Řetěz (algebraická topologie) - Chain (algebraic topology)

v algebraická topologie, a k-řetězje formální lineární kombinace z k-bunky v a buněčný komplex. v zjednodušené komplexy (respektive kubické komplexy ), k-řetězce jsou kombinace k-jednoduchosti (respektive kkostky).^[1]^[2]^[3] Řetězy jsou použity v homologie; prvky homologické skupiny jsou ekvivalenční třídy řetězců.

Integrace na řetězech

Integrace je definována na řetězcích převzetím lineární kombinace integrálů přes jednoduchosti v řetězci s koeficienty (což jsou obvykle celá čísla). k-chains tvoří skupinu a posloupnost těchto skupin se nazývá a řetězový komplex.

Hraniční operátor na řetězech

Hranice a polygonální křivka je lineární kombinace jeho uzlů; v tomto případě nějaká lineární kombinace A₁ přes A₆. Za předpokladu, že všechny segmenty jsou orientovány zleva doprava (ve vzestupném pořadí od A_k do A_k+1), hranice je A₆ - A₁.

Uzavřená polygonální křivka, za předpokladu konzistentní orientace, má nulovou hranici.

Hranice řetězce je lineární kombinace hranic jednoduchostí v řetězci. Hranice a k-řetězec je (k-1) -řetězec. Všimněte si, že hranice simplexu není simplex, ale řetěz s koeficienty 1 nebo −1 - řetězy jsou tedy uzavřením simplexů pod hraničním operátorem.

Příklad 1: Hranice a cesta je formální rozdíl jeho koncových bodů: je to teleskopická částka. Pro ilustraci, pokud 1-řetězec ${ displaystyle c = t_ {1} + t_ {2} + t_ {3} ,}$ je cesta z bodu ${ displaystyle v_ {1} ,}$ ukazovat ${ displaystyle v_ {4} ,}$ , kde ${ displaystyle t_ {1} = [v_ {1}, v_ {2}] ,}$ , ${ displaystyle t_ {2} = [v_ {2}, v_ {3}] ,}$ a ${ displaystyle t_ {3} = [v_ {3}, v_ {4}] ,}$ jsou tedy jeho složkou 1-jednoduchosti

${ displaystyle { begin {aligned} částečné _ {1} c & = částečné _ {1} (t_ {1} + t_ {2} + t_ {3}) & = částečné _ {1} ( t_ {1}) + částečné _ {1} (t_ {2}) + částečné _ {1} (t_ {3}) & = částečné _ {1} ([v_ {1}, v_ { 2}]) + částečné _ {1} ([v_ {2}, v_ {3}]) + částečné _ {1} ([v_ {3}, v_ {4}]) & = ([ v_ {2}] - [v_ {1}]) + ([v_ {3}] - [v_ {2}]) + ([v_ {4}] - [v_ {3}]) & = [ v_ {4}] - [v_ {1}]. end {zarovnáno}}}$

Příklad 2: Hranice trojúhelníku je formální součet jeho okrajů se značkami uspořádanými tak, aby procházel hranicí proti směru hodinových ručiček.

Řetěz se nazývá a cyklus když jeho hranice je nula. Řetěz, který je hranicí jiného řetězce, se nazývá a hranice. Hranice jsou cykly, takže řetězce tvoří a řetězový komplex, jejichž homologické skupiny (hranice modulových cyklů) se nazývají zjednodušené homologie skupiny.

Příklad 3: Cyklus 0 je lineární kombinace bodů tak, že součet všech koeficientů je 0. Skupina 0-homologie tedy měří počet složek spojených s dráhou prostoru.

Příklad 4: Rovina propíchnutá v počátku má netriviální 1-homologickou skupinu, protože jednotkový kruh je cyklus, ale ne hranice.

v diferenciální geometrie, dualita mezi hraničním operátorem na řetězech a vnější derivace je vyjádřen generálem Stokesova věta.

Reference

^ Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.
^ 1950-, Lee, John M. (2011). Úvod do topologických variet (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452.CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)
^ Tomasz, Kaczynski (2004). Výpočetní homologie. Mischaikow, Konstantin Michael, Mrozek, Marian. New York: Springer. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585.

[1] Hatcher, Allen (2002). Algebraická topologie. Cambridge University Press. ISBN 0-521-79540-0.

[2] 1950-, Lee, John M. (2011). Úvod do topologických variet (2. vyd.). New York: Springer. ISBN 978-1441979391. OCLC 697506452.CS1 maint: číselné názvy: seznam autorů (odkaz)

[3] Tomasz, Kaczynski (2004). Výpočetní homologie. Mischaikow, Konstantin Michael, Mrozek, Marian. New York: Springer. ISBN 9780387215976. OCLC 55897585.

[1]

[2]

[3]