Robbins pětiúhelník - Robbins pentagon - Wikipedia

Question, Web Fundamentals.svgNevyřešený problém v matematice:
Může mít Robbinsův pětiúhelník iracionální úhlopříčky?
(více nevyřešených úloh z matematiky)
Robbinův pětiúhelník o rozloze 13 104
Robbinův pětiúhelník o ploše 7392

v geometrie, a Robbins pětiúhelník je cyklický Pentagon jejichž boční délky a plocha jsou všechny racionální čísla.

Dějiny

Robbinovy ​​pětiúhelníky pojmenoval Buchholz & MacDougall (2008) po David P. Robbins, který předtím zadal vzorec pro plochu cyklického pětiúhelníku jako funkci jeho délek hran. Buchholz a MacDougall zvolili toto jméno analogicky s pojmenováním Volavka trojúhelníky po Hrdina Alexandrie, objevitel Heronův vzorec pro oblast trojúhelníku v závislosti na délce jeho hran.

Plocha a obvod

Každý pětiúhelník Robbins může být zmenšen tak, aby jeho strany a plocha byly celá čísla. Silněji Buchholz a MacDougall ukázali, že pokud jsou délky stran všechna celá čísla a oblast je racionální, pak je oblast nutně také celé číslo a obvod je nutně sudé číslo.

Úhlopříčky

Buchholz a MacDougall také ukázali, že v každém pětiúhelníku Robbins je všech pět vnitřních úhlopříček racionálních čísel, nebo žádná. Pokud je pět úhlopříček racionálních (případ zvaný a Brahmagupta pětiúhelník podle Sastry (2005) ), pak musí být poloměr jeho ohraničené kružnice také racionální a pětiúhelník může být rozdělen na tři Heron trojúhelníky rozřezáním podél dvou nepřekračujících úhlopříček, nebo do pěti Heron trojúhelníků rozříznutím podél pěti poloměrů od kruhu střed k jeho vrcholům.

Buchholz a MacDougall provedli výpočetní hledání Robbinových pětiúhelníků s iracionálními úhlopříčkami, ale žádné nenašli. Na základě tohoto negativního výsledku navrhli, že Robbinovy ​​pětiúhelníky s iracionálními úhlopříčkami nemusí existovat.

Reference

  • Buchholz, Ralph H .; MacDougall, James A. (2008), „Cyklické polygony s racionálními stranami a plochou“, Žurnál teorie čísel, 128 (1): 17–48, doi:10.1016 / j.jnt.2007.05.005, PAN  2382768.
  • Robbins, David P. (1994), „Plochy polygonů vepsané do kruhu“, Diskrétní a výpočetní geometrie, 12 (2): 223–236, doi:10.1007 / BF02574377, PAN  1283889
  • Robbins, David P. (1995), „Plochy polygonů vepsané do kruhu“, Americký matematický měsíčník, 102 (6): 523–530, doi:10.2307/2974766, PAN  1336638.
  • Sastry, K. R. S. (2005), „Stavba Brahmagupta n-gons“ (PDF), Fórum Geometricorum, 5: 119–126, PAN  2195739.