become not overdetermined after all. The resulting formulation can lead to more accurate algorithms that take all four laws into account.^[31]

Both identities ${displaystyle abla cdot abla imes mathbf {B} equiv 0, abla cdot abla imes mathbf {E} equiv 0}$, which reduce eight equations to six independent ones, are the true reason of overdetermination.^[32][33] Nebo definitions of linear dependence for PDE lze odkázat.

Equivalently, the overdetermination can be viewed as implying conservation of electric and magnetic charge, as they are required in the derivation described above but implied by the two Gauss's laws.

For linear algebraic equations, one can make 'nice' rules to rewrite the equations and unknowns. The equations can be linearly dependent. But in differential equations, and especially PDEs, one needs appropriate boundary conditions, which depend in not so obvious ways on the equations. Even more, if one rewrites them in terms of vector and scalar potential, then the equations are underdetermined because of Upevnění měřidla.

Maxwell's equations as the classical limit of QED

Maxwell's equations and the Lorentz force law (along with the rest of classical electromagnetism) are extraordinarily successful at explaining and predicting a variety of phenomena; however they are not exact, but a klasický limit kvantová elektrodynamika (QED).

Některé pozorované elektromagnetické jevy jsou nekompatibilní s Maxwellovými rovnicemi. Tyto zahrnují rozptyl fotonu – fotonu a mnoho dalších jevů souvisejících s fotony nebo virtuální fotony, "neklasické světlo " a Kvantové zapletení elektromagnetických polí (viz kvantová optika ). Např. kvantová kryptografie nelze popsat Maxwellovou teorií, ani přibližně. Přibližná povaha Maxwellových rovnic se stává stále zřetelnější při přechodu do režimu extrémně silného pole (viz Euler – Heisenberg Lagrangian ) nebo na extrémně malé vzdálenosti.

A konečně, Maxwellovy rovnice nemohou vysvětlit žádný jev zahrnující jednotlivce fotony interakce s kvantovou hmotou, jako je fotoelektrický efekt, Planckův zákon, Duane – Huntův zákon, a jednofotonové detektory světla. Mnoho takových jevů však lze aproximovat pomocí poloviční teorie kvantové hmoty spojené s klasickým elektromagnetickým polem, buď jako externí pole, nebo s očekávanou hodnotou nábojového proudu a hustoty na pravé straně Maxwellových rovnic.

Variace

Populární variace na Maxwellovy rovnice jako klasickou teorii elektromagnetických polí jsou relativně vzácné, protože standardní rovnice obstály ve zkoušce času pozoruhodně dobře.

Magnetické monopoly

Maxwellovy rovnice předpokládají, že existuje elektrický náboj, ale ne magnetický náboj (také zvaný magnetické monopoly ), ve vesmíru. Magnetický náboj nebyl nikdy pozorován, navzdory rozsáhlému vyhledávání,^{[poznámka 6]} a nemusí existovat. Pokud by existovaly, musel by být upraven jak Gaussův zákon pro magnetismus, tak Faradayův zákon a výsledné čtyři rovnice by byly plně symetrické pod záměnou elektrických a magnetických polí.^{[7]:273–275}

Viz také

Poznámky

Reference

Další čtení naleznete v seznam učebnic elektromagnetismu

Historické publikace

• Na Faradayových silách - 1855/56 Maxwell's first paper (Part 1 & 2) - Compiled by Blaze Labs Research (PDF)
• Na fyzických silách - 1861 Maxwellova kniha z roku 1861 popisující magnetické linie síly - předchůdce pojednání z roku 1873
• James Clerk Maxwell, "Dynamická teorie elektromagnetického pole ", Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně 155, 459–512 (1865). (Tento článek doprovázel 8. prosince 1864 prezentaci Maxwella Královské společnosti.)
  • Dynamická teorie elektromagnetického pole - 1865 Maxwellova kniha z roku 1865 popisující jeho 20 rovnic, odkaz od Knihy Google.
• J. Clerk Maxwell (1873) Pojednání o elektřině a magnetismu
  • Maxwell, J.C., Pojednání o elektřině a magnetismu - svazek 1-1873 - Posnerova pamětní sbírka - Carnegie Mellon University
  • Maxwell, J.C., Pojednání o elektřině a magnetismu - svazek 2 - 1873 - Posnerova pamětní sbírka - Carnegie Mellon University

Vývoj před relativitou:

• Joseph Larmor (1897) „O dynamické teorii elektrického a světelného média“, Phil. Trans. Roy. Soc. 190, 205–300 (třetí a poslední v řadě příspěvků se stejným názvem).
• Hendrik Lorentz (1899) „Zjednodušená teorie elektrických a optických jevů v pohyblivých systémech“, Proc. Acad. Science Amsterdam, Já, 427–43.
• Hendrik Lorentz (1904) „Elektromagnetické jevy v systému pohybujícím se jakoukoli rychlostí menší než je rychlost světla“, Proc. Acad. Science Amsterdam, IV, 669–78.
• Henri Poincaré (1900) „La théorie de Lorentz et le Principe de Réaction“, Archivy Néerlandaises, PROTI, 253–78.
• Henri Poincaré (1902) La Science et l'Hypothèse
• Henri Poincaré (1905) „Sur la dynamique de l'électron“, Komptuje Rendus de l'Académie des Sciences, 140, 1504–8.
• Catt, Walton a Davidson. "Historie posunutí proudu". Bezdrátový svět, Březen 1979.

Další čtení

• Imaeda, K. (1995), „Biquaternionic Formulation of Maxwell's Equations and their solutions“, Ablamowicz, Rafał; Lounesto, Pertti (eds.), Cliffordské algebry a spinorové struktury, Springer, str. 265–280, doi:10.1007/978-94-015-8422-7_16, ISBN  978-90-481-4525-6

externí odkazy

• „Maxwellovy rovnice“, Encyclopedia of Mathematics, Stiskněte EMS, 2001 [1994]
• maxwells-equations.com - Intuitivní výukový program Maxwellových rovnic.
• Matematické aspekty Maxwellovy rovnice jsou diskutovány na Disperzní PDE Wiki.

Moderní léčba

• Elektromagnetismus (kap. 11), B. Crowell, Fullerton College
• Přednáškový cyklus: Relativita a elektromagnetismus, R. Fitzpatrick, University of Texas at Austin
• Elektromagnetické vlny z Maxwellových rovnic na Projekt PHYSNET.
• Série přednášek o videu MIT (přednášky 36 × 50 minut) (ve formátu .mp4) - elektřina a magnetismus Učil profesor Walter Lewin.

jiný

• Silagadze, Z. K. (2002). „Feynmanova derivace Maxwellových rovnic a dalších dimenzí“. Annales de la Fondation Louis de Broglie. 27: 241–256. arXiv:hep-ph / 0106235. Bibcode:2001hep.ph .... 6235S.
• Přírodní milníky: fotony – Milestone 2 (1861) Maxwellovy rovnice