Krychlový graf - Cubic graph - Wikipedia

Nesmí být zaměňována s grafy z kubické funkce, hyperkrychlový graf, krychlový graf, krychlový graf.
The Petersenův graf je kubický graf.
The kompletní bipartitní graf je příklad bikubického grafu

V matematický pole teorie grafů, a kubický graf je graf ve kterém všichni vrcholy mít stupeň tři. Jinými slovy, kubický graf je 3běžný graf. Také se nazývají kubické grafy trojmocné grafy.

A bikubický graf je kubický bipartitní graf.

Symetrie

V roce 1932 Ronald M. Foster začal sbírat příklady kubických symetrické grafy, tvořící začátek Podporovat sčítání lidu.[1] Mnoho známých jednotlivých grafů je krychlových a symetrických, včetně obslužný graf, Petersenův graf, Heawoodův graf, Möbius – Kantorův graf, Pappusův graf, Desargues graf, Nauru graf, Coxeterův graf, Tutte – Coxeterův graf, Dyckův graf, Pěstounský graf a Biggs – Smithův graf. W. T. Tutte klasifikoval symetrické kubické grafy nejmenším celým číslem s tak, že každé dvě orientované dráhy délky s lze vzájemně mapovat přesně jednou symetrií grafu. Ukázal to s je maximálně 5 a poskytuje příklady grafů s každou možnou hodnotou s od 1 do 5.[2]

Polosymetrické kubické grafy zahrnují Šedý graf (nejmenší polosymetrický kubický graf), Lublaňský graf a Tutte 12-klec.

The Frucht graf je jedním z pěti nejmenších kubických grafů bez jakékoli symetrie:[3] má pouze jednu automatický graf, automatorfismus identity.[4]

Barvení a nezávislé sady

Podle Brooksova věta každý připojený kubický graf jiný než kompletní graf K.4 může být barevný s maximálně třemi barvami. Proto každý připojený kubický graf jiný než K.4 má nezávislá sada nejméně n/ 3 vrcholy, kde n je počet vrcholů v grafu: například největší barevná třída ve 3barvě má ​​alespoň tolik vrcholů.

Podle Vizingova věta každý kubický graf potřebuje pro zbarvení hran buď tři nebo čtyři barvy. Zbarvení 3 hran je známé jako Taitovo zbarvení a tvoří rozdělení okrajů grafu na tři perfektní shody. Podle Kőnigova věta o zbarvení čáry každý bikubický graf má zbarvení Tait.

Bridgeless kubické grafy, které nemají zbarvení Tait, jsou známé jako snarks. Zahrnují Petersenův graf, Tietzeův graf, Blanuša se vydává, květina snark, dvojhvězda snark, Szekeres zahundral a Watkins, vyštěkni. Existuje nekonečné množství odlišných snarků.[5]

Topologie a geometrie

Kubické grafy vznikají přirozeně v topologie několika způsoby. Pokud například vezmeme v úvahu a graf být jednorozměrný CW komplex, kubické grafy jsou obecný v tom, že většina připojovacích map s 1 buňkou je disjunktních od 0-kostry grafu. Kubické grafy jsou také tvořeny jako grafy jednoduchá mnohostěna ve třech rozměrech, mnohostěny, jako je pravidelný dvanáctistěn s vlastností, kterou tři tváře potkávají na každém vrcholu.

Reprezentace rovinného vkládání jako mapy zakódované do grafu

Svévolně vkládání grafů na dvojrozměrném povrchu může být reprezentována jako kubická grafická struktura známá jako a graficky zakódovaná mapa. V této struktuře představuje každý vrchol kubického grafu a vlajka vložení, vzájemně dopadající trojnásobek vrcholu, hrany a čela povrchu. Tři sousedé každé vlajky jsou tři vlajky, které lze získat změnou jednoho z členů této vzájemně se vyskytující trojice a ponecháním ostatních dvou členů beze změny.[6]

Hamiltonicita

Bylo provedeno mnoho výzkumů Hamiltonicita kubických grafů. V roce 1880 P.G. Tait domníval se, že každý kubický polyedrický graf má Hamiltonovský okruh. William Thomas Tutte poskytl protiklad k Taitova domněnka, 46-vrchol Tutte graph V roce 1971 Tutte předpokládal, že všechny bikubické grafy jsou hamiltonovské. Joseph Horton však poskytl protiklad na 96 vrcholech Hortonův graf.[7] Později, Mark Ellingham zkonstruoval dva další protipříklady: Ellingham – Hortonovy grafy.[8][9] Barnettina domněnka, stále otevřená kombinace Taitova a Tutteho domněnky, uvádí, že každý bikubický polyedrický graf je hamiltoniánský. Když je kubický graf hamiltonián, LCF notace umožňuje jeho stručné zastoupení.

