Hemipolyhedron - Hemipolyhedron
v geometrie, a hemipolyhedron je jednotný hvězdný mnohostěn některé z jejích tváří procházejí jejím středem. Tyto „hemi“ tváře leží rovnoběžně s plochami některých dalších symetrických mnohostěnů a jejich počet je poloviční než počet ploch tohoto druhého mnohostěnu - odtud tedy předpona „hemi“.[1]
Předpona "hemi" se také používá k označení určitých projektivní mnohostěn, tak jako hemi-kostka, které jsou obrazem mapy 2: 1 a sférický mnohostěn s centrální symetrie.
Wythoffův symbol a vrcholná postava
Jejich Wythoff symboly jsou ve formě p/(p − q) p/q | r; jejich vrcholové postavy jsou zkřížené čtyřúhelníky. Jsou tedy spojeny s cantellated mnohostěn, které mají podobné symboly Wythoff. The konfigurace vrcholů je p/q.2r.p/(p − q).2r. 2r-gon tváře procházejí středem modelu: pokud jsou reprezentovány jako tváře sférický mnohostěn pokrývají celou polokouli a jejich hrany a vrcholy leží podél a velký kruh. The p/(p - q) notace znamená a {p/q} obličej otočený dozadu kolem vrcholné postavy.
Devět forem uvedených se symboly Wythoff a konfiguracemi vrcholů je:
 Tetrahemihexahedron 3/2 3 | 2 (3.4.3/2.4) (p/q = 3, r = 2) |  Octahemioctahedron 3/2 3 | 3 (3.6.3/2.6) (p/q = 3, r = 3) |  Malý icosihemidodecahedron 3/2 3 | 5 (3.10.3/2.10) (p/q = 3, r = 5) |  Velký icosihemidodecahedron 3/2 3 | 5/3 (3.10/3.3/2.10/3) (p/q = 3, r = 5/3) |  Malý dodecahemicosahedron 5/3 5/2 | 3 (5/2.6.5/3.6) (p/q = 5/2, r = 3) |
 Cubohemioctahedron 4/3 4 | 3 (4.6.4/3.6) (p/q = 4, r = 3) |  Malý dodekahemidodekedr 5/4 5 | 5 (5.10.5/4.10) (p/q = 5, r = 5) |  Velký dodekahemidodekedr 5/3 5/2 | 5/3 (5/2.10/3.5/3.10/3) (p/q = 5/2, r = 5/3) |  Velký dodecahemicosahedron 5/4 5 | 3 (5.6.5/4.6) (p/q = 5, r = 3) |
Všimněte si, že Wythoffova kaleidoskopická konstrukce generuje neorientovatelnou hemipolyhedru (všechny kromě oktahemioktaedru) jako dvojité kryty (dva shodné hemipolyhedry).
V euklidovské rovině sekvence hemipolyhedry pokračuje následujícími čtyřmi hvězdami, kde apeirogony se objeví jako výše uvedené rovníkové polygony:[Citace je zapotřebí ]
| Originál opraveno obklady | Okraj diagram | Pevný | Vrchol Konfigurace | Wythoff | Symetrie |
|---|---|---|---|---|---|
 Náměstí obklady |  |  | 4.∞.4/3.∞ 4.∞.-4.∞ | 4/3 4 | ∞ | p4m |
 Trojúhelníkový obklady |  |  | (3.∞.3.∞.3.∞)/2 | 3/2 | 3 ∞ | p6m |
 Trihexagonal obklady |  |  | 6.∞.6/5.∞ 6.∞.-6.∞ | 6/5 6 | ∞ | |
 | ∞.3.∞.3/2 ∞.3.∞.-3 | 3/2 3 | ∞ |
Z těchto čtyř obkladů pouze 6/5 6 | ∞ je generována Wythoffovou konstrukcí jako dvojitý kryt.
Orientovatelnost
Pouze octahemioctahedron představuje orientovatelný povrch; zbývající hemipolyedry mají neorientovatelné nebo jednostranné povrchy.
Duals hemipolyhedra
Vzhledem k tomu, hemipolyhedra mají tváře procházející středem, dvojčíslí mít odpovídající vrcholy v nekonečnu; správně, na skutečná projektivní rovina v nekonečnu.[2] v Magnus Wenninger je Duální modely, jsou reprezentovány protínajícími se hranoly, každý se rozprostírá v obou směrech do stejného vrcholu v nekonečnu, aby byla zachována symetrie. V praxi jsou modelové hranoly odříznuty v určitém bodě, který je vhodný pro výrobce. Wenninger navrhl, aby tyto údaje byly členy nové třídy stellation postavy, tzv hvězdářství do nekonečna. Navrhl však také, že přísně vzato nejde o mnohostěny, protože jejich konstrukce neodpovídá obvyklým definicím.
Existuje 9 takových dualů, které sdílejí pouze 5 odlišných vnějších forem, čtyři z nich existují v navenek identických párech. Členové dané vizuálně identické dvojice se liší v uspořádání pravých a nepravých vrcholů (falešný vrchol je místo, kde se dva okraje navzájem protínají, ale nespojují se). Vnější formy jsou:
 |  |  |  |  |
| Tetrahemihexacron | Octahemioctacron a hexahemioctacron | Malý icosihemidodecacron a malý dodekahemidodekan | Velký dodecahemidodecacron a skvělý icosihemidodecacron | Velký dodecahemicosacron a malý dodekahemikosakron |
| 3 protínající se nekonečně hranaté hranoly | 4 protínající se nekonečně šestihranné hranoly | 6 protínajících se nekonečně desetiúhelníkové hranoly | 6 protínajících se nekonečně dekagrammické hranoly | 10 protínajících se nekonečně šestihranné hranoly |
Vztah s kvaziregulárním mnohostěnem
Hemipolyedra se vyskytují v párech jako fazety z kvaziregulární mnohostěn se čtyřmi tvářemi na vrcholu. Tyto kvaziregulární mnohostěny mají vrcholovou konfiguraci m.n.m.n a jejich hrany, kromě formování m- a n-gonal tváře, také tvoří hemi-tváře hemipolyhedra. Tedy hemipolyhedra může být odvozena z kvaziregulárního polyhedra vyřazením buď m-gons nebo n-gons (k udržení dvou ploch na hraně) a poté vložení polooblouků. Protože buď m-gons nebo n-gony mohou být vyřazeny, z každého kvaziregulárního mnohostěnu lze odvodit kterýkoli ze dvou hemipolyedrů, s výjimkou osmistěn jako tetratetrahedron, kde m = n = 3 a obě fazety jsou shodné. (Tato konstrukce nefunguje u kvaziregulárního mnohostěnu se šesti tvářemi na vrcholu, známou také jako ditrigonal polyhedra, protože jejich hrany netvoří žádné pravidelné polotvary.)[1]
Vzhledem k tomu, hemipolyhedra, stejně jako kvaziregulární mnohostěn, mají také dva typy tváří střídajících se kolem každého vrcholu, jsou někdy také považovány za kvaziregulární.[1]
| Kvaziregulární mnohostěn m.n.m.n | Hemi-tváře (h-gons) | Hemipolyhedron s m-gony vyřazeny n.h.n/n - 1.h | Hemipolyhedron s n-gony vyřazeny m.h.m/m - 1.h |
|---|---|---|---|
 Tetratetrahedron 3.3.3.3 m = 3, n = 3 |  čtverce {4} | Tetrahemihexahedron 3.4.3/2.4 | Tetrahemihexahedron 3.4.3/2.4 |
 Cuboctahedron 3.4.3.4 m = 3, n = 4 |  šestiúhelníky {6} | Cubohemioctahedron 4.6.4/3.6 | Octahemioctahedron 3.6.3/2.6 |
 Icosidodecahedron 3.5.3.5 m = 3, n = 5 |  desetiúhelníky {10} | Malý dodekahemidodekedr 5.10.5/4.10 | Malý icosihemidodecahedron 3.10.3/2.10 |
 Dodecadodecahedron 5.5/2.5.5/2 m = 5, n = 5/2 |  šestiúhelníky {6} | Malý dodecahemicosahedron 5/2.6.5/3.6 | Velký dodecahemicosahedron 5.6.5/4.6 |
 Velký icosidodecahedron 3.5/2.3.5/2 m = 3, n = 5/2 |  dekagramy {10/3} | Velký dodekahemidodekedr 5/2.10/3.5/3.10/3 | Velký icosihemidodecahedron 3.10/3.3/2.10/3 |
Tady m a n odpovídají p/q výše a h odpovídá 2r výše.
Reference
- ^ A b C Hart, George (1996). „Quasiregular Polyhedra“. Virtuální mnohostěn: Encyklopedie mnohostěnů. Citováno 6. května 2012.
- ^ (Wenninger 2003, p. 101 )
- Coxeter, Harold Scott MacDonald; Longuet-Higgins, M. S .; Miller, J. C. P. (1954), „Uniform polyhedra“, Filozofické transakce Královské společnosti v Londýně. Řada A. Matematické a fyzikální vědyKrálovská společnost 246 (916): 401–450, doi:10.1098 / rsta.1954.0003, ISSN 0080-4614, JSTOR 91532, PAN 0062446
- Wenninger, Magnus (1974), Mnohostěnné modely, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-09859-5, PAN 0467493 (Wenninger modely: 67, 68, 78, 89, 91, 100, 102, 106, 107)
- Wenninger, Magnus (1983), Duální modely, Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-54325-5, PAN 0730208
- Har'El, Z. Jednotné řešení pro jednotné mnohostěny., Geometriae Dedicata 47, 57-110, 1993. Zvi Har’El (Strana 10, 5.2. Hemi polyhedra p p '| r.)
externí odkazy
- Stella Polyhedral Glossary
- Versi-Regular Polyhedra ve Vizuální mnohostěně