Pokud je zvolen kubický graf rovnoměrně náhodně mezi všemi n-vertexové kubické grafy, pak je velmi pravděpodobné, že to bude Hamiltonian: podíl z n-vertexové kubické grafy, které jsou hamiltonovské, mají tendenci k jednomu v limitu jako n jde do nekonečna.[10]

David Eppstein domníval se, že každý n-vertexový kubický graf má maximálně 2n/3 (přibližně 1 260n) odlišné Hamiltonovské cykly a poskytly příklady kubických grafů s tolika cykly.[11] Nejlepší osvědčený odhad počtu zřetelných hamiltonovských cyklů je .[12]

Další vlastnosti

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Co je největší možné šířka cesty z -vertex kubický graf?
(více nevyřešených úloh z matematiky)

The šířka cesty ze všech n-vertex kubický graf je maximálně n/ 6. Nejznámější spodní mez na šířce dráhy kubických grafů je 0,082n. Není známo, jak tuto mezeru zmenšit dolní mez a n/ 6 horní hranice.[13]

Vyplývá to z handmaking lemma, prokázáno Leonhard Euler v roce 1736 jako součást prvního článku o teorii grafů, že každý kubický graf má sudý počet vrcholů.

Petersenova věta uvádí, že každý kubický bez můstku graf má a perfektní shoda.[14]Lovász a Plummer domníval se, že každý kubický přemostěný graf má exponenciální počet perfektních shody. Dohoda byla nedávno prokázána, což ukazuje, že každý kubický přemostěný graf s n vrcholy má alespoň 2n / 3656 perfektní párování.[15]

Algoritmy a složitost

Několik vědců studovalo složitost exponenciální čas algoritmy omezené na kubické grafy. Například přihlášením dynamické programování do a rozklad cesty grafu, Fomin a Høie ukázali, jak najít své maximální počet nezávislých sad v čase 2n/ 6 + o (n).[13] The problém obchodního cestujícího v kubických grafech lze vyřešit v čase O (1.2312n) a polynomiální prostor.[16][17]

Existuje několik důležitých problémů s optimalizací grafů APX těžké, což znamená, že i když mají aproximační algoritmy jehož přibližný poměr je omezena konstantou, nemají schémata polynomiální aproximace času jehož aproximační poměr má tendenci k 1, pokud P = NP. Patří mezi ně problémy s hledáním minima vrcholový kryt, maximální nezávislá množina, minimum dominující sada, a maximální řez.[18]The číslo křížení (minimální počet hran, které se v každém protínají kreslení grafu ) kubického grafu je také NP-tvrdé pro kubické grafy, ale mohou být přibližné.[19]The Problém obchodního cestujícího na kubických grafech bylo prokázáno, že je NP-tvrdé přiblížit se v rámci jakéhokoli faktoru menšího než 1153/1152.[20]

Viz také

Reference

  1. ^ Foster, R. M. (1932), „Geometrické obvody elektrických sítí“, Transakce amerického institutu elektrotechniků, 51 (2): 309–317, doi:10.1109 / T-AIEE.1932.5056068.
  2. ^ Tutte, W. T. (1959), „Na symetrii kubických grafů“, Umět. J. Math., 11: 621–624, doi:10.4153 / CJM-1959-057-2.
  3. ^ Bussemaker, F. C .; Cobeljic, S .; Cvetkovic, D. M .; Seidel, J. J. (1976), Počítačové vyšetřování kubických grafů, Zpráva EUT, 76-WSK-01, Katedra matematiky a výpočetní techniky, Eindhoven University of Technology
  4. ^ Frucht, R. (1949), „Grafy stupně tři s danou abstraktní skupinou“, Kanadský žurnál matematiky, 1: 365–378, doi:10.4153 / CJM-1949-033-6, ISSN  0008-414X, PAN  0032987.
  5. ^ Isaacs, R. (1975), „Nekonečné rodiny netriviálních trojmocných grafů, které nejsou barvitelné Taitem“, Americký matematický měsíčník, 82 (3): 221–239, doi:10.2307/2319844, JSTOR  2319844.
  6. ^ Bonnington, C. Paul; Malý, Charles H. C. (1995), Základy teorie topologického grafu, Springer-Verlag.
  7. ^ Bondy, J. A. a Murty, U. S. R. Teorie grafů s aplikacemi. New York: Severní Holandsko, str. 240, 1976.
  8. ^ Ellingham, M. N. „Non-Hamiltonovské 3-propojené kubické partitní grafy.“ Výzkumná zpráva č. 28, odbor Math., Univ. Melbourne, Melbourne, 1981.
  9. ^ Ellingham, M. N .; Horton, J. D. (1983), „Non-Hamiltonovské 3-spojené kubické bipartitní grafy“, Journal of Combinatorial Theory, Řada B, 34 (3): 350–353, doi:10.1016/0095-8956(83)90046-1.
  10. ^ Robinson, R.W .; Wormald, N.C. (1994), „Téměř všechny pravidelné grafy jsou hamiltonovské“, Náhodné struktury a algoritmy, 5 (2): 363–374, doi:10,1002 / rsa.3240050209.
  11. ^ Eppstein, David (2007), „Problém obchodního cestujícího pro krychlové grafy“ (PDF), Journal of Graph Algorithms and Applications, 11 (1): 61–81, arXiv:cs.DS / 0302030, doi:10,7155 / jgaa.00137.
  12. ^ Gebauer, H. (2008), „O počtu Hamiltonových cyklů v grafech s omezeným stupněm“, Proc. 4. workshop o analytické algoritmice a kombinatorice (ANALCO '08).
  13. ^ A b Fomin, Fedor V .; Høie, Kjartan (2006), „Dráha kubických grafů a přesné algoritmy“, Dopisy o zpracování informací, 97 (5): 191–196, doi:10.1016 / j.ipl.2005.10.012.
  14. ^ Petersen, Julius Peter Christian (1891), „Die Theorie der regulären Graphs (The theory of regular graphs)“ (PDF), Acta Mathematica, 15 (15): 193–220, doi:10.1007 / BF02392606.
  15. ^ Esperet, Louis; Kardoš, František; King, Andrew D .; Kráľ, Daniel; Norine, Serguei (2011), „Exponenciálně mnoho dokonalých shody v krychlových grafech“, Pokroky v matematice, 227 (4): 1646–1664, arXiv:1012.2878, doi:10.1016 / j.aim.2011.03.015.
  16. ^ Xiao, Mingyu; Nagamochi, Hiroshi (2013), „Přesný algoritmus pro TSP v grafech stupně 3 prostřednictvím obvodního postupu a amortizace na struktuře připojení“, Teorie a aplikace modelů výpočtu, Přednášky v informatice, 7876, Springer-Verlag, str. 96–107, arXiv:1212.6831, doi:10.1007/978-3-642-38236-9_10, ISBN  978-3-642-38236-9.
  17. ^ Xiao, Mingyu; Nagamochi, Hiroshi (2012), Přesný algoritmus pro TSP v grafech stupně 3 pomocí obvodního postupu a amortizace na struktuře připojení, arXiv:1212.6831, Bibcode:2012arXiv1212.6831X.
  18. ^ Alimonti, Paola; Kann, Viggo (2000), „Některé výsledky úplnosti APX pro kubické grafy“, Teoretická informatika, 237 (1–2): 123–134, doi:10.1016 / S0304-3975 (98) 00158-3.
  19. ^ Hliněný, Petr (2006), „Crossing number is hard for cubic graphs“, Journal of Combinatorial Theory, Řada B, 96 (4): 455–471, doi:10.1016 / j.jctb.2005.09.009.
  20. ^ Karpinski, Marek; Schmied, Richard (2013), Aproximační tvrdost grafického TSP na kubických grafech, arXiv:1304.6800, Bibcode:2013arXiv1304,6800K.

externí odkazy